Potenser och rotuttryck

Vi använder potenslagarna för att förenkla uttrycket, först potens av en potens och därefter multiplikation av potenser.

Efter förenkling får vi 16x^(13).

Återigen använder vi samma potenslagar som i förra deluppgiften. Vi kommer ihåg att för de negativa baserna, -4 och -8, gäller att produkten blir positiv om exponenten är jämn och att produkten blir negativ om exponenten är udda.

Efter förenkling får vi -8 192a^5.

En negativ bas med udda exponent blir alltid negativt. Vi använder det för att förenkla nämnaren.

Uttryckets värde är alltså 8.

I nämnaren har vi en potens med en negativ exponent. Vi skriver om den med positiv exponent genom att placera potensen i nämnaren på ett bråk.

Uttrycket förenklades till -8.

För att jämföra potenserna kan vi:

• Göra baserna lika och jämföra exponenterna.
• Göra exponenterna lika och jämföra baserna.

Vi väljer här att göra baserna lika genom att skriva 16^(150) som en potens med basen 2. Potensen som har högst exponent är det största talet.

Vi ser att 16^(150) även kan skrivas som 2^(600). Nu är potensernas baser lika och eftersom 600 är ett större tal än 450 måste 2^(600), dvs. 16^(150), vara den största potensen.

Vi kan också välja att skriva om potenserna så att de får samma exponent och jämföra basernas storlek. Vi skriver om potensen 2^(450) så att den får exponenten 150.

Vi ser att 2^(450) även kan skrivas som 8^(150) och eftersom 8 är mindre än 16 måste 16^(150) vara den största potensen.

I potenser med positiv exponent anger exponenten antalet gånger basen ska multipliceras. Exempelvis kan 10^3 skrivas som 10^3=10* 10* 10. Är exponenten negativ placeras faktorerna i nämnaren i ett bråk med täljaren 1: 10^(-3)= 110* 10* 10. Vi använder detta för att visa likheten.

Det stämmer alltså.

Vi förenklar nämnaren tills vi har ett uttryck som kan skrivas om som en potens med basen 4.

Uttrycket kan alltså skrivas som 4^(-2).

64 kan vi skriva som 4^3. Därefter kan vi förenkla tills vi har samma bas i både nämnare och täljare.

Uttrycket kan skrivas som 4^(-5x).

Vi börjar med att skriva om potenserna som kvadratrötter. Därefter förenklar vi term för term.

Vi förenklar uttrycket term för term. Den högra termen förenklar vi med potenslagarna.

I täljare och nämnaren har vi två potenser. Eftersom båda har samma bas kan vi skriva om dem som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraheras från exponenten i täljaren.

Vi löser uppgiften på samma sätt som tidigare.

En potens med exponenten 13 kan skrivas som kubikroten ur basen, dvs. a^(13)=sqrt(a). Om vi kan hitta ett tal vars kubikrot är 5, kan vi använda det. Om man multiplicerar 5 med sig själv tre gånger får man 5*5*5=125. Det betyder att kubikroten ur 125 är 5, dvs. sqrt(125) = 5. Vi använder detta.

Talet 5 kan skrivas som potensen 125^(13).

Vi börjar med att skriva om rotuttrycken som potenser. Sedan använder vi potenslagarna för att förenkla.

Uttrycket kan skrivas som potensen 7^(32).

Vi löser denna uppgift på samma sätt som den förra, men här har vi kubikrötter istället för kvadratrötter.

Vi får alltså 5^(23).

Vi börjar med att förenkla uttrycket med potenslagarna. Sedan skriver vi om potensen som ett rotuttryck.

Svaret är alltså 1sqrt(5).