Rotationsvolymer

Vi kan börja med att skissa rotationskroppen för att visualisera volymen vi ska beräkna, även om det inte är nödvändigt för att lösa uppgiften. Funktionen roteras kring x-axeln mellan x-värdena 2 och 8.

Vi beräknar volymen av en rotationskropp som bildas när ett område roteras runt x-axeln med formeln V=π ∫_a^b( f(x) )^2 d x . Med gränserna a=2, b=8 och funktionen f(x)=sqrt(x) får vi att vår rotationskropps volym är V=π ∫_2^8( sqrt(x) )^2 d x , som efter förenkling blir V=π ∫_2^8x d x . Innan vi beräknar volymen behöver vi ta reda på integrandens primitiva funktion. Vi kan kalla integranden för h(x).

Låt oss nu beräkna volymen.

Rotationskroppens volym är alltså 30π ve.

Vi startar även denna deluppgift med att skissa rotationskroppen som bildas när vi roterar ytan runt x-axeln.

För att beräkna volymen av denna rotationskropp använder vi samma formel som tidigare: V=π ∫_a^b( f(x) )^2 d x . Vi sätter in gränserna a=0 och b=5 samt funktionen f(x)=x^2+1: V=π ∫_0^5( x^2+1 )^2 d x . Vi utvecklar integranden med hjälp av första kvadreringsregeln och får då V=π ∫_0^5(x^4+2x^2+1 ) d x . Låt oss bestämma integrandens primitiva funktion.

Till sist beräknar vi volymen.

Rotationskroppens volym är alltså 2140π3 ve.

Vi börjar med att skissa rotationskroppen, och ser då att den är en kon.

Man kan bestämma volymen av denna med den vanliga volymformeln för en kon, men nu ska vi istället ställa upp volymen som en integral. Vi använder därför att volymen av kroppen som bildas när man roterar ett område under en funktion f(x) kring x-axeln ges av integralen V=π ∫_a^b(f(x))^2 d x , där a och b är kroppens gränser i x-led. För att kunna använda denna formel måste vi känna till linjens ekvation, så vi börjar med att bestämma den. Eftersom linjen går genom origo kan vi direkt säga att den har m-värdet 0. k-värdet kan vi bestämma med k-formeln eftersom vi känner till två punkter på linjen.

Linjen beskrivs alltså av funktionsuttrycket f(x)=0.75x. Nu sätter vi in detta, samt gränserna 0 och 4, i formeln ovan för att få ett uttryck för konens volym: V=π ∫_0^4(0.75x)^2 d x . För att beräkna integralen förenklar vi integranden, som vi kan kalla h(x), samt bestämmer en primitiv funktion till denna.

Nu beräknar vi själva integralen.

Rotationskroppen har alltså volymen 12π ve.

Nu ska vi bestämma ett uttryck för volymen av den kropp som bildas om man roterar området under linjen mellan x=0 och x=h. Inte helt oväntat är även denna kropp en kon.

Vi använder samma volymformel som i föregående deluppgift, V=π ∫_a^b(f(x))^2 d x , för att bestämma ett uttryck för volymen och börjar med att bestämma linjens ekvation. Eftersom den går genom origo är m-värdet 0. Vi använder k-formeln för att bestämma k-värdet.

Linjen ges alltså av f(x)= rh* x. Vi sätter in detta funktionsuttryck samt gränserna 0 och h i formeln: V=π ∫_0^h(r/h* x)^2 d x . Innan vi kan bestämma integralen förenklar vi integranden, som vi kallar g(x), samt bestämmer en primitiv funktion till denna.

Nu beräknar vi integralen och tolkar resultatet.

Detta uttryck motsvarar precis volymformeln för en kon. Vi har alltså genom att se en kon med höjden h och radien r som en rotationskropp visat att den har volymen V=π r^2h/3.

Volymen man får om en kurva roteras kring x-axeln ges av integralen π ∫_a^b(f(x))^2 d x . I det här fallet är gränserna a=0 och b=1. Vi sätter in dem samt funktionen och multiplicerar in π: ∫_0^1π(3x^2+ax/sqrt(π))^2 d x . Om vi tar fram ett uttryck för integralen kan vi sätta det lika med 9215 för att bestämma a. Vi börjar med att förenkla integranden som vi kan kalla g(x).

För att integrera g(x) behöver vi en primitiv funktion.

Nu kan vi integrera.

Detta ska vara lika med 9215. Det ger oss en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.

Det finns alltså två värden på a som ger den sökta volymen: a=-6.5 och a=2.

Enligt skivmetoden kan volymen av en kropp som bildas vid rotation kring x-axeln beräknas med formeln V = π ∫_a^b(f(x))^2 d x . Rotationskroppens undre och övre gränser, a och b, kan vi avläsa i figuren — de är 0 och 8. Funktionen f(x) känner vi däremot inte till, så vi måste ta fram den. Vi ser att grafen är en rät linje, så vi vill alltså bestämma dess k- och m-värde. Funktionens m-värde avläser vi som - 2. Konstanten k beräknar vi t.ex. med hjälp av punkterna (0, - 2) och (4,0).

Vi har alltså kommit fram till att den räta linjen beskrivs av funktionen f(x) = x2 - 2. Innan integralen kan beräknas bestämmer vi en primitiv funktion till integranden (f(x))^2, som vi kallar g(x).

Nu beräknar vi integralen.

Rotationskroppen som bildas har alltså volymen V = 32π/3 ve.

När vi roterar det markerade området runt y-axeln får vi en kropp som ser ut som en avhuggen kon.

För att bestämma volymen av denna kropp kan vi använda skivmetoden. Men eftersom kroppen har skapats vid rotation kring y-axeln får man skivornas radie med hjälp av grafens x-värden istället för y-värden, och tjockleken blir Δ y istället för Δ x.

Det innebär att vi måste byta plats på y och x i vår vanliga formel för skivmetoden, vilket ger V = π ∫_a^b( f(y) )^2 d y . Vi kan bara använda formeln om vi har en funktion som beror på y istället för x, och det får vi genom att lösa ut x ur y=-2x-1.

För att kunna ställa upp integralen måste vi bestämma integrationsgränserna. Eftersom vår funktion beror på y måste gränserna vara det största respektive minsta y-värdet som avgränsar området. I det här fallet går det bra att läsa av dem direkt ur figuren som \begin{aligned} y_\text{min} = 1 \quad \text{och} \quad y_\text{max} = 3. \end{aligned} Nu kan vi sätta in vår nya funktion och integrationsgränserna i formeln: V = π ∫_1^3(-0.5y-0.5)^2 d y . För att beräkna integralen förenklar vi integranden, som vi kan kalla h(y), samt bestämmer en primitiv funktion till denna.

Nu beräknar vi själva integralen.

Rotationskroppen har alltså volymen 14π3 ve.