Skissa grafer: Teckentabell och derivator

$x$	$0.5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}$	$f (x)$
$- 2$	$0.5 \cdot (- 2)^{4} + \frac{( - 2 ) ^{3}}{3} - 3 \cdot (- 2)^{2}$	$\sim - 6.7$
$0$	$0.5 \cdot 0^{4} + \frac{0 ^{3}}{3} - 3 \cdot 0^{2}$	$0$
$1.5$	$0.5 \cdot 1.5^{4} + \frac{1 . 5 ^{3}}{3} - 3 \cdot 1.5^{2}$	$\sim - 3.1$

$x$	$6 x^{2} + 2 x - 6$	$f^{''} (x)$	Tecken
$- 2$	$6 (- 2)^{2} + 2 (- 2) - 6$	$14$	$+$
$0$	$6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 6$	$- 6$	$-$
$1.5$	$6 \cdot 1.5^{2} + 2 \cdot 1.5 - 6$	$10.5$	$+$

$x$		$- 4$		$- 1$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$- 27$	$↗$	$20$	$↘$	$6$	$↘$

$x$		$- 4$		$- 1$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$- 27$	$↗$	$20$	$↘$	$6$	$↘$

$x$	$0.6 x^{2}$	$f^{'} (x)$	Tecken
$- 1$	$0.6 \cdot (- 1)^{2}$	$0.6$	$+$
$1$	$0.6 \cdot 1^{2}$	$0.6$	$+$

$x$		$0$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Ter.	$↗$

Skissa grafen till

f (x) = x^{5} + \frac{1 5 x ^{4}}{2} + 15 x^{3} .

För att skissa grafen behöver vi först bestämma funktionens stationära punkter och för att göra det beräknar vi derivatans nollställen.

Nu likställer vi derivatan med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Derivatan har alltså ett nollställe där x=0. Den andra ekvationen löser vi med pq-formeln.

Derivatan har ytterligare ett nollställe i x=-3. Innan vi klassificerar punkterna bestämmer vi deras motsvarande y-värden.

x	x^5+15x^4/2+15x^3	f(x)
- 3	( - 3)^5+15( - 3)^4/2+15( - 3)^3	- 40.5
0	0^5+15* 0^4/2+15* 0^3	0

För att klassificera de stationära punkterna använder vi andraderivata så vi deriverar en gång till.

Nu sätter vi in de stationära punkternas x-värden i andraderivatan.

x	20x^3+90x^2+90x	f''(x)
- 3	20( - 3)^3+90( - 3)^2+90( - 3)	0
0	20* 0^3+90* 0^2+90* 0	0

Andraderivatans värde i x=- 3 och x=0 är 0 så vi kan inte bestämma de stationära punkternas karaktär på detta viset. Istället undersöker vi derivatans tecken till vänster och höger om förstaderivatans nollställen.

x	5x^4+30x^3+45x^2	f'(x)	Tecken
- 4	5( - 4)^4+30( - 4)^3+45( - 4)^2	80	+
- 2	5( - 2)^4+30( - 2)^3+45( - 2)^2	20	+
1	5* 1^4+30* 1^3+45* 1^2	80	+

Derivatan är positiv runtomkring derivatans nollställen. Funktionen växer alltså hela tiden vilket betyder att båda extrempunkterna är terrasspunkter.

x		- 3		0
f'(x)	+	0	+	0	+
f(x)	↗	Ter.	↗	Ter.	↗

Vi markerar terrasspunkterna.

Till sist binder vi ihop punkterna.

Skissa grafen till $f (x) = 3 x (x - 3) (x + 3) .$

För att skissa grafen måste vi känna till och klassificera funktionens stationära punkter. Då behöver vi derivera funktionen och därefter hitta derivatans nollställen. Men innan vi gör det kan vi bestämma funktionens nollställen med nollproduktmetoden.

Funktionen har alltså nollställen i x=0, x=3 och x=- 3. Nu deriverar vi funktionen för att kunna bestämma de stationära punkternas x-koordinater. Innan vi kan göra detta utvecklar vi dock högerledet.

När vi deriverat funktionen likställer vi den med 0 och löser ut x.

Derivatan är alltså 0 för x≈ - 1.73 och x≈ 1.73. Nu bestämmer vi de stationära punkternas y-värden.

x	3x^3-27x	f(x)
- sqrt(3)	3( - sqrt(3))^3-27( - sqrt(3))	~ 31.2
sqrt(3)	3( sqrt(3))^3-27* sqrt(3)	~ - 31.2

För att avgöra de stationära punkternas karaktär använder vi funktionens andraderivata.

Nu undersöker vi andraderivatans tecken i de stationära punkterna.

x	18x	f''(x)	Tecken
- sqrt(3)	18( - sqrt(3))	~ - 31.2	-
sqrt(3)	18* sqrt(3)	31.2	+

Andraderivatan i den första stationära punkten är negativ så det måste vara en maximipunkt. I den andra stationära punkten är andraderivatan positiv så detta är en minimipunkt. Vi markerar nollställen och stationära punkter.

Sedan skissar vi kurvan genom att binda ihop punkterna.

Skissa grafen till $f (x)$ om du vet följande:

$f (- 6) = 0, f (- 3) = 54 och f (- 1) = 50 .$
$f^{'} (- 3) = f^{'} (- 1) = 0 .$
$f^{''} (- 3) < 0 och f^{''} (- 1) > 0 .$

Till att börja med vet vi att f(- 6)=0, f(- 3)=54 och f(- 1)=50, vilket ger 3 punkter som funktionens graf kommer att gå igenom: (- 6,0), (- 3, 54) och (- 1,50). Från uppgiften har vi även fått att f'(- 3)=f'(- 1)=0 vilket betyder att derivatans värde är 0 i punkterna där x=- 3 och x=- 1. Punkter där derivatan är 0 är stationära punkter, så två av de punkterna vi känner till är stationära och en är inte det. Vi kan nu rita en inledande skiss där vi sätter ut punkterna och markerar vilka som är stationära.

För att kunna skissa grafen måste vi även bestämma de stationära punkternas karaktär. Olikheten f''(- 3)<0 betyder att andraderivatan är negativ i x=- 3, vilket innebär att detta måste vara en maximipunkt. Vi vet även att att andraderivatan är positiv i x=- 1 eftersom f''(- 1)>0. Detta är alltså en minimipunkt.

Punkten i (-6, 0) vet inget mer om än att grafen ska gå igenom den, så nu när vi ritar vår graf genom extrempunkterna så ser vi också till att den går igenom den punkten.

Skissa grafer

Skissa en graf med första- och andraderivata

Exempel

Skissa grafen utifrån teckentabellen

Exempel

Skissa grafen med derivata

Derivera funktionen

Bestäm derivatans nollställen

Markera de stationära punkterna i ett koordinatsystem

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

Skissa grafen

Skissa grafer

Rekommenderade uppgifter

	4 sidor teori
	8 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.