Potenser och Rotuttryck: Skriv roten ur som potens

Tal	Värdesiffror	Storlek	Grundpotensform
$53000$	$5$ och $3$	$10000$	$5, 3 \cdot 1 0^{4}$
$432$	$4,$ $3,$ och $2$	$100$	$4, 32 \cdot 1 0^{2}$
$0, 0074$	$7$ och $4$	$0, 001$	$7, 4 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 000031$	$3$ och $1$	$0, 00001$	$7, 1 \cdot 1 0^{- 5}$

Tal

Värdesiffror

Storlek

Grundpotensform

53000

5

och

3

10000

5, 3 \cdot 1 0^{4}

432

4,

3,

och

2

100

4, 32 \cdot 1 0^{2}

0, 0074

7

och

4

0, 001

7, 4 \cdot 1 0^{- 3}

0, 000031

3

och

1

0, 00001

7, 1 \cdot 1 0^{- 5}

Förenkla uttrycket så långt det går.

x^{9} \cdot (2 x)^{4}

(- 4 a)^{2} \cdot (- 8 a)^{3}

Vi använder potenslagarna för att förenkla uttrycket, först potens av en potens och därefter multiplikation av potenser.

Efter förenkling får vi 16x^(13).

Återigen använder vi samma potenslagar som i förra deluppgiften. Vi kommer ihåg att för de negativa baserna, -4 och -8, gäller att produkten blir positiv om exponenten är jämn och att produkten blir negativ om exponenten är udda.

Efter förenkling får vi -8 192a^5.

Förenkla uttrycket utan räknare.

\frac{6 4}{- ( - 2 ) ^{3}}

\frac{1}{( - 2 ) ^{- 3}}

En negativ bas med udda exponent blir alltid negativt. Vi använder det för att förenkla nämnaren.

Uttryckets värde är alltså 8.

I nämnaren har vi en potens med en negativ exponent. Vi skriver om den med positiv exponent genom att placera potensen i nämnaren på ett bråk.

Uttrycket förenklades till -8.

Vilken av nedanstående potenser är störst,

1 6^{150} eller 2^{450} ?

Lös uppgiften utan att använda räknare.

För att jämföra potenserna kan vi:

Göra baserna lika och jämföra exponenterna.
Göra exponenterna lika och jämföra baserna.

Vi väljer här att göra baserna lika genom att skriva 16^(150) som en potens med basen 2. Potensen som har högst exponent är det största talet.

Vi ser att 16^(150) även kan skrivas som 2^(600). Nu är potensernas baser lika och eftersom 600 är ett större tal än 450 måste 2^(600), dvs. 16^(150), vara den största potensen.

Vi kan också välja att skriva om potenserna så att de får samma exponent och jämföra basernas storlek. Vi skriver om potensen 2^(450) så att den får exponenten 150.

Vi ser att 2^(450) även kan skrivas som 8^(150) och eftersom 8 är mindre än 16 måste 16^(150) vara den största potensen.

Stämmer det att

1 0^{- 3} = 0, 001 ?

Motivera ditt svar.

I potenser med positiv exponent anger exponenten antalet gånger basen ska multipliceras. Exempelvis kan 10^3 skrivas som 10^3=10* 10* 10. Är exponenten negativ placeras faktorerna i nämnaren i ett bråk med täljaren 1: 10^(-3)= 110* 10* 10. Vi använder detta för att visa likheten.

Det stämmer alltså.

Skriv uttrycket som en potens med basen $4 .$

\frac{1}{( - 2 ) ^{2} - ( - 1 2 )}

\frac{4 ^{x}}{6 4 ^{2 x}}

Vi förenklar nämnaren tills vi har ett uttryck som kan skrivas om som en potens med basen 4.

Uttrycket kan alltså skrivas som 4^(-2).

64 kan vi skriva som 4^3. Därefter kan vi förenkla tills vi har samma bas i både nämnare och täljare.

Uttrycket kan skrivas som 4^(-5x).

Beräkna följande uttryck utan räknare.

3 + 9^{\frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}

2 - 8^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}}

Vi börjar med att skriva om potenserna som kvadratrötter. Därefter förenklar vi term för term.

Vi förenklar uttrycket term för term. Den högra termen förenklar vi med potenslagarna.

Förenkla uttrycket så långt som möjligt. Svara med ett rotuttryck.

\frac{6 ^{\frac{3}{4}}}{6 ^{\frac{1}{4}}}

1 3^{- \frac{2}{7}} \cdot \frac{1 3 ^{\frac{5}{7}}}{1 3 ^{\frac{2}{7}}}

I täljare och nämnaren har vi två potenser. Eftersom båda har samma bas kan vi skriva om dem som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraheras från exponenten i täljaren.

Vi löser uppgiften på samma sätt som tidigare.

Skriv en potens med exponenten

\frac{1}{3}

och som är lika med

5 .

En potens med exponenten 13 kan skrivas som kubikroten ur basen, dvs. a^(13)=sqrt(a). Om vi kan hitta ett tal vars kubikrot är 5, kan vi använda det. Om man multiplicerar 5 med sig själv tre gånger får man 5*5*5=125. Det betyder att kubikroten ur 125 är 5, dvs. sqrt(125) = 5. Vi använder detta.

Talet 5 kan skrivas som potensen 125^(13).

Skriv uttrycket som en potens.

7 \cdot 7 \cdot 7

35 \cdot 35

Vi börjar med att skriva om rotuttrycken som potenser. Sedan använder vi potenslagarna för att förenkla.

Uttrycket kan skrivas som potensen 7^(32).

Vi löser denna uppgift på samma sätt som den förra, men här har vi kubikrötter istället för kvadratrötter.

Vi får alltså 5^(23).

Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck.

\frac{5 ^{\frac{1}{2}}}{5 ^{\frac{2}{3}}}

Vi börjar med att förenkla uttrycket med potenslagarna. Sedan skriver vi om potensen som ett rotuttryck.

Svaret är alltså 1sqrt(5).

Potenser och rotuttryck

Förkunskaper

Multiplikation och division av potenser

Regel

Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel

Regel

Regel

Potens med negativ exponent

Regel

Specialfall av potenser

Regel

Regel

Regel

Regel

Tillämpa potensregler

Grundpotensform

Extra

Översättning mellan grundpotensform och standardform

Kvadratrot

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Regel

Beräkningar med rotuttryck

Ledtråd

Lösning

Rotuttryck på räknare

Extra

Utvärdera rötter

Potenser och rotuttryck

Rekommenderade uppgifter

	13 sidor teori
	31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.