Potenser och rotuttryck

Eftersom vi adderar 4 likadana uttryck kan vi skriva om uttrycket som en produkt där ena faktorn är 4. Vi använder även att 16=4^2 för att båda faktorer ska få samma bas.

Då gör vi samma sak igen. Eftersom tre likadana termer adderas kan vi skriva detta som en produkt där ena faktorn är 3. Vi använder även att 9=3^2 för att båda faktorer ska få samma bas.

Om basen i en potens är 1 påverkar det inte potensens värde. Det kunde alltså lika gärna stått en 1:a istället för 1^(1000). När vi vet detta kan vi börja förenkla uttrycket.

Vi skriver om 512 som en potens med basen 2. Det betyder att vi ska hitta det n som uppfyller 2^n=512. Vi provar med n=5. Sedan ökar eller minskar vi det tills vi hittar rätt exponent. Varje gång exponenten ökar med 1 fördubblas värdet på potensen.

512 kan alltså skrivas som 2^9. Täljaren är en etta med nio nollor. Det betyder att man kan skriva den som tiopotensen 10^9.

Bråket kan alltså skrivas 5^9.

Vi kan inte ta reda på a direkt utan grafritande räknare. Istället får vi försöka skriva om 8^a och 4^(2a) så att de får samma bas eller exponent, för då kan vi använda inspektionsmetoden för att hitta samband. Både 8 och 4 kan skrivas om med basen 2, vi använder att 8=2^3 och att 4=2^2 det för att göra omskrivningarna 8^a=(2^3)^a och 4^(2a)=(2^2)^(2a). Tittar vi på dessa omskrivningar kan vi se att det verkar gå att skriva om båda så att de får basen 2^a. Vi testar det och ser om vi kommer vidare därifrån.

Vi gör samma sak för 4^(2a).

Nu kommer vi ihåg att vi visste att 8^a=27. Med denna information kan vi ta reda på vad 2^a är: 8^a=27 ⇔ ( 2^a)^3= 3^3. Vi har nu två potenser vars exponenter är lika. För att likheten ska gälla, måste då även baserna vara samma. Det betyder att 2^a=3. Detta använder vi får att beräkna 4^(2a).

4^(2a) är alltså lika med 81.

Att vi har två likhetstecken kan uttryckas med de tre ekvationerna 2^a=6, 3^b=6 och 2^a=3^b. Vi ska undersöka om a+b=ab, vilket innebär att vi måste bilda en ekvation där exponenterna innehåller både a och b och kan likställas. För att exponenterna ska kunna likställas måste baserna vara lika. Vi behöver alltså en identitet för antingen 2 eller 3 att sätta in i ekvationen 2^a=3^b. I den första ekvationen kan högerledet skrivas som en potens med samma bas som i vänsterledet om vi gör omskrivningen 6=2* 3. Notera att vi lika gärna kan skriva om den andra ekvationen.

Då ersätter vi 3 i tredje ekvationen med identiteten 3=2^(a-1) och kan därefter likställa exponenterna.

Alltså stämmer det att a+b=ab.

Vi förenklar först täljaren och nämnaren för sig så långt det går.

Svaret är alltså 6^(12).

Vi kan inte beräkna sqrt(25) i huvudet, och vi kan inte heller förkorta bråket eftersom vi har termer i nämnaren. Men vi kan skriva om nämnaren till en produkt då vi har tre stycken sqrt(25), vilket kan skrivas om som 3*sqrt(25). Därefter kan vi förkorta.

För att komma vidare i förenklingen skriver vi om rotuttrycken till potenser och använder därefter potenslagarna för att förenkla ytterligare.

Det exakta svaret är alltså 53.