Skissa grafer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

När man skissar grafer vill man veta hur de ser ut i stora drag. Man är alltså inte intresserad av att veta samtliga punkter en graf går igenom utan bara dess generella utseende. Det är dock nödvändigt att bestämma de stationära punkternas koordinater och karaktär för att veta var grafen vänder.
Metod

Skissa en graf med första- och andraderivata

En funktions första- och andraderivata kan användas för att skissa funktionens graf, där förstaderivatan används för att bestämma var funktionen har stationära punkter och andraderivatan för att avgöra punkternas karaktär. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen f(x)=0.5x4+x333x2 f(x)=0.5x^4+\frac{x^3}{3}-3x^2 med denna metod.

1

Derivera funktionen
Funktionen f(x)f(x) deriveras först med lämpliga deriveringsregler.
f(x)=0.5x4+x333x2f(x)=0.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2
f(x)=D(0.5x4)+D(x33)D(3x2)f'(x)=D\left(0.5x^4\right)+D\left(\dfrac{x^3}{3}\right)-D\left(3x^2\right)
f(x)=2x3+D(x33)6xf'(x)=2x^3+D\left(\dfrac{x^3}{3}\right)-6x
f(x)=2x3+x26xf'(x)=2x^3+x^2-6x

2

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta xx-värdena för funktionens stationära punkter sätter man sedan derivatan lika med 00 och löser ekvationen.

f(x)=2x3+x26xf'(x)=2x^3+x^2-6x
0=2x3+x26x{\color{#0000FF}{0}}=2x^3+x^2-6x
2x3+x26x=02x^3+x^2-6x=0
x(2x2+x6)=0x\left(2x^2+x-6\right)=0
x=02x2+x6=0\begin{array}{l}x=0 \\ 2x^2+x-6=0 \end{array}

Den första ekvationen ger direkt ett av derivatans nollställen, x=0,x=0, och den andra ekvationen kan lösas med pqpq-formeln. Den måste dock skrivas om på pqpq-form först.

2x2+x6=02x^2+x-6=0
x2+0.5x3=0x^2+0.5x-3=0
x=-0.52±(0.52)2(-3)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{0.5}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{0.5}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}3}}\right)}
x=-0.25±0.252(-3)x=\text{-}0.25\pm\sqrt{0.25^2-(\text{-}3)}
x=-0.25±0.0625(-3)x=\text{-}0.25\pm\sqrt{0.0625-(\text{-}3)}
x=-0.25±0.0625+3x=\text{-}0.25\pm\sqrt{0.0625+3}
x=-0.25±3.0625x=\text{-}0.25\pm\sqrt{3.0625}
x=-0.25±1.75x=\text{-}0.25\pm1.75
x1=-2x2=1.5\begin{array}{l}x_1=\text{-}2 \\ x_2=1.5 \end{array}

Övriga nollställen till derivatan är x=-2x=\text{-}2 och x=1.5.x=1.5. Funktionen har alltså stationära punkter där xx är -2,\text{-}2, 00 och 1.5.1.5.

3

Markera de stationära punkterna i ett koordinatsystem

Genom att sätta in respektive xx-värde i funktionen bestämmer man de stationära punkternas yy-värden.

xx 0.5x4+x333x20.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2 f(x)f(x)
-2{\color{#0000FF}{\text{-}2}} 0.5(-2)4+(-2)333(-2)20.5\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^4+\dfrac{({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^3}{3}-3\cdot({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2 -6.7\sim \text{-}6.7
0 {\color{#0000FF}{0}} 0.504+0333020.5\cdot {\color{#0000FF}{0}}^4+\dfrac{{\color{#0000FF}{0}}^3}{3}-3 \cdot {\color{#0000FF}{0}}^2 00
1.5 {\color{#0000FF}{1.5}} 0.51.54+1.53331.520.5 \cdot {\color{#0000FF}{1.5}}^4+\dfrac{{\color{#0000FF}{1.5}}^3}{3}-3 \cdot {\color{#0000FF}{1.5}}^2 -3.1\sim \text{-}3.1

De tre stationära punkterna har alltså de ungefärliga koordinaterna (-2,-6.7),(\text{-}2,\text{-}6.7), (0,0)(0,0) och (1.5,-3.1).(1.5,\text{-}3.1). Första steget i att skissa grafen till funktionen är att markera dessa punkter i ett koordinatsystem.


