body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Sinus- och cosinuskurvor Visa detaljer

Innehållsförteckning

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Kapitel

Sinus- och cosinuskurvor

Lektionen fokuserar på sinus och cosinus, två grundläggande trigonometriska funktioner. Den förklarar hur dessa funktioner representeras som grafer och hur de används inom matematik. Sinus och cosinus har flera tolkningar, inklusive sambandet mellan sidor och vinklar i trianglar och som koordinater för punkter på enhetscirkeln. De kan också representeras som grafer, och lektionen visar hur dessa grafer ser ut och hur man kan använda dem för att lösa olika problem. Det finns exempel på hur man kan använda sinus och cosinus för att beskriva olika fenomen, som vattendjupet i en vik eller spänningen i en växelströmskrets. Lektionen använder grafiska verktyg som Geogebra för att illustrera dessa koncept och erbjuder också praktiska exempel och övningar.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sinus- och cosinuskurvor

Sida av 8

Koncept

Periodisk funktion

I vardagen kan man prata om periodiska fenomen. Det är något som upprepar sig regelbundet, t.ex. jordens rörelse i solsystemet. Det tar cirka 365 dygn för jorden att fullborda ett varv runt solen — man säger att jordens omloppsbana har en period på 365 dygn. På motsvarande sätt kan matematiska funktioner vara periodiska funktioner.

Funktionens period är den kortaste tiden eller det kortaste avståndet mellan två motsvarande punkter på kurvan. Det kan t.ex. vara två intilliggande toppar eller dalar.

Enheten är inte nödvändigvis en tid eller ett avstånd, utan perioden får samma enhet som x-axeln har. Om den är enhetslös blir perioden också det.

Begrepp

Sinus- och cosinusfunktioner

Sinus och cosinus har flera tolkningar, bl.a. som sambandet mellan sidor och vinklar i trianglar och som koordinater för punkter på enhetscirkeln. Eftersom man för varje vinkel får ut exakt ett värde är sinus och cosinus även matematiska funktioner: y=sin(x) och y=cos(x).

Man kan beräkna sinus- och cosinusvärden för alla x, så definitionsmängden för dessa funktioner är alla reella tal. Värdemängden för både sin(x) och cos(x) är -1 ≤ y ≤ 1, eftersom sinus och cosinus varierar mellan just -1 och 1.

Tolka cosinusfunktionen

fullscreen

Vattendjupet i en vik påverkas av tidvatten och kan under vissa perioder beskrivas med funktionen d(t) = 2cos( π t6) + 2, där t är tiden i timmar efter midnatt och d är vattendjupet i meter. Med hjälp av funktionen, svara på följande frågor.

Vad är vattendjupet i viken klockan 5 på eftermiddagen?
Vad är det största vattendjupet?
När är vattendjupet som störst?

Visa Lösning

Exempel

Vattendjupet klockan 5

För att bestämma djupet vid en viss tidpunkt behöver vi först bestämma hur många timmar det har gått sedan midnatt. Klockan 5 på eftermiddagen har det gått 17 timmar, så vi söker funktionsvärdet d(17).

d(t) = 2cos(π t/6) + 2

Substitute

t= 17

d( 17) = 2cos(π * 17/6) + 2

UseCalc

Slå in på räknare

d(17) = 0.26794...

RoundDec

Avrunda till 21tiondelar 22hundradelar 23tusendelar 24tiotusendelar 25hundratusendelar 26miljontedelar 27hundramiljontedelar 28miljardtedelar

d(17) ≈ 0.27

Vattendjupet är cirka 0.27 m klockan 5 på eftermiddagen.

Exempel

Största vattendjupet

Det största vattendjupet, som vi kan kalla d_(max), motsvarar det största värdet på d(t). Detta får man då cosinusvärdet i funktionsuttrycket är så stort som möjligt, dvs. 1. Vi behöver alltså bara sätta in 1 i funktionsuttrycket för att beräkna maxdjupet: d_(max) = 2 * 1 + 2 = 4. Det största vattendjupet är 4 meter.

Exempel

Tidpunkt för största vattendjupet

För att hitta den eller de tidpunkter då vattendjupet är som störst sätter vi funktionen som beskriver vattendjupet, d(t), lika med 4 och löser ut t.

