Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 1 kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt P röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel v mellan den positiva x-axeln och den radie som går ut till P. Om punkten rör sig medurs från positiva x-axeln låter man v vara negativ.
Om man känner till vinkeln v kan man bestämma koordinaterna, (x,y), för punkten P med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från P till x-axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med x-axeln och enhetscirkelns radie.
Längden av triangelns bas, x, är lika med punktens x-koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln v och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid 1, vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens x-koordinat: cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet=1x=x. På motsvarande sätt kan punktens y-koordinat uttryckas med definitionen för sinus: sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet=1y=y. Generellt gäller för alla punkter (x,y) på enhetscirkelns rand att x-koordinaten är lika med cos(v) och att y-koordinaten är sin(v).
x=cos(v) och y=sin(v)
Bestäm koordinaterna för punkten A. Avrunda till två decimaler.
Eftersom cirkeln i uppgiften har radien 1 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för A, kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln v som bildas mellan positiva x-axeln och radien: x=cos(v) och y=sin(v). I det här fallet är v=128∘ vilket ger oss koordinaterna A=(cos(128∘),sin(128∘)). Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det cos(128∘)=-0.61566… och sin(128∘)=0.78801… Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna A≈(-0.62,0.79).
Tangensvärdet för en vinkel v är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.
tan(v)=cos(v)sin(v)
Vinkeln v i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna (cos(v),sin(v)), vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot x-axeln.
Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet=cos(v)sin(v).
Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara 0. Det betyder att tan(v) är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir 0, t.ex. v=90∘ och v=270∘.Cosinusvärdet för en negativ vinkel -v är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln v.
cos(-v)=cos(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln -60∘ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en 60∘-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma x-värde som för 60∘.
Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar x-värdet betyder det att
cos(-60∘)=cos(60∘).Sinusvärdet för en negativ vinkel -v är lika med "minus" sinusvärdet för den positiva vinkeln v.
sin(-v)=-sin(v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln -30∘ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en 30∘-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att y-värdet för punkten är likadant som för 30∘ men negativt.
Sinusvärdet av en vinkel motsvarar y-värdet, så sambandet mellan sin(-30∘) och sin(30∘) är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:
sin(-30∘)=-sin(30∘).Sinusvärdet för en vinkel v är lika med sinusvärdet för vinkeln 180∘−v.
sin(v)=sin(180∘−v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30∘ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30∘, men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma y-värde.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180∘−30∘.
Båda dessa vinklar motsvarar samma y-värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta y-värde betyder det att
sin(30∘)=sin(180∘−30∘).Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan 0∘ och 180∘.
v | 0∘ | 30∘ | 45∘ | 60∘ | 90∘ | 120∘ | 135∘ | 150∘ | 180∘ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
sin(v) | 0 | 21 | 21 | 23 | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 |
cos(v) | 1 | 23 | 21 | 21 | 0 | -21 | -21 | -23 | -1 |
tan(v) | 0 | 31 | 1 | 3 | Odef. | -3 | -1 | -31 | 0 |
Bestäm exakta värden för de tre trigonometriska uttrycken. 2cos(120∘)sin(-45∘)cos(150∘)sin(30∘)
För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden.
Vinkeln 120∘ är en standardvinkel som ger cosinusvärdet -21. Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar. 2cos(120∘)=2(-21)=-1
Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet sin(-v)=-sin(v) är sin(-45∘)=-sin(45∘). Vinkeln 45∘ är en standardvinkel som ger sinusvärdet 21 vilket vi sätter in i uttrycket: sin(-45∘)=-sin(45∘)=-21.