Metod

Lösa trigonometriska ekvationer grafiskt

Ibland kan det vara lämpligt att lösa trigonometriska ekvationer grafiskt. Då tolkar man ekvationens led som två funktionsuttryck, där skärningspunkternas

x

-värden anger lösningarna. På grund av de trigonometriska funktionernas periodicitet finns det ofta ett oändligt antal skärningspunkter som man måste ta hänsyn till när man anger lösningarna. Exempelvis kan ekvationen

5 sin (2 x) - 3 = 0

lösas grafiskt. Här används en grafräknare för att rita grafer och bestämma skärningspunkter, men det går även bra med andra digitala verktyg som t.ex. Geogebra.

Lös ut den trigonometriska termen

Till att börja med löser man ut den trigonometriska termen så att den står ensam i höger- eller vänsterledet.

5 sin (2 x) - 3 = 0

AddEqn

$VL + 3 = HL + 3$

5 sin (2 x) = 3

DivEqn

$VL / 5 = HL / 5$

sin (2 x) = \frac{3}{5}

Rita graferna till vänster- och högerledet

Man ser sedan höger- och vänsterledet som två olika funktionsuttryck och ritar graferna till dessa. Det kan vara svårt att skissa sinuskurvor för hand, så man bör använda något sorts digitalt verktyg. I det här fallet ger vänsterledet en sinuskurva och högerledet en horisontell linje.

Eftersom sinusfunktionen som störst blir $1$ kan man behöva ändra på $y$ -axelns skala för att bättre kunna se graferna när man ritar ut dem på en räknare.

Bestäm skärningspunkter mellan graferna

Det kan finnas många skärningspunkter mellan graferna, men det räcker oftast att bestämma alla inom en period. På räknare använder man kommandot intersect för att bestämma skärningspunkter.

skärningspunkt med sinuskurva på TI-82-räknare

I det här fallet finns det två skärningspunkter i varje period. I första perioden till höger om

y

-axeln kan man hitta lösningarna

x \approx 0.32 och x \approx 1.25 .

För att underlätta när man ska bestämma den trigonometriska funktionens period är det också bra att bestämma ytterligare en punkt i en intilliggande period.

Bestäm den trigonometriska funktionens period

För att kunna ange hela lösningsmängderna måste man bestämma den trigonometriska funktionens period. Det kan man göra genom en direkt avläsning i grafen eller genom att beräkna avståndet mellan två motsvarande skärningspunkter. För exemplet bestäms perioden med hjälp av skärningspunkterna från förra steget:

3.46 - 0.32 = 3.14 \approx π .

Ange lösningsmängderna

Till sist bestämmer man alla lösningar till ekvationen genom att lägga till ett helt antal perioder till de lösningar man bestämde i steg

3 .

För exemplet är perioden

π,

så lösningsmängderna blir

x \approx 0.32 + n \cdot π och x \approx 1.25 + n \cdot π,

där

n

är ett heltal.

Den första lösningsmängden, $x \approx 0.32 + n π$ , representeras av de röda punkterna, och de gröna punkterna motsvarar den andra, $x \approx 1.25 + n π$ .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Se även