2cos(π t/6) + 2 = 4

▼

Lös ekvationen

SubEqn

VL-2=HL-2

2cos(π t/6) = 2

DivEqn

.VL /2.=.HL /2.

cos(π t/6) = 1

ArcCosEqn

arccos(VL) = arccos(HL)

π t/6 = ± arccos(1) + n * 2π

ArcCosRad

\ifnumequal{0}{0}{\arccos\left(1\right)=0}{}\ifnumequal{0}{30}{\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}6}{}\ifnumequal{0}{45}{\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}4}{}\ifnumequal{0}{60}{\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}3}{}\ifnumequal{0}{90}{\arccos\left(0\right)=\dfrac{\pi}2}{}\ifnumequal{0}{120}{\arccos\left(- \dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}3}{}\ifnumequal{0}{135}{\arccos\left(- \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3\pi}4}{}\ifnumequal{0}{150}{\arccos\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{5\pi}6}{}\ifnumequal{0}{180}{\arccos\left(- 1\right)=\pi}{}

π t/6 = ± 0 + n * 2π

AddTerms

Addera termerna

π t/6 = n * 2π

MultEqn

VL * 6=HL* 6

π t = n * 12π

DivEqn

.VL /π.=.HL /π.

t = n * 12

Vi vet nu att vattennivån är som störst då t = n * 12, där n≥0. Det motsvarar timme 0, 12, 24 osv. efter midnatt. Djupet är alltså som störst klockan 12 på natten och klockan 12 på dagen.

Metod

Läsa av period

Med hjälp av grafen till en sinus- eller cosinusfunktion kan man bestämma funktionens period. Eftersom en hel våg motsvarar en period kan man bestämma den genom att läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. I följande figur kan man exempelvis se att cosinus har perioden 2π.

Om det är svårt att läsa av x-värdena i vågornas toppar eller dalar kan man välja andra punkter. För att läsa av en period är det viktiga att man väljer motsvarande punkter på intilliggande vågor.

Ibland är det inte möjligt eller praktiskt att välja punkter med en periods mellanrum — då kan man istället välja punkter med ett större eller mindre avstånd. Så länge man vet precis hur många perioder det är mellan punkterna kan man bestämma funktionens period.

Amplitud

En funktions graf kan också användas för att bestämma amplituden. Amplituden är avståndet från funktionens mittlinje (medelvärde) till en topp eller dal. Amplituden =(största värdet − minsta värdet)/2 För funktionerna y = A sin x och y = A cos x är amplituden |A|. Funktionen y = 2 sin x har största värdet 2 och minsta värdet −2, så amplituden är 2. Förutom amplituden kan man också bestämma period från grafen.

Period

Perioden är längden av en hel våg, alltså hur långt det är innan grafen upprepar sig. För funktionerna y=Asin(kx) och y=Acos(kx) ges perioden enligt följande. P = 2π/k

Detta innebär att om k ökar, så minskar perioden och grafen svänger snabbare.

Läs av perioderna

fullscreen

Graferna till två funktioner har ritats i figuren. Bestäm deras perioder.

Visa Lösning

För att bestämma perioden för en funktion kan man t.ex. läsa av avståndet mellan två intilliggande toppar eller dalar. Vi börjar med den blå grafen, där det finns två toppar men endast en dal. Det är därför lämpligt att undersöka avståndet mellan topparna.

Avståndet mellan dem är 4π, vilket innebär att funktionen till den blå grafen har perioden 4π. Den röda grafen har gott om både toppar och dalar, men topparna ligger inte på värden som är lätta att läsa av. Vi väljer därför två dalar bredvid varandra och läser av avståndet.

Funktionen till den röda grafen har alltså perioden π2.

Övning

Bestäm perioden för periodiska funktioner

Betrakta den periodiska funktionen i applet.

Metod

Lösa trigonometriska ekvationer grafiskt

Ibland kan det vara lämpligt att lösa trigonometriska ekvationer grafiskt. Då tolkar man ekvationens led som två funktionsuttryck, där skärningspunkternas x-värden anger lösningarna. På grund av de trigonometriska funktionernas periodicitet finns det ofta ett oändligt antal skärningspunkter som man måste ta hänsyn till när man anger lösningarna. Exempelvis kan ekvationen 5 sin(2x) - 3 = 0 lösas grafiskt. Här används en grafräknare för att rita grafer och bestämma skärningspunkter, men det går även bra med andra digitala verktyg som t.ex. Geogebra.

Lös ut den trigonometriska termen

Till att börja med löser man ut den trigonometriska termen så att den står ensam i höger- eller vänsterledet.

5 sin(2x) - 3 = 0

AddEqn

VL+3=HL+3

5 sin(2x) = 3

DivEqn

.VL /5.=.HL /5.

sin(2x) = 3/5

Rita graferna till vänster- och högerledet

Man ser sedan höger- och vänsterledet som två olika funktionsuttryck och ritar graferna till dessa. Det kan vara svårt att skissa sinuskurvor för hand, så man bör använda något sorts digitalt verktyg. I det här fallet ger vänsterledet en sinuskurva och högerledet en horisontell linje.

