2a
Kurs 2a Visa detaljer
3. Potenser och rotuttryck
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 1
3. 

Potenser och rotuttryck

Lektionen fokuserar på de matematiska koncepten potenser och rotuttryck. Den täcker olika regler och metoder för att arbeta med potenser, inklusive negativa exponenter, förenkling av uttryck och beräkning av rötter. Innehållet förklarar hur man skriver negativa potenser som bråk, hur man beräknar kvadratrötter och hur man en kalkylator för olika rotuttryck. Den innehåller också övningar och exempel för att hjälpa användare att förstå hur man tillämpar dessa koncept i olika matematiska situationer. Plattformen erbjuder ett omfattande och användarvänligt sätt att studera matematik online, med allt innehåll väl anslutet enligt läroplanen.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Potenser och rotuttryck
Sida av 6
Potenser med positiva heltalsexponenter, t.ex. beskriver upprepad multiplikation. Om exponenten istället är ett bråktal kan potensen tolkas som ett rotuttryck. Vilket rotuttryck potensen motsvarar beror på potensens bas samt vilket bråktal som står i exponenten. För att utföra beräkningar med potenser och rotuttryck är det nödvändigt att först lära sig potenslagarna.
Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av och lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella och men inte om Då blir uttrycket odefinierat.
Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. samma sak som Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

Regeln gäller för alla reella och men inte om
Regel

Potens med negativ exponent

Regel

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med Denna motiveras genom att skriva som t.ex. och använda en av potenslagarna.

En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.
Koncept

Kvadratrot

En kvadratrot av ett tal är det icke-negativa talet som, när det multipliceras med sig självt, är lika med Till exempel är kvadratroten ur
Observera att för varje positivt tal finns det två tal som blir när de multipliceras med sig själva. Till exempel, både och blir Dock definieras kvadratroten som ett positivt tal för att undvika tvetydighet om vilket värde som avses. Kvadratroten av betecknas med Som exempel skrivs kvadratroten av som
Att ta kvadratroten är den inversa operationen till att kvadrera ett tal. Att ta kvadratroten ur kvadraten av ett positivt tal resulterar i
När ett tal är en perfekt kvadrat är dess kvadratrötter heltal.
Kvadratrot av Perfekta Kvadrater Kvadratrot av Icke-Perfekta Kvadrater
Perfekt Kvadrat Kvadratrot
(Heltal)
Icke-Perfekt Kvadrat Kvadratrot
(Irrationellt Tal)

Extra

Kvadratrötter av bråk och decimaltal
Separat från naturliga tal, kan kvadratrötter ur bråk beräknas genom att ta kvadratroten ur täljaren och nämnaren separat. Betrakta följande exempel.
Kvadratrötterna av decimaltal kan beräknas genom att skriva dem i bråkform. Sedan beräknas kvadratroten av täljaren och nämnaren. Tänk på följande exempel.
Regel

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot. I vilket utläses kubikroten ur eller "tredje roten ur ", anger :an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt gånger blir alltså Om typen av rot inte anges är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är det tal som multiplicerat med sig självt gånger blir Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen och är det heltal som anger typen av rot. Till exempel kan skrivas som och som

Regel

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.
Ur detta kan man lösa ut genom att höja upp båda led med och använda potenslagarna.
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas Denna regel brukar uttryckas som På liknande sätt kan man motivera att eller mer generellt
Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen vilken kan skrivas genom att trycka på och sedan Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

Bilden kunde ej laddas

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja följt av talet och slutparentes.

Bilden kunde ej laddas
Bilden kunde ej laddas

Extra

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

Bilden kunde ej laddas

Därefter trycker man på MATH och väljer där står för en godtycklig rot.

Bilden kunde ej laddas

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker

Bilden kunde ej laddas

Exempel

Beräkningar med rotuttryck

fullscreen
Beräkna utan räknare:
Visa Lösning expand_more

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

Potenser och rotuttryck
Övningar