Potenser och Rotuttryck: Skriv roten ur som potens

Potenser med positiva heltalsexponenter, t.ex. $7^{3},$ beskriver upprepad multiplikation. Om exponenten istället är ett bråktal kan potensen tolkas som ett rotuttryck. Vilket rotuttryck potensen motsvarar beror på potensens bas samt vilket bråktal som står i exponenten. För att utföra beräkningar med potenser och rotuttryck är det nödvändigt att först lära sig potenslagarna.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Potenslagar
Grundpotensform
Kvadratrot

Förkunskaper

Faktor
Algebraiskt uttryck

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex.

2^{3} \cdot 2^{2}

lika med

2^{3 + 2} = 2^{5} .

Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

2^{3} \cdot 2^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)

RemovePar

Ta bort parentes

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

WritePow

Skriv som potens

2^{5}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av $3^{6}$ och $3^{4}$ lika med $3^{6 - 4} = 3^{2} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

\frac{3 ^{6}}{3 ^{4}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

SimpQuot

Förenkla kvot

3 \cdot 3

WritePow

Skriv som potens

3^{2}

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c,

men inte om

a = 0 .

Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. $(5^{2})^{3}$ lika med $5^{2 \cdot 3} = 5^{6} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(5^{2})^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2}

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

WritePow

Skriv som potens

5^{6}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

(a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. $(2 \cdot 5)^{3}$ samma sak som $2^{3} \cdot 5^{3} .$ Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(2 \cdot 5)^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)

RemovePar

Ta bort parentes

2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

ProdToPowThreeFac

$a \cdot a \cdot a = a^{3}$

2^{3} \cdot 5^{3}

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c .

Regel

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex.

(\frac{6}{5})^{4}

samma sak som

\frac{6 ^{4}}{5 ^{4}} .

Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

(\frac{6}{5})^{4}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

WritePow

Skriv som potens

\frac{6 ^{4}}{5 ^{4}}

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c,

men inte om

b = 0 .

Regel

Potens med negativ exponent

Regel

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. $5^{- 3},$ och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med $\frac{1}{5 ^{3}} .$ Denna motiveras genom att skriva $- 3$ som t.ex. $4 - 7$ och använda en av potenslagarna.

5^{- 3}

Rewrite

Skriv $- 3$ som $4 - 7$

5^{4 - 7}

DiffInExponent

$a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}$

\frac{5 ^{4}}{5 ^{7}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}

ProdToPowThreeFac

$a \cdot a \cdot a = a^{3}$

\frac{1}{5 ^{3}}

En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren

1 .

Regel

Specialfall av potenser

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

0^{a} = 0

En potens med basen

0,

exempelvis

0^{3},

blir

0 .

Oavsett hur många gånger man multiplicerar

0

med sig själv blir ju produkten alltid

0,

t.ex.

0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 eller 0^{5} = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 .

Regeln gäller alltid, förutom när exponenten är

0

, eftersom

0^{0}

är odefinierat.

Regel

1^{a} = 1

En potens med basen

1

blir alltid

1 .

Oavsett hur många gånger man multiplicerar

1

med sig själv blir ju produkten alltid

1,

t.ex.

1^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 och 1^{5} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 .

Regeln gäller för alla reella exponenter.

Regel

a^{0} = 1

Hur ska man tolka en potens med exponenten $0,$ t.ex. $4^{0} ?$ Svaret är att ett tal upphöjt till $0$ är $1 .$ Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just $1 .$ I exemplet skrivs noll som $2 - 2 .$

4^{0}

ZeroToDiff

Skriv 0 som $2 - 2$

4^{2 - 2}

DiffInExponent

$a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}$

\frac{4 ^{2}}{4 ^{2}}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

1

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är

0,

dvs. om man har

0^{0} .

Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med

4

fått

\frac{0 ^{2}}{0 ^{2}},

vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

a^{1} = a

En potens med exponenten

1

är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:

7^{5} 7^{4} 7^{3} 7^{2} 7^{1} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7 \cdot 7 = 7

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför

a^{1} = a .

Övning

Tillämpa potensregler

Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna.

Slumpmässiga uttryck som involverar potenser

Koncept

Grundpotensform

Grundpotensform är ett mer kompakt sätt att skriva väldigt stora eller väldigt små tal. När man skriver om ett tal i grundpotensform delar man upp det i ett tal mellan

1

och

10

som anger värdesiffrorna och en tiopotens som anger storleken. Det gör att man inte behöver skriva ut alla nollor. Till exempel kan talet

4

miljarder skrivas som

4000000000 = 4 \cdot 1 0^{9} .

Detta gäller även för mycket små decimaltal där det finns många nollor innan värdesiffrorna, vilket ger en negativ exponent på tiopotensen. Exempelvis är

0, 000000234 = 2, 34 \cdot 1 0^{- 7} .

Nedan visas ytterligare några exempel på tal skrivna på grundpotensform.

