body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Sinus- och cosinuskurvor Visa detaljer

Innehållsförteckning

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Kapitel

Sinus- och cosinuskurvor

Lektionen fokuserar på sinus och cosinus, två grundläggande trigonometriska funktioner. Den förklarar hur dessa funktioner representeras som grafer och hur de används inom matematik. Sinus och cosinus har flera tolkningar, inklusive sambandet mellan sidor och vinklar i trianglar och som koordinater för punkter på enhetscirkeln. De kan också representeras som grafer, och lektionen visar hur dessa grafer ser ut och hur man kan använda dem för att lösa olika problem. Det finns exempel på hur man kan använda sinus och cosinus för att beskriva olika fenomen, som vattendjupet i en vik eller spänningen i en växelströmskrets. Lektionen använder grafiska verktyg som Geogebra för att illustrera dessa koncept och erbjuder också praktiska exempel och övningar.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sinus- och cosinuskurvor

Sida av 8

Koncept

Periodisk funktion

I vardagen kan man prata om periodiska fenomen. Det är något som upprepar sig regelbundet, t.ex. jordens rörelse i solsystemet. Det tar cirka 365 dygn för jorden att fullborda ett varv runt solen — man säger att jordens omloppsbana har en period på 365 dygn. På motsvarande sätt kan matematiska funktioner vara periodiska funktioner.

Funktionens period är den kortaste tiden eller det kortaste avståndet mellan två motsvarande punkter på kurvan. Det kan t.ex. vara två intilliggande toppar eller dalar.

Enheten är inte nödvändigvis en tid eller ett avstånd, utan perioden får samma enhet som x-axeln har. Om den är enhetslös blir perioden också det.

Begrepp

Sinus- och cosinusfunktioner

Sinus och cosinus har flera tolkningar, bl.a. som sambandet mellan sidor och vinklar i trianglar och som koordinater för punkter på enhetscirkeln. Eftersom man för varje vinkel får ut exakt ett värde är sinus och cosinus även matematiska funktioner: y=sin(x) och y=cos(x).

Man kan beräkna sinus- och cosinusvärden för alla x, så definitionsmängden för dessa funktioner är alla reella tal. Värdemängden för både sin(x) och cos(x) är -1 ≤ y ≤ 1, eftersom sinus och cosinus varierar mellan just -1 och 1.

Tolka cosinusfunktionen

fullscreen

Vattendjupet i en vik påverkas av tidvatten och kan under vissa perioder beskrivas med funktionen d(t) = 2cos( π t6) + 2, där t är tiden i timmar efter midnatt och d är vattendjupet i meter. Med hjälp av funktionen, svara på följande frågor.

Vad är vattendjupet i viken klockan 5 på eftermiddagen?
Vad är det största vattendjupet?
När är vattendjupet som störst?

Visa Lösning

Exempel

Vattendjupet klockan 5

För att bestämma djupet vid en viss tidpunkt behöver vi först bestämma hur många timmar det har gått sedan midnatt. Klockan 5 på eftermiddagen har det gått 17 timmar, så vi söker funktionsvärdet d(17).

d(t) = 2cos(π t/6) + 2

Substitute

t= 17

d( 17) = 2cos(π * 17/6) + 2

UseCalc

Slå in på räknare

d(17) = 0.26794...

RoundDec

Avrunda till 21tiondelar 22hundradelar 23tusendelar 24tiotusendelar 25hundratusendelar 26miljontedelar 27hundramiljontedelar 28miljardtedelar

d(17) ≈ 0.27

Vattendjupet är cirka 0.27 m klockan 5 på eftermiddagen.

Exempel

Största vattendjupet

Det största vattendjupet, som vi kan kalla d_(max), motsvarar det största värdet på d(t). Detta får man då cosinusvärdet i funktionsuttrycket är så stort som möjligt, dvs. 1. Vi behöver alltså bara sätta in 1 i funktionsuttrycket för att beräkna maxdjupet: d_(max) = 2 * 1 + 2 = 4. Det största vattendjupet är 4 meter.

Exempel

Tidpunkt för största vattendjupet

För att hitta den eller de tidpunkter då vattendjupet är som störst sätter vi funktionen som beskriver vattendjupet, d(t), lika med 4 och löser ut t.

