Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring
x-axeln.
Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen f(x) runt x-axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.
Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en med höjden Δx och radien f(x).
Summerar man skivornas volymer får man en . Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med :
Vcylinder=πr2h.
Varje skiva har tjockleken
Δx, men radierna varierar. Första skivan har radien
f(x1) så dess volym är
π(f(x1))2Δx. På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen
V≈π(f(x1))2Δx+π(f(x2))2Δx+…+π(f(xn))2Δx.
Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot , vilket innebär att deras tjocklek går mot
0, kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta kan skrivas som integralen
V=∫abπ(f(x))2dx,
där
a och
b är rotationskroppens undre respektive övre gräns i
x-led. Koefficienten
π kan och man får då formeln för skivmetoden.
V=π∫ab(f(x))2dx