Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien $1$ kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt $P$ röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel $v$ mellan den positiva $x$ -axeln och den radie som går ut till $P.$ Om punkten rör sig medurs från positiva $x$ -axeln låter man $v$ vara negativ.

Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Om man känner till vinkeln $v$ kan man bestämma koordinaterna, $(x,y),$ för punkten $P$ med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från $P$ till $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med $x$ -axeln och enhetscirkelns radie.

Längden av triangelns bas, $x,$ är lika med punktens $x$ -koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln $v$ och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid $1,$ vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens $x$ -koordinat: $\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{x}{1}=x.$ På motsvarande sätt kan punktens $y$ -koordinat uttryckas med definitionen för sinus: $\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{y}{1}=y.$ Generellt gäller för alla punkter $(x,y)$ på enhetscirkelns rand att $x$ -koordinaten är lika med $\cos(v)$ och att $y$ -koordinaten är $\sin(v).$

$x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v)$

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

fullscreen

Uppgift

Bestäm koordinaterna för punkten $A.$ Avrunda till två decimaler.

Visa Lösning

Lösning

Eftersom cirkeln i uppgiften har radien $1$ och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för $A,$ kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln $v$ som bildas mellan positiva $x$ -axeln och radien: $x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v).$ I det här fallet är $v=128^\circ$ vilket ger oss koordinaterna $A=(\cos(128^\circ),\sin(128^\circ)).$ Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det $\cos(128^\circ)=\text{-}0.61566 \ldots$ och $\sin(128^\circ)=0.78801 \ldots$ Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna $A \approx (\text{-}0.62,0.79).$

Regel

Trigonometriska samband

Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.

Regel

\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Tangensvärdet för en vinkel $v$ är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.

$\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$

Vinkeln $v$ i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna $(\cos(v), \sin(v)),$ vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot $x$ -axeln.

Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man $\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}.$

Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara

0

. Det betyder att

\tan(v)

är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir

0,

t.ex.

v=90^\circ

och

v=270^\circ.

Regel

\cos(\text{-} v)=\cos(v)

Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel $\text{-} v$ är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln $v.$

$\cos(\text{-} v)=\cos(v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $\text{-} 60^\circ$ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en $60^\circ$ -vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma $x$ -värde som för $60^\circ.$

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar $x$ -värdet betyder det att

\cos(\text{-} 60 ^\circ)=\cos(60 ^\circ).

Regel

\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)

Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Sinusvärdet för en negativ vinkel $\text{-} v$ är lika med "minus" sinusvärdet för den positiva vinkeln $v.$

$\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $\text{-} 30^\circ$ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en $30^\circ$ -vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att $y$ -värdet för punkten är likadant som för $30^\circ$ men negativt.

Sinusvärdet av en vinkel motsvarar $y$ -värdet, så sambandet mellan $\sin(\text{-}30^\circ)$ och $\sin(30^\circ)$ är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:

\sin(\text{-}30^\circ)=\text{-} \sin(30^\circ).

Regel

\sin(v)=\sin(180^\circ-v)

Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i $y$ -axeln

Sinusvärdet för en vinkel $v$ är lika med sinusvärdet för vinkeln $180^\circ-v.$

$\sin(v)=\sin(180^\circ-v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $30^\circ$ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan $y$ -axeln som också skapar vinkeln $30^\circ,$ men mot den negativa $x$ -axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma $y$ -värde.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av $x$ -axeln kommer den att vara $180^\circ - 30^\circ.$

Båda dessa vinklar motsvarar samma $y$ -värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta $y$ -värde betyder det att

\sin(30^\circ)=\sin(180^\circ-30^\circ).

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan $0^\circ$ och $180^\circ.$

$v$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$\sin(v)$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\cos(v)$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$\text{-}\dfrac{1}{2}$	$\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\text{-}1$
$\tan(v)$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	Odef.	$\text{-}\sqrt{3}$	$\text{-} 1$	$\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

fullscreen

Uppgift

Bestäm exakta värden för de tre trigonometriska uttrycken. $2\cos(120^\circ) \qquad \sin(\text{-}45^\circ) \qquad \dfrac{\sin(30^\circ)}{\cos(150^\circ)}$

Visa Lösning

Lösning

För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden.

$2\cos(120^\circ)$

Vinkeln $120^\circ$ är en standardvinkel som ger cosinusvärdet $\text{-}\frac{1}{2}.$ Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar. $2\cos(120^\circ) = 2 \left( \text{-}\dfrac{1}{2} \right)= \text{-}1$

$\sin(\text{-}45^\circ)$

Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet $\sin(\text{-} v) = \text{-} \sin(v)$ är $\sin(\text{-}45^\circ)=\text{-} \sin(45^\circ).$ Vinkeln $45^\circ$ är en standardvinkel som ger sinusvärdet $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vilket vi sätter in i uttrycket: $\sin(\text{-}45^\circ) = \text{-} \sin(45^\circ) =\text{-} \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

$\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}$

I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om

\sin(150^\circ)

som

\frac{1}{2}

och

\cos(30^\circ

) som

\frac{\sqrt{3}}{2}

och förenkla.

\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}

Sin

\dfrac{\left.1\middle/2\right.}{\cos(30^\circ)}

Cos

\dfrac{\left.1\middle/2\right.}{\left.\sqrt{3}\middle/2\right.}

DivFracByFracSameDenom

\dfrac{\left.{a}\middle/{2}\right.}{\left.{b}\middle/{2}\right.}=\dfrac{a}{b}

\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså

\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Enhetscirkeln

Trigonometri i enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Trigonometriska samband

Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i $y$ -axeln

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

$2\cos(120^\circ)$

$\sin(\text{-}45^\circ)$

$\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}$

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

2cos⁡(120∘)2\cos(120^\circ)2cos(120∘)

sin⁡(-45∘)\sin(\text{-}45^\circ)sin(-45∘)

sin⁡(150∘)cos⁡(30∘)\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}cos(30∘)sin(150∘)​

$2\cos(120^\circ)$

$\sin(\text{-}45^\circ)$

$\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}$