Sinus- och cosinuskurvor

Derivatan beskriver lutningen på grafen, så vi undersöker några punkter där det är lättare att avgöra hur stor lutningen är. Enklast är maximi- och minimipunkterna, där lutningen är 0. Motsvarande punkter på grafen till derivatan kommer då att ligga på x-axeln.

Vi sätter sedan ut de punkter där lutningen är som mest positiv, alltså vid - 5π2, - π2, 3π2, osv. Lutningen är samma som i förra deluppgiften, så i derivatans graf bör dessa punkter ha y-värdet 1.

Lutningen är som mest negativ vid - 3π2, π2, - 5π2, 9π2 osv. Dessa punkter måste motsvara de högsta punkterna på derivatans graf. Det kan vara lite svårt att avgöra exakt vad lutningen är, alltså y-värdet på de punkter som ska sättas ut i derivatans graf, men vi vet i alla fall att de har samma lutning. Om man uppskattar värdet lite mer exakt ser man att det är 1.

Om vi ritar en graf genom alla dessa punkter ser vi att vi denna gång får något som varken är exakt en sinus- eller en cosinuskurva, men något som är väldigt likt.

Om man speglar kurvan i x-axeln får man precis en sinuskurva. Kurvan har alltså motsatta y-värden jämfört med sin(x), vilket innebär att det måste vara -sin(x). Derivatan är alltså D( cos(x) ) = -sin(x).

För att kunna få en första idé om hur sådana här grafer kan se ut börjar vi genom att rita upp graferna till funktionerna f(x) = sin(2x) och g(x) = sin(3x). De har perioderna 2π2 respektive 2π3.

Vi kan nu, utifrån denna figur, försöka resonera kring hur funktionen h(x) = f(x) + g(x) ser ut, framför allt gällande dess period. I x = 0 ser vi att både f(x) och g(x) har värdet 0 och en positiv derivata — därför kan vi utgå ifrån att även h(x) bör ha det där. Vid nästa x-värde detta inträffar, alltså x = 2π, bör precis en period för h(x) ha passerat. Vi bekräftar detta grafiskt.

Det är alltså ett rimligt antagande att då f(x) och g(x) är ett helt antal perioder från origo är även h(x) ett helt antal perioder från origo. Men vi nöjer oss inte enbart med ett exempel, och undersöker därför även h(x) för f(x) = sin(4x) och g(x) = sin(6x). De har perioderna 2π4 respektive 2π6.

Den här gången är det vid x = π som både f(x) och g(x) gått ett helt antal perioder, 2 respektive 3, från origo. Perioden för h(x) bör därför nu vara π, vilket vi kan se att så är fallet.

Vårt slutliga resonemang bör alltså ta avstamp i hur konstanterna m och n påverkar perioderna hos f(x) och g(x). Eftersom perioderna hos dessa funktioner är P_f = 2π/m och P_g = 2π/n kan vi veta att f(x) har exakt m st. perioder mellan origo och x = 2π, och g(x) har exakt n st. perioder på samma intervall. Alltså har h(x) garanterat ett helt antal perioder mellan origo och 2π. Men vi såg i det senaste exempel att h(x) kan ha en kortare period än så. Detta sker om m och n har någon gemensam primtalsfaktor k. Då kan vi skriva m och n som m = k * M respektive n = k * N, där M och N är okända heltal. Om vi använder detta i formeln för funktionens period får vi P_f = 2π/k/M och P_g = 2π/k/N. Med samma resonemang som tidigare innebär det här att f(x) har exakt M st. perioder mellan origo och x = 2π/k, och g(x) har exakt N st. perioder på samma intervall. Ett exempel när detta sker är för f(x) = sin(3x) och g(x) = sin(6x), där k = 3.

Både f(x) och g(x) har gått ett helt antal varv vid x = 2π/3. Om vi sedan upprepar detta genom att låta k vara produkten av alla gemensamma primtalsfaktorer till m och n, har vi hittat det största k för vilka f(x) och g(x) båda har gått ett helt antal varv i x = 2π/k. Detta motsvarar därför perioden för funktionen h(x) och är det sätt man hittar den sökta perioden på. Detta k som är produkten av alla gemensamma primtalsfaktorer till m och n kallas ibland deras största gemensamma delare.