Enhetscirkeln

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Den cirkel som har sin medelpunkt i origo och radien 11 kallas enhetscirkeln. Låter man en punkt PP röra sig moturs längs med cirkelranden skapas en vinkel vv mellan den positiva xx-axeln och den radie som går ut till P.P. Om punkten rör sig medurs från positiva xx-axeln låter man vv vara negativ.

Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Om man känner till vinkeln vv kan man bestämma koordinaterna, (x,y),(x,y), för punkten PP med hjälp av definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Genom att dra en lodrät linje från PP till xx-axeln bildas en rätvinklig triangel tillsammans med xx-axeln och enhetscirkelns radie.

Längden av triangelns bas, x,x, är lika med punktens xx-koordinat. Basen är den närliggande kateten till vinkeln vv och hypotenusan i enhetscirkeln är alltid 1,1, vilket gör att man kan utnyttja definitionen av cosinus för att uttrycka punktens xx-koordinat: cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa=x1=x. \cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{x}{1}=x. På motsvarande sätt kan punktens yy-koordinat uttryckas med definitionen för sinus: sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa=y1=y. \sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{y}{1}=y. Generellt gäller för alla punkter (x,y)(x,y) på enhetscirkelns rand att xx-koordinaten är lika med cos(v)\cos(v) och att yy-koordinaten är sin(v).\sin(v).

x=cos(v)   och   y=sin(v)x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v)

Uppgift


Bestäm koordinaterna för punkten A.A. Avrunda till två decimaler.

Lösning

Eftersom cirkeln i uppgiften har radien 11 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att koordinaterna för punkter på randen, t.ex. för A,A, kan uttryckas med cosinus och sinus om man känner till vinkeln vv som bildas mellan positiva xx-axeln och radien: x=cos(v)   och   y=sin(v). x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v). I det här fallet är v=128v=128^\circ vilket ger oss koordinaterna A=(cos(128),sin(128)). A=(\cos(128^\circ),\sin(128^\circ)). Om vi slår in de trigonometriska värdena på räknaren ger det cos(128)=-0.61566\cos(128^\circ)=\text{-}0.61566 \ldots och sin(128)=0.78801\sin(128^\circ)=0.78801 \ldots Avrundas dessa värden till två decimaler får vi koordinaterna A(-0.62,0.79). A \approx (\text{-}0.62,0.79).

Visa lösning Visa lösning
Regel

Trigonometriska samband

Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.

Regel

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Tangensvärdet för en vinkel vv är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Vinkeln vv i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna (cos(v),sin(v)),(\cos(v), \sin(v)), vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot xx-axeln.

Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨=sin(v)cos(v). \tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}.

Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara 00. Det betyder att tan(v)\tan(v) är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir 0,0, t.ex. v=90v=90^\circ och v=270.v=270^\circ.

Regel

cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v)
Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel -v\text{-} v är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln v.v.

cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln -60\text{-} 60^\circ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en 6060^\circ-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma xx-värde som för 60.60^\circ.

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar xx-värdet betyder det att

cos(-60)=cos(60). \cos(\text{-} 60 ^\circ)=\cos(60 ^\circ).

Regel

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)
Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Sinusvärdet för en negativ vinkel -v\text{-} v är lika med "minus" sinusvärdet för den positiva vinkeln v.v.

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln -30\text{-} 30^\circ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en 3030^\circ-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att yy-värdet för punkten är likadant som för 3030^\circ men negativt.

Sinusvärdet av en vinkel motsvarar yy-värdet, så sambandet mellan sin(-30)\sin(\text{-}30^\circ) och sin(30)\sin(30^\circ) är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:

sin(-30)=-sin(30). \sin(\text{-}30^\circ)=\text{-} \sin(30^\circ).

Regel

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)
Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i yy-axeln

Sinusvärdet för en vinkel vv är lika med sinusvärdet för vinkeln 180v.180^\circ-v.

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln 3030^\circ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan yy-axeln som också skapar vinkeln 30,30^\circ, men mot den negativa xx-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma yy-värde.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av xx-axeln kommer den att vara 18030.180^\circ - 30^\circ.

Båda dessa vinklar motsvarar samma yy-värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta yy-värde betyder det att

sin(30)=sin(18030). \sin(30^\circ)=\sin(180^\circ-30^\circ).
Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Med hjälp av enhetscirkeln kan man bevisa att följande värden gäller för sinus, cosinus och tangens för standardvinklarna mellan 00^\circ och 180.180^\circ.

vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef. -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00
Uppgift

Bestäm exakta värden för de tre trigonometriska uttrycken. 2cos(120)sin(-45)sin(30)cos(150) 2\cos(120^\circ) \qquad \sin(\text{-}45^\circ) \qquad \dfrac{\sin(30^\circ)}{\cos(150^\circ)}

Lösning

För att se vad uttrycken är lika med använder vi tabellen med exakta trigonometriska värden.

