Potenser och Rotuttryck: Skriv roten ur som potens

Tal	Värdesiffror	Storlek	Grundpotensform
$53000$	$5$ och $3$	$10000$	$5, 3 \cdot 1 0^{4}$
$432$	$4,$ $3,$ och $2$	$100$	$4, 32 \cdot 1 0^{2}$
$0, 0074$	$7$ och $4$	$0, 001$	$7, 4 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 000031$	$3$ och $1$	$0, 00001$	$7, 1 \cdot 1 0^{- 5}$

Tal

Värdesiffror

Storlek

Grundpotensform

53000

5

och

3

10000

5, 3 \cdot 1 0^{4}

432

4,

3,

och

2

100

4, 32 \cdot 1 0^{2}

0, 0074

7

och

4

0, 001

7, 4 \cdot 1 0^{- 3}

0, 000031

3

och

1

0, 00001

7, 1 \cdot 1 0^{- 5}

Förenkla uttrycket utan räknare.

(\frac{1}{2 0})^{- 1} + (\frac{1}{1 8})^{- 1} - (- \frac{1}{2})^{- 1}

När en potens har en negativ exponent kan den skrivas om som ett bråk med täljaren 1.

Uttryckets värde är 40.

Skriv uttrycket som en enda potens med minsta möjliga heltalsbas.

1 6^{2} + 1 6^{2} + 1 6^{2} + 1 6^{2}

9^{- 2} + 9^{- 2} + 9^{- 2}

1^{1000} \cdot 2^{50} + 2^{50} + 2^{51}

Eftersom vi adderar 4 likadana uttryck kan vi skriva om uttrycket som en produkt där ena faktorn är 4. Vi använder även att 16=4^2 för att båda faktorer ska få samma bas.

Då gör vi samma sak igen. Eftersom tre likadana termer adderas kan vi skriva detta som en produkt där ena faktorn är 3. Vi använder även att 9=3^2 för att båda faktorer ska få samma bas.

Om basen i en potens är 1 påverkar det inte potensens värde. Det kunde alltså lika gärna stått en 1:a istället för 1^(1000). När vi vet detta kan vi börja förenkla uttrycket.

Skriv om uttrycket som en potens med minsta möjliga heltalsbas.

(4 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 16)^{10}

\frac{( 9 ^{3} ) ^{10}}{2 7}

\frac{9 ^{6}}{3 ^{8} + 3 ^{8} + 3 ^{8}}

Faktorerna innanför parentesen kan skrivas om som potenser med basen 2. Vi gör detta och förenklar med potenslagarna.

Svaret är alltså 2^(100).

Både 9 och 27 kan skrivas om som en potens med basen 3. Därefter förenklar vi med potenslagarna.

Svaret är alltså 3^(57).

I nämnaren har vi adderat tre likadana potenser. Eftersom potenserna är identiska kan de skrivas om enligt a+a+a=3a, varpå nämnaren kan förenklas ytterligare om vi skriver om 3 som potensen 3^1 och lägger ihop exponenterna.

I täljaren står det 9^6. Genom att skriva om 9 som en potens med basen 3 kan vi förenkla bråket ytterligare.

Svaret är alltså 3^3.

Skriv kvoten

\frac{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0}{5 1 2}

som en potens med basen

5,

utan att använda din räknare, om du vet att

512

kan skrivas som en potens med bas

2 .

Vi skriver om 512 som en potens med basen 2. Det betyder att vi ska hitta det n som uppfyller 2^n=512. Vi provar med n=5. Sedan ökar eller minskar vi det tills vi hittar rätt exponent. Varje gång exponenten ökar med 1 fördubblas värdet på potensen.

2^n	=
2^5	32
2^6	64
2^7	128
2^8	256
2^9	512

512 kan alltså skrivas som 2^9. Täljaren är en etta med nio nollor. Det betyder att man kan skriva den som tiopotensen 10^9.

Bråket kan alltså skrivas 5^9.

Du vet att potensen

8^{a}

är lika med

27 .

Bestäm värdet på potensen

4^{2 a} .

Lös uppgiften utan räknare.

Vi kan inte ta reda på a direkt utan grafritande räknare. Istället får vi försöka skriva om 8^a och 4^(2a) så att de får samma bas eller exponent, för då kan vi använda inspektionsmetoden för att hitta samband. Både 8 och 4 kan skrivas om med basen 2, vi använder att 8=2^3 och att 4=2^2 det för att göra omskrivningarna 8^a=(2^3)^a och 4^(2a)=(2^2)^(2a). Tittar vi på dessa omskrivningar kan vi se att det verkar gå att skriva om båda så att de får basen 2^a. Vi testar det och ser om vi kommer vidare därifrån.

Vi gör samma sak för 4^(2a).

Nu kommer vi ihåg att vi visste att 8^a=27. Med denna information kan vi ta reda på vad 2^a är: 8^a=27 ⇔ ( 2^a)^3= 3^3. Vi har nu två potenser vars exponenter är lika. För att likheten ska gälla, måste då även baserna vara samma. Det betyder att 2^a=3. Detta använder vi får att beräkna 4^(2a).

4^(2a) är alltså lika med 81.

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt utan räknare. Svara i potensform.

\frac{6 \cdot ( 2 \cdot 3 ) ^{\frac{2}{3}}}{3 3 6}

Vi förenklar först täljaren och nämnaren för sig så långt det går.

Svaret är alltså 6^(12).

Beräkna nedanstående uttryck utan räknare och svara exakt.

\frac{4 2 5 \cdot 4 2 5 \cdot 4 2 5}{4 2 5 + 4 2 5 + 4 2 5}

Vi kan inte beräkna sqrt(25) i huvudet, och vi kan inte heller förkorta bråket eftersom vi har termer i nämnaren. Men vi kan skriva om nämnaren till en produkt då vi har tre stycken sqrt(25), vilket kan skrivas om som 3*sqrt(25). Därefter kan vi förkorta.

För att komma vidare i förenklingen skriver vi om rotuttrycken till potenser och använder därefter potenslagarna för att förenkla ytterligare.

Det exakta svaret är alltså 53.

Potenser och rotuttryck

Förkunskaper

Multiplikation och division av potenser

Regel

Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

Regel

Regel

Potens med negativ exponent

Regel

Specialfall av potenser

Regel

Regel

Regel

Regel

Tillämpa potensregler

Grundpotensform

Extra

Översättning mellan grundpotensform och standardform

Kvadratrot

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Regel

Beräkningar med rotuttryck

Ledtråd

Lösning

Rotuttryck på räknare

Extra

Utvärdera rötter

Potenser och rotuttryck

Rekommenderade uppgifter

	13 sidor teori
	31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.