Regel

Skivmetoden

Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring $x$-axeln.

Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen $f(x)$ runt $x$-axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.

$V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x$

Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en cylinder med höjden $\Delta x$ och radien $f(x).$

Summerar man skivornas volymer får man en uppskattning av rotationskroppens volym. Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med volymformeln för en cylinder: $V_{\text{cylinder}}=\pi r^2 h.$ Varje skiva har tjockleken $\Delta x,$ men radierna varierar. Första skivan har radien $f(x_1)$ så dess volym är $\pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x.$ På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen $V \approx \pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x + \pi\,(f(x_2))^2\,\Delta x + \ldots + \pi\,(f(x_{n}))^2\,\Delta x.$ Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, vilket innebär att deras tjocklek går mot $0,$ kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta gränsvärde kan skrivas som integralen $V=\displaystyle\int_{a}^{b}\pi\,(f(x))^2 \, \text d x ,$ där $a$ och $b$ är rotationskroppens undre respektive övre gräns i $x$-led. Koefficienten $\pi$ kan flyttas ut ur integralen och man får då formeln för skivmetoden. $V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x$