2cos(π t/6) + 2 = 4

▼

Lös ekvationen

SubEqn

VL-2=HL-2

2cos(π t/6) = 2

DivEqn

.VL /2.=.HL /2.

cos(π t/6) = 1

ArcCosEqn

arccos(VL) = arccos(HL)

π t/6 = ± arccos(1) + n * 2π

ArcCosRad

\ifnumequal{0}{0}{\arccos\left(1\right)=0}{}\ifnumequal{0}{30}{\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}6}{}\ifnumequal{0}{45}{\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}4}{}\ifnumequal{0}{60}{\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}3}{}\ifnumequal{0}{90}{\arccos\left(0\right)=\dfrac{\pi}2}{}\ifnumequal{0}{120}{\arccos\left(- \dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}3}{}\ifnumequal{0}{135}{\arccos\left(- \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3\pi}4}{}\ifnumequal{0}{150}{\arccos\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{5\pi}6}{}\ifnumequal{0}{180}{\arccos\left(- 1\right)=\pi}{}

π t/6 = ± 0 + n * 2π

AddTerms

Addera termerna

π t/6 = n * 2π

MultEqn

VL * 6=HL* 6

π t = n * 12π

DivEqn

.VL /π.=.HL /π.

t = n * 12

Vi vet nu att vattennivån är som störst då t = n * 12, där n≥0. Det motsvarar timme 0, 12, 24 osv. efter midnatt. Djupet är alltså som störst klockan 12 på natten och klockan 12 på dagen.

Metod

Läsa av period

Med hjälp av grafen till en sinus- eller cosinusfunktion kan man bestämma funktionens period. Eftersom en hel våg motsvarar en period kan man bestämma den genom att läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. I följande figur kan man exempelvis se att cosinus har perioden 2π.

Om det är svårt att läsa av x-värdena i vågornas toppar eller dalar kan man välja andra punkter. För att läsa av en period är det viktiga att man väljer motsvarande punkter på intilliggande vågor.

Ibland är det inte möjligt eller praktiskt att välja punkter med en periods mellanrum — då kan man istället välja punkter med ett större eller mindre avstånd. Så länge man vet precis hur många perioder det är mellan punkterna kan man bestämma funktionens period.

Amplitud

En funktions graf kan också användas för att bestämma amplituden. Amplituden är avståndet från funktionens mittlinje (medelvärde) till en topp eller dal. Amplituden =(största värdet − minsta värdet)/2 För funktionerna y = A sin x och y = A cos x är amplituden |A|. Funktionen y = 2 sin x har största värdet 2 och minsta värdet −2, så amplituden är 2. Förutom amplituden kan man också bestämma period från grafen.

Period

Perioden är längden av en hel våg, alltså hur långt det är innan grafen upprepar sig. För funktionerna y=Asin(kx) och y=Acos(kx) ges perioden enligt följande. P = 2π/k

Detta innebär att om k ökar, så minskar perioden och grafen svänger snabbare.

Läs av perioderna

fullscreen

Graferna till två funktioner har ritats i figuren. Bestäm deras perioder.

Visa Lösning

För att bestämma perioden för en funktion kan man t.ex. läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. Vi börjar med den blå grafen, där det finns två toppar men endast en dal. Det är därför lämpligt att undersöka avståndet mellan topparna.

Avståndet mellan dem är 4π, vilket innebär att funktionen till den blå grafen har perioden 4π. Den röda grafen har gott om både toppar och dalar, men topparna ligger inte på värden som är lätta att läsa av. Vi väljer därför två dalar bredvid varandra och läser av avståndet.

Funktionen till den röda grafen har alltså perioden π2.

Övning

Bestäm perioden för periodiska funktioner

Betrakta den periodiska funktionen i applet.

Metod

Lösa trigonometriska ekvationer grafiskt

Ibland kan det vara lämpligt att lösa trigonometriska ekvationer grafiskt. Då tolkar man ekvationens led som två funktionsuttryck, där skärningspunkternas x-värden anger lösningarna. På grund av de trigonometriska funktionernas periodicitet finns det ofta ett oändligt antal skärningspunkter som man måste ta hänsyn till när man anger lösningarna. Exempelvis kan ekvationen 5 sin(2x) - 3 = 0 lösas grafiskt. Här används en grafräknare för att rita grafer och bestämma skärningspunkter, men det går även bra med andra digitala verktyg som t.ex. Geogebra.

Lös ut den trigonometriska termen

Till att börja med löser man ut den trigonometriska termen så att den står ensam i höger- eller vänsterledet.

5 sin(2x) - 3 = 0

AddEqn

VL+3=HL+3

5 sin(2x) = 3

DivEqn

.VL /5.=.HL /5.

sin(2x) = 3/5

Rita graferna till vänster- och högerledet

Man ser sedan höger- och vänsterledet som två olika funktionsuttryck och ritar graferna till dessa. Det kan vara svårt att skissa sinuskurvor för hand, så man bör använda något sorts digitalt verktyg. I det här fallet ger vänsterledet en sinuskurva och högerledet en horisontell linje.

Eftersom sinusfunktionen som störst blir 1 kan man behöva ändra på y-axelns skala för att bättre kunna se graferna när man ritar ut dem på en räknare.

