Regel

Integral av en term med koefficient

Om man integrerar en funktion med en koefficient kan denna koefficient flyttas ut ur integralen.

Härledning
$\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x$

Den här regeln visar man genom att skriva integralen som en differens med hjälp av integralkalkylens huvudsats. När man deriverar

k \cdot f(x)

får man

k \cdot f'(x)

och på samma sätt får man

k \cdot F(x)

när man bestämmer den primitiva funktionen till

k \cdot f(x).

\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x

\displaystyle \int_a^b g(x) \ \text dx=[G(x)]_a^b

\left[ k \cdot F(x) \right]_{a}^{b}

\left[G(x)\right]_{{\color{#009600}{a}}}^{\color{#0000FF}{b}}=G\left({\color{#0000FF}{b}}\right)-G\left({\color{#009600}{a}}\right)

k \cdot F({\color{#0000FF}{b}}) - k \cdot F({\color{#009600}{a}})

Bryt ut

k

k \cdot (F(b) - F(a))

Man kan nu skriva faktorn

F(b) - F(a)

som en integral:

k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x .

Q.E.D.

Videohandledningar