4

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan
För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.
f(x)=2x3+x26xf'(x)=2x^3+x^2-6x
f(x)=D(2x3)+D(x2)D(6x)f''(x)=D\left(2x^3\right)+D\left(x^2\right)-D(6x)
f(x)=6x2+D(x2)D(6x)f''(x)=6x^2+D\left(x^2\right)-D(6x)
f(x)=6x2+2xD(6x)f''(x)=6x^2+2x-D(6x)
f(x)=6x2+2x6f''(x)=6x^2+2x-6
Andraderivatan är alltså f(x)=6x2+2x6,f''(x)=6x^2+2x-6, och genom att sätta in xx-värdena från respektive stationär punkt beräknas andraderivatan i dem.
xx 6x2+2x66x^2+2x-6 f(x)f''(x) Tecken
-2{\color{#0000FF}{\text{-}2}} 6(-2)2+2(-2)66({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2+2({\color{#0000FF}{\text{-}2}})-6 1414 ++
0 {\color{#0000FF}{0}} 602+2066 \cdot {\color{#0000FF}{0}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{0}}-6 -6\text{-}6 -
1.5 {\color{#0000FF}{1.5}} 61.52+21.566 \cdot {\color{#0000FF}{1.5}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{1.5}}-6 10.510.5 ++

I två av punkterna, där xx är -2\text{-}2 och 1.51.5, ser man att andraderivatan är positiv. Det innebär att dessa är minimipunkter. Den stationära punkten i x=0x=0 är istället en maximipunkt eftersom andraderivatan är negativ där. Detta markeras i koordinatsystemet.

Notera att om andraderivatan blir 00 för något xx-värde så vet man inte vilken karaktär den stationära punkten har utan man måste undersöka det med teckentabell.

5

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen
Grafen kommer inte att vända på några fler ställen än i de stationära punkterna, men för att få en bättre idé om grafens form kan det behövas fler punkter. Funktionens nollställen, om det finns några sådana, brukar vara av intresse och man hittar dem genom att lösa ekvationen f(x)=0.f(x) = 0. Man kan dock välja vilka xx-värden som helst och beräkna motsvarande yy-värden.
f(x)=0.5x4+x333x2f(x)=0.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2
0=0.5x4+x333x2{\color{#0000FF}{0}}=0.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2
0.5x4+x333x2=00.5x^4+\dfrac{x^3}{3}-3x^2=0
x2(0.5x2+x33)=0x^2\left(0.5x^2+\dfrac{x}{3}-3\right)=0
x2=0(I)0.5x2+x33=0(II)\begin{array}{lc}x^2=0 & \text{(I)}\\ 0.5x^2+\frac{x}{3}-3=0 & \text{(II)}\end{array}
x=±00.5x2+x33=0\begin{array}{l}x=\pm\sqrt{0} \\ 0.5x^2+\frac{x}{3}-3=0 \end{array}
x=00.5x2+x33=0\begin{array}{l}x=0 \\ 0.5x^2+\frac{x}{3}-3=0 \end{array}
Funktionen skär alltså xx-axeln vid x=0.x=0. Övriga nollställen får man genom att lösa den andra ekvationen, t.ex. genom att skriva den på pqpq-form och lösa med pqpq-formeln.
0.5x2+x33=00.5x^2+\dfrac{x}{3}-3=0
x2+23x6=0x^2+\dfrac{2}{3}\cdot x-6=0
x=-2/32±(2/32)2(-6)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{2/3}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{2/3}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}6}}\right)}
x=-26±(26)2(-6)x=\text{-}\dfrac{2}{6}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{6}\right)^2-(\text{-}6)}
x=-13±(13)2(-6)x=\text{-}\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-(\text{-}6)}
x=-13±(13)2+6x=\text{-}\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + 6}
x1=-13(13)2+6x2=-13+(13)2+6\begin{array}{l}x_1=\text{-} \frac{1}{3} - \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 6} \\ x_2=\text{-} \frac{1}{3} + \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 6} \end{array}
x1=-2.80539x2=2.13873\begin{array}{l}x_1=\text{-}2.80539\ldots \\ x_2=2.13873\ldots \end{array}
Funktionen kommer alltså skära xx-axeln där xx är 0,0, ca -2.8\text{-}2.8 och ca 2.1,2.1, vilket nu kan markeras i koordinatsystemet.


6

Skissa grafen

Till sist kopplas punkterna samman med en kurva. För funktionen f(x)=0.5x4+x333x2f(x)=0.5x^4+\frac{x^3}{3}-3x^2 ser den skissade grafen ut på följande sätt.

Uppgift

Skissa grafen till funktionen f(x)f(x) med hjälp av teckentabellen.

xx -4\text{-}4 -1\text{-}1 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 - 00 -
f(x)f(x) \phantom{\searrow} -27\text{-}27 \phantom{\nearrow} 2020 \phantom{\searrow} 66 \phantom{\searrow}
Lösning

Vi bestämmer först storleken på koordinatsystemet. Vi har givna intressanta punkter från x=-4x=\text{-}4 till x=2,x=2, men vi vill också kunna se hur grafen beter sig till vänster och höger om dessa. Då kan man t.ex. välja att rita xx-axeln från -6\text{-}6 till 6.6. Med samma resonemang kan vi välja yy-axeln från -30\text{-}30 till 3030 eftersom yy-värdena sträcker sig från -27\text{-} 27 till 20.20.

Sedan färdigställer vi teckentabellen. En positiv derivata betyder växande funktion och negativ derivata innebär avtagande funktion.

xx -4\text{-}4 -1\text{-}1 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 - 00 -
f(x)f(x) \searrow -27\text{-}27 \nearrow 2020 \searrow 66 \searrow

Funktionen har alltså en minimipunkt i (-4,-27),(\text{-}4, \text{-}27), en maximipunkt i (-1,20)(\text{-}1, 20) och en terrasspunkt i (2,6).(2,6). Vi ritar ut punkterna och "skissar karaktären" för grafen runt punkten.

