mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Algebra och aritmetik

Potenser och rotuttryck


Potenser med positiva heltalsexponenter, t.ex. beskriver upprepad multiplikation. Om exponenten istället är ett bråktal kan potensen tolkas som ett rotuttryck. Vilket rotuttryck potensen motsvarar beror på potensens bas samt vilket bråktal som står i exponenten. För att utföra beräkningar med potenser och rotuttryck är det nödvändigt att först lära sig potenslagarna.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av och lika med . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella och , men inte om Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

Regeln gäller för alla reella och men inte om

Regel

Potens med negativ exponent

Regel

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med Denna motiveras genom att skriva som t.ex. och använda en av potenslagarna.

En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.

Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal vilket skrivs , är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir Exempelvis är lika med eftersom och på samma sätt är lika med eftersom Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka

Regel

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot. I vilket utläses kubikroten ur eller "tredje roten ur ", anger :an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt gånger blir alltså Om typen av rot inte anges är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är det tal som multiplicerat med sig självt gånger blir Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen och är det heltal som anger typen av rot. Till exempel kan skrivas som och som

Regel

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex. Ur detta kan man lösa ut genom att höja upp båda led med och använda potenslagarna.

Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas Denna regel brukar uttryckas som På liknande sätt kan man motivera att eller mer generellt

Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare

unfold_more

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren.


Digitala verktyg

Kvadratrot och tredje roten ur

För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen (2nd + ). Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt

Digitala verktyg

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
TI-beräkning som visar en 4a

Därefter trycker man på MATH och väljer där :et står för en godtycklig rot.

TI-meny som visar MATH, med x:te roten ur valt

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.

TI-beräkning som visar en 4:e roten ur 81
info
fullscreen
Uppgift

Beräkna utan räknare:

Visa Lösning
Lösning

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward