Skissa grafer: Teckentabell och derivator

$x$	$0, 5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}$	$f (x)$
$- 2$	$0, 5 \cdot (- 2)^{4} + \frac{( - 2 ) ^{3}}{3} - 3 \cdot (- 2)^{2}$	$\sim - 6, 7$
$0$	$0, 5 \cdot 0^{4} + \frac{0 ^{3}}{3} - 3 \cdot 0^{2}$	$0$
$1, 5$	$0, 5 \cdot 1, 5^{4} + \frac{1 , 5 ^{3}}{3} - 3 \cdot 1, 5^{2}$	$\sim - 3, 1$

De tre stationära punkterna har alltså de ungefärliga koordinaterna $(- 2; - 6, 7),$ $(0, 0)$ och $(1, 5; - 3, 1) .$ Första steget i att skissa grafen till funktionen är att markera dessa punkter i ett koordinatsystem.

4

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan

För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.

f^{'} (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (2 x^{3}) + D (x^{2}) - D (6 x)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 6 x^{2} + D (x^{2}) - D (6 x)

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 6 x^{2} + 2 x - D (6 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

f^{''} (x) = 6 x^{2} + 2 x - 6

Andraderivatan är alltså

f^{''} (x) = 6 x^{2} + 2 x - 6,

och genom att sätta in

x -

värdena från respektive stationär punkt beräknas andraderivatan i dem.

$x$	$6 x^{2} + 2 x - 6$	$f^{''} (x)$	Tecken
$- 2$	$6 (- 2)^{2} + 2 (- 2) - 6$	$14$	$+$
$0$	$6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 6$	$- 6$	$-$
$1, 5$	$6 \cdot 1, 5^{2} + 2 \cdot 1, 5 - 6$	$10, 5$	$+$

I två av punkterna, där $x$ är $- 2$ och $1, 5,$ ser man att andraderivatan är positiv. Det innebär att dessa är minimipunkter. Den stationära punkten i $x = 0$ är istället en maximipunkt eftersom andraderivatan är negativ där. Detta markeras i koordinatsystemet.

Notera att om andraderivatan blir $0$ för något $x -$ värde så vet man inte vilken karaktär den stationära punkten har utan man måste undersöka det med teckentabell.

5

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

Grafen kommer inte att vända på några fler ställen än i de stationära punkterna, men för att få en bättre idé om grafens form kan det behövas fler punkter. Funktionens nollställen, om det finns några sådana, brukar vara av intresse och man hittar dem genom att lösa ekvationen

f (x) = 0 .

Man kan dock välja vilka

x -

värden som helst och beräkna motsvarande

y -

värden.

f (x) = 0, 5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}

Substitute

$f (x) = 0$

0 = 0, 5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

0, 5 x^{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2} = 0

FactorOut

Bryt ut $x^{2}$

x^{2} (0, 5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x^{2} = 0 0, 5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0 (I) (II)

SqrtEqn

$(I):$ $VL = HL$

x = \pm 0 0, 5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0

CalcRoot

$(I):$ Beräkna rot

x = 0 0, 5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0

Funktionen skär alltså

x -

axeln vid

x = 0 .

Övriga nollställen får man genom att lösa den andra ekvationen, t.ex. genom att skriva den på

p q -

form och lösa med

p q -

formeln.

0, 5 x^{2} + \frac{x}{3} - 3 = 0

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

x^{2} + \frac{2}{3} \cdot x - 6 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = \frac{2}{3}, q = - 6$

x = - \frac{2 / 3}{2} \pm (\frac{2 / 3}{2})^{2} - (- 6)

DivFracD

$\frac{a / c}{b} = \frac{a}{b \cdot c}$

x = - \frac{2}{6} \pm (\frac{2}{6})^{2} - (- 6)

ReduceFrac

Förkorta med $2$

x = - \frac{1}{3} \pm (\frac{1}{3})^{2} - (- 6)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - \frac{1}{3} \pm (\frac{1}{3})^{2} + 6

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - \frac{1}{3} - (\frac{1}{3})^{2} + 6 x_{2} = - \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} + 6

UseCalc

Slå in på räknare

x_{1} = - 2, 80539 \dots x_{2} = 2, 13873 \dots

Funktionen kommer alltså skära

x -

axeln där

x

är

0,

ca

- 2, 8

och ca

2, 1,

vilket nu kan markeras i koordinatsystemet.

$x$	$0, 6 x^{2}$	$f^{'} (x)$	Tecken
$- 1$	$0, 6 \cdot (- 1)^{2}$	$0, 6$	$+$
$1$	$0, 6 \cdot 1^{2}$	$0, 6$	$+$

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Skissa en graf med första- och andraderivata

Skissa grafen utifrån teckentabellen

Svar

Ledtråd

Lösning

Skissa grafen med derivata

Svar

Ledtråd

Lösning

Derivera funktionen

Bestäm derivatans nollställen

Markera de stationära punkterna i ett koordinatsystem

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

Skissa grafen

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

$x$		$- 4$		$- 1$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$- 27$	$↗$	$20$	$↘$	$6$	$↘$