Bestäm skärningspunkter mellan graferna

Det kan finnas många skärningspunkter mellan graferna, men det räcker oftast att bestämma alla inom en period. På räknare använder man kommandot intersect för att bestämma skärningspunkter.

skärningspunkt med sinuskurva på TI-82-räknare

I det här fallet finns det två skärningspunkter i varje period. I första perioden till höger om y-axeln kan man hitta lösningarna x≈0,32 och x≈1,25. För att underlätta när man ska bestämma den trigonometriska funktionens period är det också bra att bestämma ytterligare en punkt i en intilliggande period.

Bestäm den trigonometriska funktionens period

För att kunna ange hela lösningsmängderna måste man bestämma den trigonometriska funktionens period. Det kan man göra genom en direkt avläsning i grafen eller genom att beräkna avståndet mellan två motsvarande skärningspunkter. För exemplet bestäms perioden med hjälp av skärningspunkterna från förra steget: 3,46 - 0,32 = 3,14 ≈ π.

Ange lösningsmängderna

Till sist bestämmer man alla lösningar till ekvationen genom att lägga till ett helt antal perioder till de lösningar man bestämde i steg 3. För exemplet är perioden π, så lösningsmängderna blir &x ≈ 0,32 + n * π och &x ≈ 1,25 + n * π, där n är ett heltal.

Den första lösningsmängden, x≈0,32+nπ, representeras av de röda punkterna, och de gröna punkterna motsvarar den andra, x≈ 1,25+nπ.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Sinus- och cosinuskurvor

Uppgift 3.1

Derivatan till sin(x) är cos(x). Vad bör derivatan till cos(x) vara? Använd figuren.

Derivatan beskriver lutningen på grafen, så du undersöker några punkter där det är lättare att avgöra hur stor lutningen är. Enklast är maximi- och minimipunkterna, där lutningen är 0. Motsvarande punkter på grafen till derivatan kommer då att ligga på x-axeln.

Du sätter sedan ut de punkter där lutningen är som mest positiv, alltså vid -5π/2, -π/2, 3π/2, osv. Lutningen är samma som i förra deluppgiften, så i derivatans graf bör dessa punkter ha y-värdet 1.

Lutningen är som mest negativ vid -3π/2, π/2, -5π/2, 9π/2 osv. Dessa punkter måste motsvara de högsta punkterna på derivatans graf. Det kan vara lite svårt att avgöra exakt vad lutningen är, alltså y-värdet på de punkter som ska sättas ut i derivatans graf, men vi vet i alla fall att de har samma lutning. Om man uppskattar värdet lite mer exakt ser man att det är 1.

Om du ritar en graf genom alla dessa punkter ser du att du denna gång får något som varken är exakt en sinus- eller en cosinuskurva, men något som är väldigt likt.

Om man speglar kurvan i x-axeln får man precis en sinuskurva. Kurvan har alltså motsatta y-värden jämfört med sin(x), vilket innebär att det måste vara -sin(x). Derivatan är alltså D( cos(x) ) = -sin(x).

Perioden P för funktioner av typen f(x)=sin(ax) där a ≠ 0 kan beräknas med formeln P=2π/a.

Funktion	a	Period
f(x)=sin(x)	1	2π/1
f(x)=sin(2x)	2	2π/2
f(x)=sin(3x)	3	2π/3
...	...	...

Undersök, resonerande och grafiskt, perioden för funktioner av typen h(x) = sin(mx) + sin(nx), där m och n är positiva heltal. Hur kan man algebraiskt bestämma perioden för h(x) med hjälp av värdena på m och n?

Den givna funktionen är en summa av två periodiska funktioner. h(x) = sin(mx) + sin(nx) Funktionen sin(mx) har perioden 2π/m och sin(nx) har perioden 2π/n. Perioden för summan bestäms av det minsta positiva värde där båda funktionerna samtidigt återgår till sina startvärden. Det innebär att du söker den minsta gemensamma perioden för de två funktionerna.
För att förstå detta kan du betrakta intervallet 0 till 2π:

sin(mx) genomgår då exakt m hela svängningar
sin(nx) genomgår exakt n hela svängningar

Den punkt där båda funktionerna åter upprepar sitt mönster bestäms av hur dessa svängningar passar ihop, detta bestäms av den största gemensamma delaren, t.ex. för 4 och 6 är den 2. Alltså är perioden för h(x): P=2π/sgd(m,n) Om m och n är relativt prima, sgd(m,n)=1, blir perioden 2π. Om de har gemensamma faktorer blir perioden kortare. Detta visar att summans period bestäms av hur de ingående funktionernas perioder samverkar.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan