Bevis

Trigonometriska värden för standardvinklar

För de så kallade standardvinklarna är det möjligt att härleda exakta trigonometriska värden.

Vinkel $v$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.

Vinkel $v$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin (v)$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

För många av bevisen behöver man använda två typer av rätvinkliga trianglar: en likbent och en halv liksidig triangel med vinklar och längder som i figuren.

För att härleda värdena i tabellen använder man även enhetscirkeln samt sambanden $x = cos (v)$ , $y = sin (v)$ och $tan (v) = \frac{s i n ( v )}{c o s ( v )}$ .

Vinkeln $0^{\circ}$

Bevis

sin (0^{\circ}) = 0

Punkten som motsvarar vinkeln $0^{\circ}$ hamnar längst ut till höger på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på $x$ -axeln, där $y$ -värdet lika med $0 .$ Det betyder att $sin (0^{\circ}) = 0 .$

Q.E.D.

Bevis

cos (0^{\circ}) = 1

Punkten som motsvarar vinkeln $0^{\circ}$ hamnar längst ut till höger på enhetscirkeln.

Eftersom enhetscirkelns radie är $1$ så har punkten $x$ -värdet $1 .$ Det betyder att $cos (0^{\circ}) = 1 .$

Q.E.D.

Bevis

tan (0^{\circ}) = 0

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel. De är

0

respektive

1,

vilket betyder att

tan (0^{\circ}) = \frac{sin ( 0 ^{\circ} )}{cos ( 0 ^{\circ} )} = \frac{0}{1} = 0 .

Man får alltså att

tan (0^{\circ}) = 0 .

Q.E.D.

Vinkeln $3 0^{\circ}$

Bevis

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $3 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $y$ -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är $6 0^{\circ}$ och en som är $3 0^{\circ},$ vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan $1 .$ Då är den korta kateten $\frac{1}{2} .$

Det betyder att $y$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $3 0^{\circ}$ är $\frac{1}{2},$ vilket i sin tur innebär att $sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $3 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $x$ -axeln.

Det betyder att $x$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $3 0^{\circ}$ är $\frac{3}{2},$ vilket i sin tur innebär att $cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

tan (3 0^{\circ}) = \frac{1}{3}

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan (3 0^{\circ}) = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (3 0^{\circ}) = \frac{1 / 2}{3 / 2}

DivFracByFracSameDenom

$\frac{a / 2}{b / 2} = \frac{a}{b}$

tan (3 0^{\circ}) = \frac{1}{3}

Q.E.D.

Vinkeln $4 5^{\circ}$

Bevis

sin (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $4 5^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $y$ -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är $4 5^{\circ},$ vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan $1 .$ Då har kateterna längden $\frac{1}{2} .$

Det betyder att $y$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $4 5^{\circ}$ är $\frac{1}{2},$ vilket i sin tur innebär att $sin (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

cos (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $4 5^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $x$ -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är $4 5^{\circ},$ vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan $1 .$ Då har kateterna längden $\frac{1}{2} .$

Det betyder att $x$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $4 5^{\circ}$ är $\frac{1}{2},$ vilket i sin tur innebär att $cos (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

tan (4 5^{\circ}) = 1

Tangensvärdet för $4 5^{\circ}$ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan (4 5^{\circ}) = \frac{sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( 4 5 ^{\circ} )}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (4 5^{\circ}) = \frac{1 / 2}{1 / 2}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

tan (4 5^{\circ}) = 1

Q.E.D.

Vinkeln $6 0^{\circ}$

Bevis

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $6 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $y$ -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel en vinkel som är $3 0^{\circ}$ och en som är $6 0^{\circ},$ vilket innebär att detta är en halv liksidig triangel med hypotenusan $1 .$ Då är den långa kateten $\frac{3}{2} .$

Det betyder att $y$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $6 0^{\circ}$ är $\frac{3}{2},$ vilket i sin tur innebär att $sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $6 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $x$ -axeln.

Det betyder att $x$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $6 0^{\circ}$ är $\frac{1}{2},$ vilket i sin tur innebär att $cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

tan (6 0^{\circ}) = 3

Tangensvärdet för $6 0^{\circ}$ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan (6 0^{\circ}) = \frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{cos ( 6 0 ^{\circ} )}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (6 0^{\circ}) = \frac{3 / 2}{1 / 2}

DivFracByFracSameDenom

$\frac{a / 2}{b / 2} = \frac{a}{b}$

tan (6 0^{\circ}) = \frac{3}{1}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

tan (6 0^{\circ}) = 3

Q.E.D.

Vinkeln $9 0^{\circ}$

Bevis

sin (9 0^{\circ}) = 1

Punkten som motsvarar vinkeln $9 0^{\circ}$ hamnar längst upp på enhetscirkeln.

Eftersom enhetscirkelns radie är $1$ så har punkten $y$ -värdet $1 .$ Det betyder att $sin (9 0^{\circ}) = 1 .$

Q.E.D.

Bevis

cos (9 0^{\circ}) = 0

Punkten som motsvarar vinkeln $9 0^{\circ}$ hamnar längst upp på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på $y$ -axeln, där $x$ -värdet lika med $0 .$ Det betyder att $sin (0^{\circ}) = 0 .$

Q.E.D.

Bevis

tan (9 0^{\circ})

— odefinierat

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel:

tan (9 0^{\circ}) = \frac{sin ( 9 0 ^{\circ} )}{cos ( 9 0 ^{\circ} )} .

Men

cos (9 0^{\circ})

är lika med

0,

vilket ger nolldivision. Därför är

tan (9 0^{\circ})

inte definierat.

Q.E.D.

Vinkeln $12 0^{\circ}$

Bevis

sin (12 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $12 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $y$ -axeln.

