Potenser och rotuttryck

En tiopotens visar exponenten hur många nollor man ska sätta efter en 1:a. I det här fallet är exponenten 3 så när vi utvecklar 10^3 får vi 1000.

Vi kan inte beräkna potenserna 7^(15) och 7^(13) utan räknare men om vi använder potenslagarna kan vi förenkla uttrycket.

Vi förenklar först basen och beräknar sedan.

Uttrycket består av en produkt med 6 stycken 7:or. I en potens anger basen talet som multipliceras upprepade gånger, vilket här är 7. Exponenten anger antal gånger som multiplikationen sker, vilket är 6. 7* 7 * 7 * 7 * 7 * 7_(6 st.) Vi kan alltså uttrycka detta som potensen 7^6.

Vi använder potenslagen för multiplikation av potenser. Men först skriver vi om 4 som 4^1, så att vi lättare ser vad som ska göras.

Uttrycket kan även skrivas som potensen 4^(13).

När två potenser divideras kan man skriva om dem som en enda potens genom att subtrahera exponenten i nämnaren från exponenten i täljaren.

Nu står uttrycket som en potens i en potens, och sådana kan förenklas genom att multiplicera exponenterna.

Uttrycket kan skrivas som potensen 6^6.

När man multiplicerar potenser med samma bas adderas exponenterna.

Här har vi ett bråk i ett bråk: 2^5/2^3 delas på 2^2. Vi börjar med att förenkla täljaren med potenslagarna och kommer ihåg att när man delar två potenser med samma bas subtraheras exponenterna.

Vi använder potenslagarna för att multiplicera potenserna i täljaren och därefter dividerar vi.

Potensen 7^(- 2) är en korrekt förenkling men om man vill kan man skriva om detta som ett bråk istället.

Vi börjar med att förenkla potensen som har en produkt i basen. Vi kommer ihåg att när basen är en potens, kan potensen förenklas genom att multiplicera exponenterna.

När basen är ett bråk kan uttrycket skrivas om genom att sätta exponenten direkt på talet i täljaren och nämnaren.

När basen är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på samtliga faktorer i basen.

Ett tal upphöjt till noll är lika med 1. Vi använder detta för att beräkna produkten.

Nu står produkten innanför en parentes och enligt prioriteringsreglerna måste vi beräkna denna först.

En potens med negativ exponent kan skrivas om som ett bråk.

Vi förenklar potensen med samma regler som tidigare.

Femteroten ur ett tal 17 kan vi skriva som sqrt(17), men femteroten ur ett tal är samma sak som att höja upp det talet till 15. Det betyder att sqrt(17)=17^(15).

En potens med exponenten 12 kan skrivas om som kvadratroten ur basen. Det vill säga, roten ur något tal ska bli 3. Vi vet från gångertabellen att 3 * 3 = 9, så vi är ute efter sqrt(9). Nu skriver vi det som en potens. sqrt(9)=9^(1/2) Talet 3 kan alltså skrivas som potensen 9^(12).

Vi letar efter ett tal som vi ska dra roten ur för att få 3. Vi kan formulera detta med ekvationen sqrt(a) = 3, där a är vårt sökta tal. Genom att kvadrera båda led kan vi bestämma vilket tal vi ska sätta 12 på för att få 3.

Talet 3 kan alltså skrivas som potensen 9^(12).

När man höjer upp ett tal till 12 är det samma sak som att dra roten ur talet.

Uttrycket 16^(12) är lika med 4.

Kontroll med räknare

Vi beräknar värdet av uttrycket 16^(12) på räknaren genom att slå in talet 16, trycka på ^ och skriva in bråktalet 12 inom parentes. Avsluta med ENTER.

Vi kan skriva om 27^(13) som sqrt(27), dvs. det tal som multiplicerat tre gånger blir 27. Vi vet från gångertabellen att 27=3 * 9, vilket vi kan dela upp ytterligare till 27= 3 * 3 * 3. Alltså är 27^(13) lika med 3.

Kontroll med räknare

Vi beräknar värdet av uttrycket 27^(13) på räknaren genom att skriva in på samma sätt som i föregående uppgift.

Vi använder potenslagen för multiplikation av potenser och förenklar.

Vi använder verktygen för rotuttryck på räknaren. Genom att trycka på MATH hittar vi tredje roten ur och väljer det alternativet.

Därefter skriver vi in 9 och avslutar med parentes.

Vi avrundar till två decimaler och får då ≈ 2,08.

Vi använder räknarens verktyg för rötter. Vi måste skriva typ av rot, 4, innan vi går in i MATH-menyn och väljer sqrt().

Avrundning till två decimaler ger ≈ 3,83.

Vi skriver in uttrycket i räknaren. Kom ihåg att sätta parenteser runt produkten.

Nu avrundar vi till två decimaler och får ≈ 17,72.

Vi kan skriva in uttrycket direkt på räknaren på liknande sätt som innan.

Avrundning ger ≈ 8,37.

Potenserna har samma bas så vi använder potenslagen för division av potenser och förenklar.

Vi börjar med att använda lagen för potenser av potenser för att förenkla första termen.

Nu använder vi potenslagen för multiplikation av potenser för att förenkla resten av uttrycket.

Vi börjar med 99^0 och 2,1^2. Alla tal (förutom 0 ) upphöjt till 0 är 1. Det betyder att 99^0=1 och kan paras ihop med punkt C. 2,1^2 är lite mer än 2^2=4 och bör motsvara punkt F. För att avgöra värdet av 2^(-1) skriver vi om det som 1/2=0,5 och inser då att det motsvarar punkt B. Vad är då sqrt(5)? Vi vet att sqrt(4) är lika med 2, så sqrt(5) måste vara lite större än 2 och alltså höra ihop med punkt D. Till sist undersöker vi 10^(12) och använder då att någonting upphöjt till 12 är samma sak som att ta roten ur det talet. Det betyder att 10^(12)=sqrt(10). Eftersom sqrt(9) är lika med 3 så måste sqrt(10) vara lite större än 3. Det finns bara en sådan punkt på tallinjen: E.

99^0 &→ C sqrt(5) &→ D 2^(-1) &→ B 10^(12) &→ E 2,1^2 &→ F

Vi börjar med 22^0 och 3^(-1). Alla tal (förutom 0 ) upphöjt till 0 är 1. Det betyder att 22^0=1 och vi kan para ihop det med punkt R. Potensen 3^(-1) kan skrivas om som 1/3=0,33333... så det måste vara punkt Q. Vad blir då sqrt(6)? Vi vet att sqrt(4) är lika med 2 och att sqrt(9) är lika med 3 så sqrt(6) måste ligga mellan 2 och 3. Därför kan vi koppla ihop den med punkt S. Vilken punkt motsvarar 16^()12? Någonting upphöjt till 12 är samma sak som att ta kvadratroten ur det talet. Det betyder att 16^(12)=sqrt(16). Eftersom 4* 4=16 så måste sqrt(16)=4. Det finns bara en sådan punkt på tallinjen: U. Slutligen använder vi att π= 3,1415... för att identifiera att det måste vara punkten T. 22^0 &→ R sqrt(6) &→ S 3^(-1) &→ Q 16^(12) &→ U π &→ T