Metod

Lösa cosinusekvationer

I en cosinusekvation av typen $\cos(v) = 0.4$ är man ute efter alla vinklar $v$ som har cosinusvärdet $0.4.$

Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkeln finns oändligt många fler eftersom cosinusfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår tre moment, men när man själv löser ekvationen bör alla tre göras i samma beräkningssteg.

1

Hitta en lösning med arccos

Med funktionen arcuscosinus bestämmer man en vinkel som har cosinusvärdet $0.4.$ $\arccos(0.4)$

2

Lägg till spegellösningen med $\pm$

Arcuscosinus ger alltid en positiv vinkel, men som bilden visar bör det även finnas en negativ lösning. Den får man genom att spegla vinkeln i $x$-axeln. För att ange båda lösningarna samtidigt används tecknet $\pm.$ $\pm \arccos(0.4)$

3

Lägg till perioder

Nu har man hittat de två lösningar som syns i enhetscirkeln. Men cosinus har perioden $360^\circ$ (eller $2\pi$) så genom att lägga till ett varv hittar man ytterligare två: $\arccos(0.4) + 360^\circ \quad \text{och}\quad \text{-}\arccos(0.4) + 360^\circ.$ På samma sätt kan man lägga till eller dra bort ett godtyckligt antal hela varv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas $v = \pm \arccos(0.4) + n\cdot 360^\circ,$ där $n$ är ett heltal.

Ibland används begreppet lösningsmängd när man samlar ihop alla, eller en delmängd av, en ekvations lösningar. Det är särskilt användbart för trigonometriska ekvationer där man ofta vill beskriva oändligt många lösningar. I det här fallet är $v=\arccos(0.4) + n\cdot 360^\circ$ en lösningsmängd och $v=\text{-} \arccos(0.4) + n\cdot 360^\circ$ en annan.