Potenser och rotuttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Potenser med positiva heltalsexponenter, t.ex. 73,7^3, beskriver upprepad multiplikation. Om exponenten istället är ett bråktal kan potensen tolkas som ett rotuttryck. Vilket rotuttryck potensen motsvarar beror på potensens bas samt vilket bråktal som står i exponenten. För att utföra beräkningar med potenser och rotuttryck är det nödvändigt att först lära sig potenslagarna.
Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

abac=ab+ca^b\cdot a^c=a^{b+c}

Regel

abac=abc\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}
Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

(ab)c=abc\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}

Regel

(ab)c=acbc(ab)^c=a^c b^c

Regel

(ab)c=acbc\left(\dfrac{a}{b}\right)^c=\dfrac{a^c}{b^c}
Regel

Potens med negativ exponent

Regel

a-b=1aba^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}
Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a,a, vilket skrivs a\sqrt{a}, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a.a. Exempelvis är 16\sqrt{16} lika med 44 eftersom 44=164 \cdot 4 = 16 och på samma sätt är 25\sqrt{25} lika med 55 eftersom 55=25.5\cdot 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

aa=aeller(a)2=a\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \quad \text{eller} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal aa som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.a.
Regel

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot. I 273,\sqrt[3]{27}, vilket utläses kubikroten ur 2727 eller "tredje roten ur 2727", anger 33:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 33 gånger blir 27,27, alltså 3.3. Om typen av rot inte anges är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är an\sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig självt nn gånger blir a.a. Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n1/n och nn är det heltal som anger typen av rot. Till exempel kan 273\sqrt[3]{27} skrivas som 271/327^{1/3} och 1005\sqrt[5]{100} som 1001/5.100^{1/5}.

Regel

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 161/2271/3+(5)2. 16^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

231032^3 \cdot 10^3

b

715713\dfrac{7^{15}}{7^{13}}

c

(32)2\left(3^2\right)^2

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda potens.

a

7777777\cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7

b

4104244^{10}\cdot 4^2 \cdot 4

c

(6462)3\left(\dfrac{6^4}{6^{2}}\right)^3

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt det går.


a

3236333^2 \cdot 3^6\cdot 3^3

b

25/2322\dfrac{2^5/2^3}{2^2}

c

727579\dfrac{7^2\cdot 7^5}{7^9}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck med potenslagarna.


a

(22)322\left(2^2\right)^3\cdot 2^2

b

(743)2\left(\dfrac{7}{4\cdot 3}\right)^2

c

(234)242\dfrac{(2\cdot 3\cdot 4)^2}{4^2}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck utan räknare


a

102010\cdot 2^0

b

(102)0(10\cdot 2)^0

c

10-1+0.9110^{\text{-} 1}+0.9^1

d

10-10.9110^{\text{-} 1}\cdot 0.9^1

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv femte roten ur 17 i potensform.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en potens med exponenten 12\frac{1}{2} och som är lika med 3.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet på uttrycken utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare.

a

161216^{\frac{1}{2}}

b

271327^{\frac{1}{3}}

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Beräkna 513553.5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{5}{3}}.
Nationella provet HT13 2a
1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken med räknare. Svara med två decimaler.

a

93\sqrt[3]{9}

b

2154\sqrt[4]{215}

c

713857 \cdot \sqrt[5]{13 \cdot 8}

d

100006+100007\sqrt[6]{10\,000} + \sqrt[7]{10\,000}

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare.

a

813undefined1182undefined11\dfrac{8^{\left.13\middle/11\right.}}{8^{\left.2\middle/11\right.}}

b

(41undefined7)14210undefined322undefined3\left(4^{\left.1\middle/7\right.}\right)^{14}-2^{\left.10\middle/3\right.}\cdot 2^{\left.2\middle/3\right.}

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På tallinjen finns sex punkter A – F.

Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen. 99052-110122.12 99^0 \quad \sqrt{5} \quad 2^{\text{-}1} \quad 10^{\frac{1}{2}} \quad 2.1^2 Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen. Lös uppgiften utan räknare.

Nationella provet VT15 2a
1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sex punkter P – U är utprickade på tallinjen nedan.

Alla tal nedan motsvarar en av de sex markerade punkterna. 22063-11612 22^0 \quad \sqrt{6} \quad 3^{\text{-} 1} \quad 16^{\frac{1}{2}} Para ihop talen med den motsvarande punkten på tallinjen utan att använda räknare.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt det går.


a

x9(2x)4x^9\cdot (2x)^4

b

(-4a)2(-8a)3(\text{-}4a)^2\cdot(\text{-}8a)^3

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken utan räknare.

a

64-(-2)3\dfrac{64}{\text{-}(\text{-}2)^3}

b

1(-2)-3\dfrac{1}{(\text{-}2)^{\text{-}3}}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken av nedanstående potenser är störst, 16150eller2450? 16^{150} \quad \text{eller} \quad 2^{450}? Lös uppgiften utan att använda räknare.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 10-310^{\text{-}3} kan skrivas som 0.001.0.001.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en potens med basen 4.4.

a

1(-2)2(-12)\dfrac{1}{(\text{-}2)^2-(\text{-}12)}

b

4x642x\dfrac{4^x}{64^{2x}}

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.

a

3+9123123123 + 9^{\frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}

b

2813+4134232 - 8^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. Svara med ett rotuttryck.


a

634614\dfrac{6^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}}

b

13-271357132713^{\text{-} \frac{2}{7}} \cdot \dfrac{13^{\frac{5}{7}}}{13^{\frac{2}{7}}}

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en potens med exponenten 13\frac{1}{3} och som är lika med 5.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en potens.

a

777\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}

b

5353\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5}

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck: 512523. \dfrac{5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{2}{3}}}.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket utan räknare. (120)-1+(118)-1(-12)-1 \left(\dfrac{1}{20}\right)^{\text{-}1}+\left(\dfrac{1}{18}\right)^{\text{-}1}-\left(\text{-}\dfrac{1}{2}\right)^{\text{-}1}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda potens med minsta möjliga heltalsbas.


a

162+162+162+16216^2+16^2+16^2+16^2

b

9-2+9-2+9-29^{\text{-} 2}+9^{\text{-} 2}+9^{\text{-} 2}

c

11000250+250+2511^{1000}\cdot 2^{50}+ 2^{50}+ 2^{51}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om följande uttryck som en potens med minsta möjliga heltalsbas.

a

(42816)10(4\cdot 2 \cdot 8\cdot 16)^{10}

b

(93)1027\dfrac{\left(9^3\right)^{10}}{27}

c

9638+38+38\dfrac{9^6}{3^8+3^8+3^8}

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv kvoten 1000000000512 \dfrac{1\,000\,000\,000}{512} som en potens med basen 5, utan att använda din räknare, om du vet att 512 kan skrivas som en potens med bas 2.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att potensen 8a8^a är lika med 27. Bestäm värdet på potensen 42a.4^{2a}. Lös uppgiften utan räknare.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt utan räknare. Svara i potensform. 6(23)23363 \dfrac{\sqrt{6} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36}}

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna nedanstående uttryck utan räknare och svara exakt. 254254254254+254+254 \dfrac{\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}}{\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}}

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har följande likhet: 2a=3b=6. 2^a=3^b=6. Visa att summan av aa och bb är lika stor som produkten ab.ab.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}