Rotationsvolymer

För att beräkna volymen av den rotationkropp som bildas när f(x) roterar kring x-axeln mellan 1 och a bestämmer man integralen π ∫_1^a(f(x))^2 d x . Vi börjar med att bestämma denna integral för något godtyckligt värde på a och låter sedan a gå mot oändligheten. För att integrera behöver vi en primitiv funktion till g(x)=(f(x))^2 så vi börjar med att bestämma en sådan.

Nu använder vi G(x) för att integrera.

Nu har vi ett uttryck för volymen när den övre gränsen är a. När vi låter den gå mot oändligheten kommer bråket att gå mot 0.

Volymen av trumpeten är alltså π ve. Det kan tyckas underligt eftersom begränsningsarean är oändlig. Faktum är att detta kallas målarparadoxen, eftersom man inte skulle kunna måla den på grund av den oändliga arean. Men kan kan fylla den med π ve. färg. Fenomenet är så pass intressant att rotationskroppen fått ett eget namn: Torricellis trumpet.

När det markerade området roteras runt y-axeln skapas en rotationskropp. Volymen för en sådan kropp kan beräknas med integralen V=π ∫_a^b(f(y))^2 d y där a och b är områdets övre respektive nedre gräns i y-led och f(y) är det uttryck man får då man löser ut x ur funktionen y. Volymen för den kropp vi får i denna uppgift är 54π och a=4 och b=t. Vi kan därför ställa upp sambandet π ∫_4^t(f(y))^2 d y =54π. Nu kan vi lösa ut x ur y=16-x^2 och därmed ta reda på ett uttryck för x=f(y).

Nu hade vi kunnat ta kvadratroten ur båda led för att bestämma x=f(y), men integranden är ju (f(y))^2, dvs. x^2, så vi stannar här. Vi sätter in detta i ekvationen och dividerar båda sidor med π. π ∫_4^t(16-y ) d y =54π ⇔ ∫_4^t(16-y ) d y =54 Innan vi bestämmer integralen behöver vi bestämma en primitiv funktion till integranden, g(y)=16-y.

Vi fortsätter nu och bestämmer integralen och förenklar sedan uttrycket.

Detta uttryck ska vara lika med 54. Det ger oss en andragradsekvation. Vi skriver om den till pq-form och löser den med pq-formeln.

Vi har fått två svar, t=22 och t=10. Om vi tittar på funktionen y=16-x^2 ser vi att det största y-värdet den kan anta är 16. Eftersom t är den övre gränsen på y-axeln kan det inte bli större än 16. Därför kan vi bortse från t=22. Rätt svar är alltså t=10.

Vi börjar med att skissa rotationskroppen och ritar därför upp ytan som ska roteras.

Genom att rotera denna yta runt y-axeln skapar vi en rotationskropp. Vi speglar ytan i y-axeln och förbinder dem med ellipser.

I den här figuren ser vi nu gropen vars volym vi skall bestämma. Vi fortsätter nu och skapar rotationskroppen.

Vi kan betrakta rotationskroppen som en cylinder med en grop. Rotationskroppens volym, V_r, kan alltså beräknas genom att först beräkna cylinderns volym, V_c, och sedan subtrahera gropens volym, V_g. Vi vill nu bestämma V_g. Låt oss skissa en rotationskropp som motsvarar gropen. Först markerar vi ytan som vi roterar.

Vi roterar denna yta och bildar rotationskroppen.

Den här rotationskroppen är alltså vår grop. Vi skall nu bestämma dess volym, V_g. Det gör vi med uttrycket V_g=π ∫_0^(a^2)(f(y))^2 d y . f(y) är det uttryck vi får när vi löser ut x ur y=x^2.

Den delen av funktionen som roteras runt y-axeln ligger i första kvadranten och därför är x positivt. Vi får därför x=f(y)=sqrt(y). Den integral vi behöver bestämma för att ta reda på rotationskroppens volym blir då V_g=π ∫_0^(a^2)( sqrt(y) )^2 d y =π ∫_0^(a^2)y d y . För att bestämma denna integral behöver vi hitta en primitiv funktion till integranden som vi kan kalla g(y). G(y)=y^2/2 Låt oss nu ta fram ett uttryck för gropens volym genom att bestämma integralen.

Gropens volym beskrivs alltså av V_g = π a^4/2. Vi bestämmer nu cylinderns volym, V_c, och använder då formeln V_c=π r^2 h. Cylindern har radien r=a och höjden h=a^2.

Vi kan nu bestämma den ursprungliga rotationskroppens volym, V_r: V_r=V_c-V_g = π a^4 - π a^4/2 = π a^4/2. Både gropen och rotationskroppens volym bestäms alltså av π a^4/2, vilket ger kvoten 1. Svaret är alltså att V_g/V_r=1