Det betyder att $y$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $12 0^{\circ}$ är $\frac{3}{2},$ vilket i sin tur innebär att $sin (12 0^{\circ}) = \frac{3}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

cos (12 0^{\circ}) = - \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $12 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $x$ -axeln.

Punkten som motsvarar vinkeln $12 0^{\circ}$ ligger till vänster om $y$ -axeln, så dess $x$ -koordinat är $- \frac{1}{2} .$ Det innebär att $cos (12 0^{\circ}) = - \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

tan (12 0^{\circ}) = - 3

Tangensvärdet för $12 0^{\circ}$ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan (12 0^{\circ}) = \frac{sin ( 1 2 0 ^{\circ} )}{cos ( 1 2 0 ^{\circ} )}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (12 0^{\circ}) = \frac{3 / 2}{- 1 / 2}

DivFracByFracSameDenom

$\frac{a / 2}{b / 2} = \frac{a}{b}$

tan (12 0^{\circ}) = \frac{3}{- 1}

CalcQuot

Beräkna kvot

tan (12 0^{\circ}) = - 3

Q.E.D.

Vinkeln $13 5^{\circ}$

Bevis

sin (13 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $13 5^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $y$ -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är $4 5^{\circ},$ vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan $1 .$ Då har kateterna längden $\frac{1}{2} .$

Det betyder att $y$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $13 5^{\circ}$ är $\frac{1}{2},$ vilket i sin tur innebär att $sin (13 5^{\circ}) = \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $13 5^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $x$ -axeln.

Förutom den räta vinkeln har denna triangel två vinklar som är $4 5^{\circ},$ vilket innebär att detta är en likbent triangel med hypotenusan $1 .$ Då har kateterna längden $\frac{1}{2} .$

Punkten som motsvarar vinkeln $13 5^{\circ}$ ligger till vänster om $y$ -axeln, så dess $x$ -koordinat är $- \frac{1}{2} .$ Det innebär att $cos (13 5^{\circ}) = - \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

tan (13 5^{\circ}) = - 1

Tangensvärdet för vinkeln $13 5^{\circ}$ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan (13 5^{\circ}) = \frac{sin ( 1 3 5 ^{\circ} )}{cos ( 1 3 5 ^{\circ} )}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (13 5^{\circ}) = \frac{1 / 2}{- 1 / 2}

MoveNegDenomToFrac

Skriv minustecken framför bråk

tan (13 5^{\circ}) = - \frac{1 / 2}{1 / 2}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

tan (13 5^{\circ}) = - 1

Q.E.D.

Vinkeln $15 0^{\circ}$

Bevis

sin (15 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $15 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $y$ -axeln.

Det betyder att $y$ -koordinaten för punkten som motsvarar vinkeln $15 0^{\circ}$ är $\frac{1}{2},$ vilket i sin tur innebär att $sin (15 0^{\circ}) = \frac{1}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

cos (15 0^{\circ}) = - \frac{3}{2}

Genom att rita en radie med vinkeln $15 0^{\circ}$ mot den positiva $x$ -axeln bildas en rätvinklig triangel mot $x$ -axeln.

Punkten som motsvarar vinkeln $15 0^{\circ}$ ligger till vänster om $y$ -axeln, så dess $x$ -koordinat är $- \frac{3}{2} .$ Det innebär att $cos (15 0^{\circ}) = - \frac{3}{2} .$

Q.E.D.

Bevis

tan (15 0^{\circ}) = - \frac{1}{3}

Tangensvärdet för vinkeln $15 0^{\circ}$ beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel.

tan (15 0^{\circ}) = \frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 1 5 0 ^{\circ} )}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan (15 0^{\circ}) = \frac{1 / 2}{- 3 / 2}

DivFracByFracSameDenom

$\frac{a / 2}{b / 2} = \frac{a}{b}$

tan (15 0^{\circ}) = \frac{1}{- 3}

MoveNegDenomToFrac

Skriv minustecken framför bråk

tan (15 0^{\circ}) = - \frac{1}{3}

Q.E.D.

Vinkeln $18 0^{\circ}$

Bevis

sin (18 0^{\circ}) = 0

Punkten som motsvarar vinkeln $18 0^{\circ}$ hamnar längst ut till vänster på enhetscirkeln.

Denna punkt ligger på $x$ -axeln, där $y$ -värdet lika med $0 .$ Det betyder att $sin (18 0^{\circ}) = 0 .$

Q.E.D.

Bevis

cos (18 0^{\circ}) = - 1

Punkten som motsvarar vinkeln $0^{\circ}$ hamnar längst ut till vänster på enhetscirkeln.

Punkten ligger alltså på negativa delen av $x$ -axeln, och eftersom enhetscirkelns radie är $1$ så har punkten $x$ -värdet $- 1 .$ Det betyder att $cos (0^{\circ}) = - 1 .$

Q.E.D.

Bevis

tan (18 0^{\circ}) = 0

Tangensvärdet beräknas genom att dividera sinusvärdet med cosinusvärdet för samma vinkel. De är

0

respektive

- 1

vilket betyder att

tan (18 0^{\circ}) = \frac{0}{- 1} = 0 .

Man får alltså att

tan (18 0^{\circ}) = 0 .

Q.E.D.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Vinkeln 0∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 30∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 45∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 60∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 90∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 120∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 135∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 150∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln 180∘

Bevis

Bevis

Bevis

Vinkeln $0^{\circ}$

Vinkeln $3 0^{\circ}$

Vinkeln $4 5^{\circ}$

Vinkeln $6 0^{\circ}$

Vinkeln $9 0^{\circ}$

Vinkeln $12 0^{\circ}$

Vinkeln $13 5^{\circ}$

Vinkeln $15 0^{\circ}$

Vinkeln $18 0^{\circ}$