Eftersom vi inte har något funktionsuttryck kan vi inte ta reda på någon mer information om grafen, som funktionens nollställen eller skärningspunkt med yy-axeln, så vi får gissa oss fram till ungefär hur den ser ut i övrigt när vi kopplar samman punkterna.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Skissa grafen till f(x)=0.2x3+4f(x)=0.2x^3+4 med derivata.

Lösning

Vi följer metoden för att skissa en graf med hjälp av derivata.

Derivera funktionen

Första steget är att derivera funktionen.

f(x)=0.2x3+4f(x)=0.2x^3+4
f(x)=D(0.2x3)+D(4)f'(x)=D\left(0.2x^3\right)+D(4)
f(x)=0.6x2+D(4)f'(x)=0.6x^2+D(4)
f(x)=0.6x2f'(x)=0.6x^2

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta funktionens stationära punkter sätter vi derivatan lika med 00 och löser ekvationen.
f(x)=0.6x2f'(x)=0.6x^2
0=0.6x2{\color{#0000FF}{0}}=0.6x^2
0.6x2=00.6x^2=0
x2=0x^2=0
x2=±0x^2=\pm \sqrt{0}
x=0x= 0
Derivatan har en dubbelrot i x=0.x=0. I punkten med detta xx-värde har funktionen alltså en stationär punkt.

Markera de stationära punkterna i ett koordinatsystem

Vi bestämmer yy-koordinaten för den stationära punkten genom att sätta in x=0x = 0 i funktionen f(x).f(x).
f(x)=0.2x3+4f(x)=0.2x^3+4
f(0)=0.203+4f({\color{#0000FF}{0}})=0.2\cdot {\color{#0000FF}{0}}^3+4
f(0)=0.20+4f(0)=0.2\cdot 0+4
f(0)=0+4f(0)=0+4
f(0)=4f(0)=4
Funktionen har en stationär punkt med koordinaterna (0,4).(0,4). Vi markerar denna punkt i ett koordinatsystem.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Avgör de stationära punkternas karaktär med andraderivatan

För att avgöra vilken typ av stationär punkt vi har hittat bestämmer vi andraderivatans tecken i punkten. Vi börjar med att ta fram funktionens andraderivata genom att derivera förstaderivatan.
f(x)=0.6x2f'(x)=0.6x^2
f(x)=D(0.6x2)f''(x)=D\left(0.6x^2\right)
f(x)=1.2xf''(x)=1.2x
Vi sätter nu in xx-värdet 00 i f(x)f''(x) för att avgöra andraderivatans tecken i punkten.
f(x)=1.2xf''(x)=1.2x
f(0)=1.20f''({\color{#0000FF}{0}})=1.2\cdot {\color{#0000FF}{0}}
f(0)=0f''(0)=0
Andraderivatan är lika med 00 i den stationära punkten. Det innebär att vi inte kan veta vilken typ av stationär punkt det är utan vi behöver undersöka det med en teckentabell. Vi undersöker förstaderivatans tecken för ett xx-värde som är mindre respektive större än 0.0. Vi kan t.ex. välja x=-1x = \text{-}1 och x=1.x = 1.
xx 0.6x20.6x^2 f(x)f'(x) Tecken
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} 0.6(-1)20.6\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2 0.60.6 ++
1 {\color{#0000FF}{1}} 0.6120.6\cdot {\color{#0000FF}{1}}^2 0.60.6 ++

Derivatan är positiv både till vänster och höger om x=0.x=0. Vi fyller i detta i en teckentabell och skriver samtidigt in hur funktionen ser ut.

xx 00
f(x)f'(x) ++ 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Ter. \nearrow

Vi kan konstatera att den stationära punkten måste vara en terrasspunkt eftersom grafen har positiv lutning på båda sidor om den, och markerar detta i koordinatsystemet.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

Vi vet nu ungefär hur grafen kommer att se ut runt terrasspunkten, men för att få en bättre idé om hur den ser ut på andra ställen undersöker vi också var den skär xx-axeln. För att ta reda på det bestämmer vi funktionens nollställe genom att likställa f(x)f(x) med 00 och lösa ekvationen.

f(x)=0.2x3+4f(x)=0.2x^3+4
0=0.2x3+4{\color{#0000FF}{0}}=0.2x^3+4
0.2x3+4=00.2x^3+4=0
x3+20=0x^3+20=0
x3=-20x^3=\text{-}20
x=-2.71441x=\text{-}2.71441\ldots

Funktionen skär alltså xx-axeln där xx är ca -2.7.\text{-}2.7. Vi markerar detta i koordinatsystemet.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Skissa grafen

Till sist skissar vi grafen till funktionen f(x)=0.2x3+4,f(x)=0.2x^3+4, dvs. en kurva som har terrasspunkt i (0,4)(0,4) och som skär xx-axeln i ca (-2.7,0).(\text{-}2.7,0).

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}