Sinus- och cosinuskurvor

Eftersom över- och undertrycket motsvarar det högsta respektive lägsta blodtrycket behöver vi hitta det högsta respektive lägsta värdet på p(t). För att göra det kan vi tänka att p(t) är uppbyggd av tre olika delar: faktorn 20, faktorn sin ( 7π3 * t ) samt termen 100. Låt oss titta på dessa var och en för sig.

Av dessa är det endast sin ( 7π3 * t ) som varierar med avseende på t. Funktionen p(t) antar därför sitt största värde när denna sinusfunktion är som störst, dvs. 1, och sitt lägsta värde när den är som lägst, dvs. -1. Först beräknar vi det lägsta värdet.

Patientens undertryck är alltså 80 mmHg. Nu beräknar vi det högsta värdet på p(t).

Patientens övertryck är alltså 120 mmHg.

Vi vet att blodtrycket är periodiskt, t.ex. återkommer samma övertryck varje gång hjärtat pumpar ut blod. Det innebär att en period motsvarar 1 hjärtslag. Om vi kan bestämma perioden för p(t) kan vi alltså bestämma pulsen. Vi kan hitta perioden genom att bestämma avståndet mellan två intilliggande toppar. Värdet i topparna är 120 och vi kan bestämma när dessa inträffar genom att lösa ekvationen 20 sin( 7π3 * t) + 100=120. Vi löser den som en vanlig sinusekvation.

Perioden för p(t) är alltså 67. Detta kan tolkas som att tiden för 1 hjärtslag är 67-dels sekund. Frågan är nu hur många hjärtslag det går på 60 sekunder, dvs. hur många gånger får 67 plats i 60? Vi bestämmer det genom att lösa ekvationen 6/7* x=60, där x är antalet hjärtslag.

Patientens puls är alltså 70 slag/minut.

Vi behöver lösa ekvationen grafiskt eftersom vi inte kan lösa den med algebraiska lösningsverktyg. Vi tittar först på ekvationen cos(x)=0* x, dvs. specialfallet då k=0. Vi ser på högerledet och vänsterledet som var sin funktion, ritar deras grafer och söker efter skärningspunkter.

Vi kan nu i koordinatsystemet se att vår ekvation har flera lösningar och att alla dessa är på x-axeln. Låt oss nu undersöka vad som händer när k har ett positivt värde. Vi ser på specialfallet då k=1, dvs. ekvationen cos(x)=x.

Vi ser en skärningspunkt, dvs. ekvationen har en lösning. När vi låter k har ett positivt värde istället för 0 kan vi se det som att vår räta linje vridits moturs med origo som rotationscentrum. Ju större värde på k desto mer lodrät blir y=kx. Vi studerar nu ekvationen cos(x)=10x.

Ekvationen har även nu en lösning. Funktionen y=cos(x) är sammanhängande och skär y-axeln i y = 1 samt x-axeln i x = π2. Därför kommer grafen till y=kx alltid skära y=cos(x) någonstans i första kvadranten då 0

Ekvationen har även nu exakt en lösning. Vi kan med samma resonemang som vi använde för positiva värden på k nu konstatera att då - ∞

Vi kan nu bekräfta att oavsett k-värde har ekvationen minst en lösning, och för vissa värden på k har den även fler lösningar. Det finns alltså inte något k sådant att ekvationen saknar reella lösningar.

Eftersom tan(x) kan definieras som sin(x)/cos(x) kan vi lösa uppgiften genom att uppskatta cos(80^(∘)) och sin(80^(∘)) och sedan sätta in dessa värden i kvoten ovan. Vi saknar dock gradering på x-axlarna, vilket krävs för att kunna göra avläsningar. Vi måste därför börja med att sätta in värden längs x-axlarna. För att göra det i figuren med grafen till cos(x) kan vi t.ex. använda att cos(x) är lika med 0 för bl.a. vinklarna 90^(∘) och 270^(∘).

Nu har vi en skala på x-axeln. Den använder vi för att lokalisera x=80^(∘) och sedan gör vi en uppskattning av värdet för cos(80^(∘)).

Vi ser att cos(80^(∘))≈ 0.2. Vi bestämmer nu skalan på x-axeln i den andra figuren på samma sätt. Värdet på sin(x) är 0 för bl.a. vinkeln 180^(∘), så vi markerar detta och gör en uppskattning av sin(80^(∘)) baserat på det.

Vi får att sin(80^(∘))≈ 0.95. Till sist sätter vi in våra uppskattningar i definitionen för tangens, vilket ger att tan(80^(∘))=sin(80^(∘))/cos(80^(∘))≈ 0.95/0.20=4.75.

Vi ser endast korta intervall av funktionen f(x) och lösningarna till ekvationen ligger utanför dessa intervall. Vi behöver därför göra en del antaganden. Ett rimligt antagande är att funktionen är sinusformad. Då kan vi använda att sinusfunktioner är periodiska. Låt oss komplettera figuren så att vi får en sinusformad kurva.

När vi jämför skärningspunkterna med i origo i de blåfärgade delarna till höger kan vi dra slutsatsen att funktionen är periodisk med perioden 360^(∘). Genom att studera skärningarna med x-axeln kan vi undersöka hur grafen beter sig under axeln.

Våra kända skärningspunkter med x-axeln ligger vid 0^(∘), 180^(∘) och 360^(∘). Området ovanför x-axeln är lika långt som det under den. Vi kan därför dra slutsatsen att områdena ovan och under x-axeln är lika stora. Om vi löser f(x)=2 kan vi använda denna egenskap för att hitta lösningarna till f(x)=-2.

Vi ser att lösningarna till denna ekvation är symmetriskt placerade mellan punkter där f(x) skär x-axeln. Funktionens symmetriegenskaper leder oss till att anta att även lösningarna till ekvationen f(x)=-2 ligger symmetriskt placerade mellan punkter där f(x) skär x-axeln. Låt oss markera dessa punkter i figuren.

Punkterna ligger vid 240^(∘) och 300^(∘). Om vi lägger till vår period får vi att lösningarna till ekvationen blir lx=240^(∘)+n*360^(∘) och x=300^(∘)+n*360^(∘).