Regel

Skivmetoden

Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring xx-axeln.

Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen f(x)f(x) runt xx-axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.

V=πab(f(x))2dxV=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x

Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en cylinder med höjden Δx\Delta x och radien f(x).f(x).

Skivmetoden2.svg

Summerar man skivornas volymer får man en uppskattning av rotationskroppens volym. Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med volymformeln för en cylinder: Vcylinder=πr2h. V_{\text{cylinder}}=\pi r^2 h. Varje skiva har tjockleken Δx,\Delta x, men radierna varierar. Första skivan har radien f(x1)f(x_1) så dess volym är π(f(x1))2Δx.\pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen Vπ(f(x1))2Δx+π(f(x2))2Δx++π(f(xn))2Δx. V \approx \pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x + \pi\,(f(x_2))^2\,\Delta x + \ldots + \pi\,(f(x_{n}))^2\,\Delta x. Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, vilket innebär att deras tjocklek går mot 0,0, kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta gränsvärde kan skrivas som integralen V=abπ(f(x))2dx, V=\displaystyle\int_{a}^{b}\pi\,(f(x))^2 \, \text d x , där aa och bb är rotationskroppens undre respektive övre gräns i xx-led. Koefficienten π\pi kan flyttas ut ur integralen och man får då formeln för skivmetoden. V=πab(f(x))2dx V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}