Enhetscirkeln

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 11 kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt PP röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel vv mellan den positiva xx-axeln och den radie som går ut till P.P. Om punkten rör sig medurs från positiva xx-axeln låter man vv vara negativ.

Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Om man känner till vinkeln vv kan man bestämma koordinaterna, (x,y),(x,y), för punkten PP med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från PP till xx-axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med xx-axeln och enhetscirkelns radie.

Längden av triangelns bas, x,x, är lika med punktens xx-koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln vv och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid 1,1, vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens xx-koordinat: cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa=x1=x. \cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{x}{1}=x. På motsvarande sätt kan punktens yy-koordinat uttryckas med definitionen för sinus: sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa=y1=y. \sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{y}{1}=y. Generellt gäller för alla punkter (x,y)(x,y) på enhetscirkelns rand att xx-koordinaten är lika med cos(v)\cos(v) och att yy-koordinaten är sin(v).\sin(v).

x=cos(v)   och   y=sin(v)x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v)

Uppgift


Bestäm koordinaterna för punkten A.A. Avrunda till två decimaler.

Lösning

Eftersom cirkeln i uppgiften har radien 11 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för A,A, kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln vv som bildas mellan positiva xx-axeln och radien: x=cos(v)   och   y=sin(v). x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v). I det här fallet är v=128v=128^\circ vilket ger oss koordinaterna A=(cos(128),sin(128)). A=(\cos(128^\circ),\sin(128^\circ)). Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det cos(128)=-0.61566\cos(128^\circ)=\text{-}0.61566 \ldots och sin(128)=0.78801\sin(128^\circ)=0.78801 \ldots Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna A(-0.62,0.79). A \approx (\text{-}0.62,0.79).

Visa lösning Visa lösning
Regel

Trigonometriska samband

Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.

Regel

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Tangensvärdet för en vinkel vv är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Vinkeln vv i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna (cos(v),sin(v)),(\cos(v), \sin(v)), vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot xx-axeln.

Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨=sin(v)cos(v). \tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}.

Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara 00. Det betyder att tan(v)\tan(v) är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir 0,0, t.ex. v=90v=90^\circ och v=270.v=270^\circ.

Regel

cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v)
Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel -v\text{-} v är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln v.v.

cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln -60\text{-} 60^\circ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en 6060^\circ-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma xx-värde som för 60.60^\circ.

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar xx-värdet betyder det att

cos(-60)=cos(60). \cos(\text{-} 60 ^\circ)=\cos(60 ^\circ).

Regel

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)
Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Sinusvärdet för en negativ vinkel -v\text{-} v är lika med "minus" sinusvärdet för den positiva vinkeln v.v.

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln -30\text{-} 30^\circ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en 3030^\circ-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att yy-värdet för punkten är likadant som för 3030^\circ men negativt.

Sinusvärdet av en vinkel motsvarar yy-värdet, så sambandet mellan sin(-30)\sin(\text{-}30^\circ) och sin(30)\sin(30^\circ) är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:

sin(-30)=-sin(30). \sin(\text{-}30^\circ)=\text{-} \sin(30^\circ).

Regel

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)
Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i yy-axeln

Sinusvärdet för en vinkel vv är lika med sinusvärdet för vinkeln 180v.180^\circ-v.

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln 3030^\circ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan yy-axeln som också skapar vinkeln 30,30^\circ, men mot den negativa xx-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma yy-värde.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av xx-axeln kommer den att vara 18030.180^\circ - 30^\circ.

Båda dessa vinklar motsvarar samma yy-värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta yy-värde betyder det att

sin(30)=sin(18030). \sin(30^\circ)=\sin(180^\circ-30^\circ).
Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan 00^\circ och 180.180^\circ.

vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef. -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00
Uppgift

Bestäm exakta värden för de tre trigonometriska uttrycken. 2cos(120)sin(-45)sin(30)cos(150) 2\cos(120^\circ) \qquad \sin(\text{-}45^\circ) \qquad \dfrac{\sin(30^\circ)}{\cos(150^\circ)}

Lösning

För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden.

2cos(120)2\cos(120^\circ)

Vinkeln 120120^\circ är en standardvinkel som ger cosinusvärdet -12.\text{-}\frac{1}{2}. Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar. 2cos(120)=2(-12)=-1 2\cos(120^\circ) = 2 \left( \text{-}\dfrac{1}{2} \right)= \text{-}1

sin(-45)\sin(\text{-}45^\circ)

Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v) = \text{-} \sin(v) är sin(-45)=-sin(45).\sin(\text{-}45^\circ)=\text{-} \sin(45^\circ). Vinkeln 4545^\circ är en standardvinkel som ger sinusvärdet 12\frac{1}{\sqrt{2}} vilket vi sätter in i uttrycket: sin(-45)=-sin(45)=-12. \sin(\text{-}45^\circ) = \text{-} \sin(45^\circ) =\text{-} \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

sin(150)cos(30)\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}

I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om sin(150)\sin(150^\circ) som 12\frac{1}{2} och cos(30\cos(30^\circ) som 32\frac{\sqrt{3}}{2} och förenkla.
sin(150)cos(30)\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}
1undefined2cos(30)\dfrac{\left.1\middle/2\right.}{\cos(30^\circ)}
1undefined23undefined2\dfrac{\left.1\middle/2\right.}{\left.\sqrt{3}\middle/2\right.}
13\dfrac{1}{\sqrt{3}}
Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså sin(150)cos(30)=13. \dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}