2cos(120)2\cos(120^\circ)

Vinkeln 120120^\circ är en standardvinkel som ger cosinusvärdet -12.\text{-}\frac{1}{2}. Vi sätter in detta i uttrycket och förenklar. 2cos(120)=2(-12)=-1 2\cos(120^\circ) = 2 \left( \text{-}\dfrac{1}{2} \right)= \text{-}1

sin(-45)\sin(\text{-}45^\circ)

Negativa vinklar finns inte i tabellen, så här skriver vi först om uttrycket så att det innehåller en standardvinkel. Enligt sambandet sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v) = \text{-} \sin(v) är sin(-45)=-sin(45).\sin(\text{-}45^\circ)=\text{-} \sin(45^\circ). Vinkeln 4545^\circ är en standardvinkel som ger sinusvärdet 12\frac{1}{\sqrt{2}} vilket vi sätter in i uttrycket: sin(-45)=-sin(45)=-12. \sin(\text{-}45^\circ) = \text{-} \sin(45^\circ) =\text{-} \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

sin(150)cos(30)\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}

I det här fallet har vi två standardvinklar, så vi kan direkt skriva om sin(150)\sin(150^\circ) som 12\frac{1}{2} och cos(30\cos(30^\circ) som 32\frac{\sqrt{3}}{2} och förenkla.
sin(150)cos(30)\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)}
1undefined2cos(30)\dfrac{\left.1\middle/2\right.}{\cos(30^\circ)}
1undefined23undefined2\dfrac{\left.1\middle/2\right.}{\left.\sqrt{3}\middle/2\right.}
13\dfrac{1}{\sqrt{3}}
Det exakta värdet för det trigonometriska uttrycket är alltså sin(150)cos(30)=13. \dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka punkter på enhetscirkeln motsvarar vinklarna? Svara med två värdesiffror.

a
2828^\circ
b

162162^\circ


c
-75\text{-} 75^\circ
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de exakta värdena för uttrycken.

a
sin(90)+cos(0)\sin(90^\circ)+\cos(0^\circ)


b

5tan(30)5\tan(30^\circ)


c

sin(150)cos(45)\dfrac{\sin(150 ^\circ)}{\cos(45^\circ)}


d

sin(-150)cos(-120)\sin(\text{-} 150 ^\circ)\cdot\cos(\text{-} 120 ^\circ)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för punkterna PP och QQ som ligger på randen av enhetscrikeln. Svara med två decimaler.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm tan(v)\tan(v) med hjälp av enhetscirkeln i figuren. Avrunda till tre värdesiffror.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de trigonometriska värdena exakt.

a

sin(315)\sin(315^\circ)

b

cos(270)\cos(270^\circ)

c

sin(-210)\sin(\text{-}210^\circ)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Niamh löser en uppgift om enhetscirkeln där man ska svara exakt. Hon får svaret 2sin(30)+cos(50). 2\sin(30^\circ)+\cos(50^\circ). Hon utbrister: "Det går inte att svara exakt eftersom 5050^\circ inte är en standardvinkel!" Har Niamh rätt?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen för enhetscirkeln.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka vinklar vv i intervallet 0v3600^\circ \leq v\leq 360^\circ gäller att sin(v)=12? \sin(v) =\dfrac{1}{2}?

Nationella provet HT12 3c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att tan(-v)=-tan(v).\tan(\text{-} v) = \text{-} \tan(v).

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att (tan(-120))2(sin(135)cos(180))cos(-45) \dfrac{(\tan(\text{-}120^\circ))^2(\sin(135^\circ)-\cos(180^\circ))}{\cos(\text{-}45^\circ)} är lika med 3(1+2).3\left(1+\sqrt{2} \right).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna för vv på intervallet -180v180\text{-} 180^\circ \leq v \leq 180^\circ utan att använda räknare.


a

sin(v)=12\sin(v) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

b

cos(v)=12\cos(v) = \dfrac{1}{2}

c

cos(v)=1\cos(v) = 1

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket är det största och minsta värdet för

a
sin(v)?\sin(v)?
b
cos(v)?\cos(v)?
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ordna följande uttryck i storleksordning utan att använda räknare. Börja med det minsta. A. sin(40)sin(140)B. cos(-70)-cos(70)C. sin(85)sin(85)sin(-85)D. -tan(30)\begin{aligned} &\text{A. } \quad \dfrac{\sin(40^\circ)}{\sin(140^\circ)} \\[2em] &\text{B. } \quad \dfrac{\cos(\text{-} 70^\circ)}{\text{-} \cos(70^\circ)} \\[2em] &\text{C. } \quad \dfrac{\sin(85^\circ)}{\sin(85^\circ)-\sin(\text{-}85^\circ)} \\[2em] &\text{D. } \quad \text{-} \tan(30^\circ) \end{aligned}

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka vinklar vv på intervallet 0v3600^\circ \leq v \leq 360^\circ gäller att sin(v)0.5? \sin(v) \geq 0.5?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lordi ska åka Lisebergshjulet som är 6060 m högt och roterar med hastigheten 33^\circ/sekund. De kliver in i en gondol när den befinner sig mitt under hjulet. Efter hur lång tid befinner de sig 5050 m upp i luften?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Motivera geometriskt att punkterna på enhetscirkeln som motsvaras av vinklarna vv och 180v180^\circ - v har samma xx-värde fast med omvänt tecken.

b

Använd detta för att visa att

cos(180v)=-cos(v). \cos(180^\circ-v) = \text{-}\cos(v).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd enhetscirkeln nedan och bestäm cos(180v)\cos(180^\circ-v) om sin(v)=0.8.\sin(v)=0.8.

Nationella provet HT12 3c
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En av de mest kända sambanden inom trigonometrin är trigonometriska ettan: sin(v)2+cos(v)2=1. \sin(v)^2 + \cos(v)^2 = 1. Använd enhetscirkeln för att visa sambandet.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}