Regel

Integral av en term med koefficient

Om man integrerar en funktion med en koefficient kan denna koefficient flyttas ut ur integralen.

Härledning
$\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x$

Den här regeln visar man genom att skriva integralen som en differens med hjälp av integralkalkylens huvudsats. När man deriverar $k \cdot f(x)$ får man $k \cdot f'(x)$ och på samma sätt får man $k \cdot F(x)$ när man bestämmer den primitiva funktionen till $k \cdot f(x).$

$\displaystyle\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \, \text d x$

$\displaystyle \int_a^b g(x) \ \text dx=[G(x)]_a^b$

$\left[ k \cdot F(x) \right]_{a}^{b}$

$\left[G(x)\right]_{{\color{#009600}{a}}}^{\color{#0000FF}{b}}=G\left({\color{#0000FF}{b}}\right)-G\left({\color{#009600}{a}}\right)$

$k \cdot F({\color{#0000FF}{b}}) - k \cdot F({\color{#009600}{a}})$

Bryt ut $k$

$k \cdot (F(b) - F(a))$

Man kan nu skriva faktorn $F(b) - F(a)$ som en integral: $k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x .$

Q.E.D.