Tal	Värdesiffror	Storlek	Grundpotensform
$53000$	$5$ och $3$	$10000$	$5, 3 \cdot 1 0^{4}$
$432$	$4,$ $3,$ och $2$	$100$	$4, 32 \cdot 1 0^{2}$
$0, 0074$	$7$ och $4$	$0, 001$	$7, 4 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 000031$	$3$ och $1$	$0, 00001$	$3, 1 \cdot 1 0^{- 5}$

Grundpotensform gör det enklare att jämföra tals storleksordning, alltså om det t.ex. är ett tiotal eller ett tusental. Det kan vara svårt att avgöra hur mycket större $23740000000$ är jämfört med $457300000,$ men det är lättare att se att $2, 374 \cdot 1 0^{10}$ och $4, 573 \cdot 1 0^{8}$ skiljer sig åt med en faktor som är ungefär $1 0^{2} = 100 .$ Räknare har speciella knappar för att enklare kunna skriva tal i grundpotensform.

Extra

Intuitiv metod: Skriva om ett nummer i grundpotensform

Ett intuitivt sätt att skriva ett tal i grundpotensform är att räkna antalet steg som decimalkommat måste flyttas. Om vi har ett tal större än $10,$ flyttar vi decimalkommat åt vänster, så att talet blir mellan $1$ och $10 .$ Antalet steg som decimalkommat flyttas anger den positiva exponenten i $10 -$ potensen.

På motsvarande sätt, för tal mindre än

1,

till exempel

0, 000022,

flyttar vi decimalkommat åt höger tills talet är mellan

1

och

10 .

Antalet steg som decimalkommat flyttas anger då den negativa exponenten i

10 -

potensen.

Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att uttrycka besvärliga tal; det underlättar också jämförelsen av numeriska ordningsstorlekar. Genom att titta på exponenten är det tydligt vilket nummer som är större eller mindre. Till exempel,

3 \cdot 1 0^{7}

är större än

4 \cdot 1 0^{6}

eftersom

1 0^{7}

är större än

1 0^{6} .

Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att skriva stora eller små tal; det gör det också enklare att jämföra talens storleksordning. Genom att jämföra exponenterna kan vi direkt se vilket tal som är störst eller minst. Till exempel är

3 \cdot 1 0^{7}

större än

4 \cdot 1 0^{6}

eftersom

1 0^{7}

är större än

1 0^{6} .

3 \cdot 1 0^{7} > 4 \cdot 1 0^{6}

Det hjälper oss att snabbt få en uppfattning om talets storlek, även när det är väldigt stort eller litet.

Övning

Översättning mellan grundpotensform och standardform

Skriv om det givna uttrycket i standardform om det är givet i grundpotensform. Skriv om det i grundpotensform om det är givet i standardform.

Slumpmässig generator av uttryck i grundpotensform och standardform

Koncept

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal $a,$ vilket skrivs $a,$ är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir $a .$ Exempelvis är $16$ lika med $4$ eftersom $4 \cdot 4 = 16$ och på samma sätt är $25$ lika med $5$ eftersom $5 \cdot 5 = 25 .$ Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

$a \cdot a = a eller (a)^{2} = a$

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal

a

som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka

a .

Regel

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot. I $327,$ vilket utläses kubikroten ur $27$ eller tredje roten ur $27,$ anger $3 : an$ typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt $3$ gånger blir $27,$ alltså $3 .$ Om typen av rot inte anges är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är $n a$ det tal som multiplicerat med sig självt $n$ gånger blir $a .$ Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen $1 / n$ och $n$ är det heltal som anger typen av rot. Till exempel kan $327$ skrivas som $2 7^{1 / 3}$ och $5100$ som $10 0^{1 / 5} .$

Regel

n a = a^{1 / n}

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.

(9)^{2} = 9 .

Ur detta kan man lösa ut

9

genom att höja upp båda led med

1 / 2

och använda potenslagarna.

(9)^{2} = 9

RaiseEqn

$VL^{1 / 2} = HL^{1 / 2}$

((9)^{2})^{1 / 2} = 9^{1 / 2}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

(9)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 9^{1 / 2}

DenomMultFracToNumber

$2 \cdot \frac{a}{2} = a$

(9)^{1} = 9^{1 / 2}

ExponentOne

$a^{1} = a$

9 = 9^{1 / 2}

Kvadratroten ur

9

kan alltså skrivas

9^{1 / 2} .

Denna regel brukar uttryckas som

a = a^{1 / 2} .

På liknande sätt kan man motivera att

3 a = a^{1 / 3},

eller mer generellt

n a = a^{1 / n} .

Exempel

Beräkningar med rotuttryck

Beräkna utan räknare:

1 6^{1 / 2} - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2} .

Ledtråd

Skriv om de rationella exponenterna som rötter och förenkla.

Lösning

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till

1 / 2

betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen,

2 7^{1 / 3},

kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

1 6^{1 / 2} - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2}

PowToSqrtSL

$a^{1 / 2} = a$

16 - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

16 - 327 + (5)^{2}

CalcRoot

Beräkna rot

4 - 3 + (5)^{2}

PowSqrt

$(a)^{2} = a$

4 - 3 + 5

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

6

Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen $,$ vilken kan skrivas genom att trycka på $2 ND$ och sedan $x^{2} .$ Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja $3 ($ följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt

Extra

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

Därefter trycker man på MATH och väljer $x,$ där $x : et$ står för en godtycklig rot.

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker $ENTER .$

Övning

Utvärdera rötter

Beräkna den nödvändiga roten. Avrunda till två decimaler om det behövs.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Extra

Regel

Ledtråd

Lösning

Extra