{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open

Trigonometriska värden för standardvinklar - grader

tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Bevis

Trigonometriska värden för standardvinklar

För de så kallade standardvinklarna är det möjligt att härleda exakta trigonometriska värden.
Vinkel
Odef.
Vinkel

För många av bevisen behöver man använda två typer av rätvinkliga trianglar: en likbent och en halv liksidig triangel med vinklar och längder som i figuren.

För att härleda värdena i tabellen använder man även enhetscirkeln samt sambanden , och .

Vinkeln

Bevis

Punkten som motsvarar vinkeln hamnar längst ut till höger på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på -axeln, där -värdet lika med Det betyder att

Q.E.D.

Bevis

Punkten som motsvarar vinkeln hamnar längst ut till höger på enhetscirkeln.

Eftersom enhetscirkelns radie är så har punkten -värdet Det betyder att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel. De är respektive vilket betyder att
Man får alltså att
Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den korta kateten

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den långa kateten

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan Då har kateterna längden

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan Då har kateterna längden

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet för beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den långa kateten

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den korta kateten

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet för beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Punkten som motsvarar vinkeln hamnar längst upp på enhetscirkeln.

Eftersom enhetscirkelns radie är så har punkten -värdet Det betyder att

Q.E.D.

Bevis

Punkten som motsvarar vinkeln hamnar längst upp på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på -axeln, där -värdet lika med Det betyder att

Q.E.D.

Bevis

— odefinierat
Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel:
Men är lika med vilket ger nolldivision. Därför är inte definierat.
Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den långa kateten

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den korta kateten

Punkten som motsvarar vinkeln ligger till vänster om -axeln, så dess -koordinat är Det innebär att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet för beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan Då har kateterna längden

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan Då har kateterna längden

Punkten som motsvarar vinkeln ligger till vänster om -axeln, så dess -koordinat är Det innebär att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet för vinkeln beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den korta kateten

Det betyder att -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln är vilket i sin tur innebär att

Q.E.D.

Bevis

Genom att rita en radie med vinkeln mot den positiva -axeln bildas en rätvinklig triangel mot -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är och en som är vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan Då är den långa kateten

Punkten som motsvarar vinkeln ligger till vänster om -axeln, så dess -koordinat är Det innebär att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet för vinkeln beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

Q.E.D.

Vinkeln

Bevis

Punkten som motsvarar vinkeln hamnar längst ut till vänster på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på -axeln, där -värdet lika med Det betyder att

Q.E.D.

Bevis

Punkten som motsvarar vinkeln hamnar längst ut till vänster på enhetscirkeln.

Punkten ligger alltså på negativa delen av -axeln, och eftersom enhetscirkelns radie är så har punkten -värdet Det betyder att

Q.E.D.

Bevis

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel. De är respektive vilket betyder att
Man får alltså att
Q.E.D.
close
Community