Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Skivmetoden

Regel

Skivmetoden

Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring xx-axeln.

Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen f(x)f(x) runt xx-axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.

V=πab(f(x))2dxV=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x

Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en cylinder med höjden Δx\Delta x och radien f(x).f(x).

Skivmetoden2.svg

Summerar man skivornas volymer får man en uppskattning av rotationskroppens volym. Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med volymformeln för en cylinder: Vcylinder=πr2h. V_{\text{cylinder}}=\pi r^2 h. Varje skiva har tjockleken Δx,\Delta x, men radierna varierar. Första skivan har radien f(x1)f(x_1) så dess volym är π(f(x1))2Δx.\pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen Vπ(f(x1))2Δx+π(f(x2))2Δx++π(f(xn))2Δx. V \approx \pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x + \pi\,(f(x_2))^2\,\Delta x + \ldots + \pi\,(f(x_{n}))^2\,\Delta x. Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, vilket innebär att deras tjocklek går mot 0,0, kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta gränsvärde kan skrivas som integralen V=abπ(f(x))2dx, V=\displaystyle\int_{a}^{b}\pi\,(f(x))^2 \, \text d x , där aa och bb är rotationskroppens undre respektive övre gräns i xx-led. Koefficienten π\pi kan flyttas ut ur integralen och man får då formeln för skivmetoden. V=πab(f(x))2dx V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward