Rotationsvolymer

Kroppen som bildas är f(x) roterad kring x-axeln med en del av g(x) roterad kring x-axeln bortdragen. Vi börjar med att beräkna volymen vi får om vi låter den blå grafen, f(x), rotera kring x-axeln.

Den undre gränsen är x=0 och den övre bestämmer vi genom att ta fram funktionens nollställen.

Funktionen har två nollställen, men vi är bara intresserade av den längst till höger dvs. x=2+sqrt(6). Grafen roterar kring x-axeln vilket betyder att vi beräknar volymen med π ∫_0^(2+sqrt(6))(-0.25x^2+x+0.5)^2 d x . Nu kan vi förenkla integranden och sedan beräkna integralen genom att bestämma en primitiv funktion. Det kommer att ge ett långt och krångligt uttryck som blir besvärligt att beräkna. Därför använder vi något digitalt verktyg för att integrera, t.ex. Geogebra. Vi är ute efter ett avrundat värde, därför använder vi kommandot NIntegral.

NIntegral (π (-0.25x^2+x+0.5)^2, 0, 2+sqrt(6) )

→ 18.34

Volymen man får när f(x) roterar kring x-axeln är alltså ungefär 18.34 mm^3. Nu ska vi subtrahera den volym man får när den röda kurvan roterar kring x-axeln.

Då behöver vi det högra nollstället för g(x).

På samma sätt som tidigare är vi bara intresserade av det positiva nollstället dvs. x=sqrt(2.5). För att beräkna volymen ska vi alltså beräkna integralen π ∫_0^(sqrt(2.5))(-0.2x^2+0.5)^2 d x . Återigen använder vi Geogebra för att beräkna den.

NIntegral (π (-0.2x^2+0.5)^2, 0, sqrt(2.5) )

→ 0.66

Volymen för ett örhänge är alltså cirka 18.34-0.66=17.68 mm^3. Men det ska ju vara ett par örhängen, så den totala volymen material blir 2*17.68=35.36≈ 35 mm^3.

Om man låter en halvcirkel med diametern längs med x-axeln rotera kring x-axeln får man ett klot.

Eftersom vi ska härleda formeln för volymen av ett klot med vilken radie som helst ger vi inte radien något värde, utan kallar den för r. Mittpunkten på helcirkeln är origo så avståndet därifrån till cirkelranden är r.

Om vi nu roterar denna halvcirkelskiva får vi ett klot med radien r. För att bestämma volymen av det behöver vi ett funktionsuttryck för halvcirkeln. Till det använder vi ekvationen för en cirkel: r^2=(x-a)^2+(y-b)^2, där r är radien och (a,b) är mittpunkten. I vårt fall är origo mittpunkten så a=0 och b=0. Vi löser ut y för att få ett funktionsuttryck.

Vi får två uttryck för y: ett positivt och ett negativt. Vilket ska vi använda? Vår halvcirkel är ritad ovanför x-axeln så vi väljer den positiva. Egentligen spelar det ingen roll — det negativa uttrycket ger en likadan halvcirkel, men ritad under x-axeln.

Eftersom cirkelns radie är r skär grafen x-axeln när x=- r och x=r.

För att bestämma volymen för klotet som bildas när denna funktion roterar kring x-axeln kan vi därför beräkna integralen V=π ∫_(- r)^r(sqrt(r^2-x^2))^2 d x . Vi bestämmer först ett uttryck för integralen och multiplicerar sedan det med π. Allra först behöver vi en primitiv funktion till integranden. Kom ihåg att r är en konstant.

Nu använder vi denna primitiva funktion för att integrera.

Nu har vi bestämt integralen, och till sist multiplicerar vi detta med π. Det ger oss att volymen av ett klot är V=π*4r^3/3=4π r^3/3.