Eftersom sinusfunktionen som störst blir 1 kan man behöva ändra på y-axelns skala för att bättre kunna se graferna när man ritar ut dem på en räknare.

Bestäm skärningspunkter mellan graferna

Det kan finnas många skärningspunkter mellan graferna, men det räcker oftast att bestämma alla inom en period. På räknare använder man kommandot intersect för att bestämma skärningspunkter.

skärningspunkt med sinuskurva på TI-82-räknare

I det här fallet finns det två skärningspunkter i varje period. I första perioden till höger om y-axeln kan man hitta lösningarna x≈0,32 och x≈1,25. För att underlätta när man ska bestämma den trigonometriska funktionens period är det också bra att bestämma ytterligare en punkt i en intilliggande period.

Bestäm den trigonometriska funktionens period

För att kunna ange hela lösningsmängderna måste man bestämma den trigonometriska funktionens period. Det kan man göra genom en direkt avläsning i grafen eller genom att beräkna avståndet mellan två motsvarande skärningspunkter. För exemplet bestäms perioden med hjälp av skärningspunkterna från förra steget: 3,46 - 0,32 = 3,14 ≈ π.

Ange lösningsmängderna

Till sist bestämmer man alla lösningar till ekvationen genom att lägga till ett helt antal perioder till de lösningar man bestämde i steg 3. För exemplet är perioden π, så lösningsmängderna blir &x ≈ 0,32 + n * π och &x ≈ 1,25 + n * π, där n är ett heltal.

Den första lösningsmängden, x≈0,32+nπ, representeras av de röda punkterna, och de gröna punkterna motsvarar den andra, x≈ 1,25+nπ.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Sinus- och cosinuskurvor

Uppgift 2.1

En persons blodtryck är det tryck som väggarna i personens blodkärl utsätts för när blodet cirkulerar i kroppen. Förenklat beskrivet är blodtrycket som högst när hjärtat pumpar ut blod och som lägst när hjärtat fylls på med blod. Blodtrycket kommer hela tiden variera beroende på vilket stadium hjärtat är i. Kardiologen Ludmila har kommit fram till att blodtrycket för en av hennes patienter vid ett läkarbesök kan modelleras med funktionen p(t) = 20 sin( 7π3 * t) + 100, där p är blodtrycket i enheten mmHg och t är tiden i sekunder.

Resultatet av en blodtrycksmätning brukar anges i form av både det högsta uppmätta blodtrycket, kallat övertryck, och det lägsta uppmätta blodtrycket, kallat undertryck. Bestäm Ludmilas patients övertryck respektive undertryck vid läkarbesöket.

Bestäm patientens puls, dvs. antalet hjärtslag per minut, vid samma läkarbesök.

Eftersom över- och undertrycket motsvarar det högsta respektive lägsta blodtrycket behöver vi hitta det högsta respektive lägsta värdet på p(t). För att göra det kan vi tänka att p(t) är uppbyggd av tre olika delar: faktorn 20, faktorn sin ( 7π3 * t ) samt termen 100. Låt oss titta på dessa var och en för sig.

Del av funktion	Lägsta värde	Högsta värde
20	20	20
sin ( 7π3 * t )	-1	1
100	100	100

Av dessa är det endast sin ( 7π3 * t ) som varierar med avseende på t. Funktionen p(t) antar därför sitt största värde när denna sinusfunktion är som störst, dvs. 1, och sitt lägsta värde när den är som lägst, dvs. -1. Först beräknar vi det lägsta värdet.

Patientens undertryck är alltså 80 mmHg. Nu beräknar vi det högsta värdet på p(t).

Patientens övertryck är alltså 120 mmHg.

Vi vet att blodtrycket är periodiskt, t.ex. återkommer samma övertryck varje gång hjärtat pumpar ut blod. Det innebär att en period motsvarar 1 hjärtslag. Om vi kan bestämma perioden för p(t) kan vi alltså bestämma pulsen. Vi kan hitta perioden genom att bestämma avståndet mellan två intilliggande toppar. Värdet i topparna är 120 och vi kan bestämma när dessa inträffar genom att lösa ekvationen 20 sin( 7π3 * t) + 100=120. Vi löser den som en vanlig sinusekvation.

Perioden för p(t) är alltså 67. Detta kan tolkas som att tiden för 1 hjärtslag är 67-dels sekund. Frågan är nu hur många hjärtslag det går på 60 sekunder, dvs. hur många gånger får 67 plats i 60? Vi bestämmer det genom att lösa ekvationen 6/7* x=60, där x är antalet hjärtslag.

Patientens puls är alltså 70 slag/minut.

