Regel

Integral av en term med koefficient

Om man integrerar en funktion med en koefficient kan denna koefficient flyttas ut ur integralen.

Härledning

abkf(x)dx=kabf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x
Den här regeln visar man genom att skriva integralen som en differens med hjälp av integralkalkylens huvudsats. När man deriverar kf(x)k \cdot f(x) får man kf(x)k \cdot f'(x) och på samma sätt får man kF(x)k \cdot F(x) när man bestämmer den primitiva funktionen till kf(x).k \cdot f(x).
abkf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x
[kF(x)]ab\left[ k \cdot F(x) \right]_{a}^{b}
kF(b)kF(a)k \cdot F({\color{#0000FF}{b}}) - k \cdot F({\color{#009600}{a}})
k(F(b)F(a))k \cdot (F(b) - F(a))
Man kan nu skriva faktorn F(b)F(a)F(b) - F(a) som en integral: k(F(b)F(a))=kabf(x)dx. k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x .
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}