Finns det något värde på k sådant att ekvationen cos(x) = kx saknar reella lösningar?

Vi behöver lösa ekvationen grafiskt eftersom vi inte kan lösa den med algebraiska lösningsverktyg. Vi tittar först på ekvationen cos(x)=0* x, dvs. specialfallet då k=0. Vi ser på högerledet och vänsterledet som var sin funktion, ritar deras grafer och söker efter skärningspunkter.

Vi kan nu i koordinatsystemet se att vår ekvation har flera lösningar och att alla dessa är på x-axeln. Låt oss nu undersöka vad som händer när k har ett positivt värde. Vi ser på specialfallet då k=1, dvs. ekvationen cos(x)=x.

Vi ser en skärningspunkt, dvs. ekvationen har en lösning. När vi låter k har ett positivt värde istället för 0 kan vi se det som att vår räta linje vridits moturs med origo som rotationscentrum. Ju större värde på k desto mer lodrät blir y=kx. Vi studerar nu ekvationen cos(x)=10x.

Ekvationen har även nu en lösning. Funktionen y=cos(x) är sammanhängande och skär y-axeln i y = 1 samt x-axeln i x = π2. Därför kommer grafen till y=kx alltid skära y=cos(x) någonstans i första kvadranten då 0

Ekvationen har även nu exakt en lösning. Vi kan med samma resonemang som vi använde för positiva värden på k nu konstatera att då - ∞

Vi kan nu bekräfta att oavsett k-värde har ekvationen minst en lösning, och för vissa värden på k har den även fler lösningar. Det finns alltså inte något k sådant att ekvationen saknar reella lösningar.

Gör en uppskattning av värdet av tan(80^(∘)) genom att använda graferna nedan.

Eftersom tan(x) kan definieras som sin(x)/cos(x) kan vi lösa uppgiften genom att uppskatta cos(80^(∘)) och sin(80^(∘)) och sedan sätta in dessa värden i kvoten ovan. Vi saknar dock gradering på x-axlarna, vilket krävs för att kunna göra avläsningar. Vi måste därför börja med att sätta in värden längs x-axlarna. För att göra det i figuren med grafen till cos(x) kan vi t.ex. använda att cos(x) är lika med 0 för bl.a. vinklarna 90^(∘) och 270^(∘).

Nu har vi en skala på x-axeln. Den använder vi för att lokalisera x=80^(∘) och sedan gör vi en uppskattning av värdet för cos(80^(∘)).

Vi ser att cos(80^(∘))≈ 0,2. Vi bestämmer nu skalan på x-axeln i den andra figuren på samma sätt. Värdet på sin(x) är 0 för bl.a. vinkeln 180^(∘), så vi markerar detta och gör en uppskattning av sin(80^(∘)) baserat på det.

Vi får att sin(80^(∘))≈ 0,95. Till sist sätter vi in våra uppskattningar i definitionen för tangens, vilket ger att tan(80^(∘))=sin(80^(∘))/cos(80^(∘))≈ 0,95/0,20=4,75.

I figuren syns grafen till funktionen f(x). Lös ekvationen f(x) = -2. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.

Vi ser endast korta intervall av funktionen f(x) och lösningarna till ekvationen ligger utanför dessa intervall. Vi behöver därför göra en del antaganden. Ett rimligt antagande är att funktionen är sinusformad. Då kan vi använda att sinusfunktioner är periodiska. Låt oss komplettera figuren så att vi får en sinusformad kurva.

När vi jämför skärningspunkterna med i origo i de blåfärgade delarna till höger kan vi dra slutsatsen att funktionen är periodisk med perioden 360^(∘). Genom att studera skärningarna med x-axeln kan vi undersöka hur grafen beter sig under axeln.

Våra kända skärningspunkter med x-axeln ligger vid 0^(∘), 180^(∘) och 360^(∘). Området ovanför x-axeln är lika långt som det under den. Vi kan därför dra slutsatsen att områdena ovan och under x-axeln är lika stora. Om vi löser f(x)=2 kan vi använda denna egenskap för att hitta lösningarna till f(x)=-2.

Vi ser att lösningarna till denna ekvation är symmetriskt placerade mellan punkter där f(x) skär x-axeln. Funktionens symmetriegenskaper leder oss till att anta att även lösningarna till ekvationen f(x)=-2 ligger symmetriskt placerade mellan punkter där f(x) skär x-axeln. Låt oss markera dessa punkter i figuren.

Punkterna ligger vid 240^(∘) och 300^(∘). Om vi lägger till vår period får vi att lösningarna till ekvationen blir lx=240^(∘)+n*360^(∘) och x=300^(∘)+n*360^(∘).

Sinus- och cosinuskurvor

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan