Utforska Polynomfunktioner: Nollställen, Polynomgrad och Tredjegradspolynom

Intervall	Växande/Avtagande
$x \leq - 1$	Avtagande
$- 1 \leq x \leq 2$	Växande
$2 \leq x \leq 5$	Avtagande
$x \geq 5$	Växande

Vilka funktioner är polynomfunktioner?

En polynomfunktion har ett funktionsuttryck som är ett polynom, dvs. variablernas exponenter måste vara positiva heltal och koefficienterna vara reella. f(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ⋯ + a_1x + a_0 Vi undersöker en funktion i taget.

p(x)

Vi ser att funktionsuttrycket x^5+5x^4-x^2-7 har exponenter med positiva heltal och reella koefficienter, dvs. det är ett polynom. Funktion p(x) är därför en polynomfunktion. p(x)=x^5+5x^4-x^2-7 ✓

q(x)

Uttrycket 1x kan skrivas om till x^(-1). Vi ser då att exponenten inte är ett positivt heltal och kan konstatera att q(x) inte är en polynomfunktion. q(x)=x^(-1) *

f(x)

Även här kan vi göra en omskrivning av funktionsuttrycket för att lättare se om det är ett polynom. "Kvadratroten ur" är samma sak som "upphöjt till en halv" så funktionsuttrycket kan skrivas om som x^(1/2)+2. Vi ser då att exponenten inte är ett positivt heltal så f(x) är inte en polynomfunktion. f(x)=x^(1/2)+2 *

g(x)

Den tredje termen i uttrycket x^7+x^6+x^(-5)-1 har en negativ exponent. dvs. inte ett positivt heltal. Funktionen g(x) är därför inte en polynomfunktion. g(x)=x^7+x^6+x^(-5)-1 *

h(x)

Funktionsuttrycket 4x^2+x-3 uppfyller kraven på heltalsexponenter och reella koefficienter, så h(x) är en polynomfunktion. h(x)=4x^2+x-3 ✓

Bestäm funktionens nollställen.

Nollställen är de x-värden där funktionsvärdet är 0, dvs. där grafen skär x-axeln.

Nollställena är alltså x=-8, x=2 och x=6.

Vi läser av x-värdena på samma sätt som i föregående deluppgift.

Vi ser att nollställena är x=-6, x=-4, x=0 och x=8.

Grafen skär aldrig x-axeln. Det betyder att funktionen inte har några nollställen.

Utgå från grafen och bestäm ungefärliga koordinater för eventuella terrasspunkter samt minimi- och maximipunkter.

Sjättegradspolynom med sex nollställen, tre maxima och två minima.

En terrasspunkt finns där grafen planar ut, och det finns inga sådana finns här. Minimi- och maximipunkter finns däremot. Vi läser av ungefärliga koordinater för dessa.

Lokalt min	Lokalt max
(-2,-2)	(-6,10)
(4,-2)	(1,0)
	(8,12)

Utgå från funktionen i figuren och bestäm ungefärliga koordinater för eventuella terrasspunkter samt minimi- och maximipunkter.

Sjättegradare med en terrasspunkt och två minima samt ett maxima.

En terrasspunkt finns där grafen planar ut, och vi kan se att det finns en sådan här. Det finns även ett antal minimi- och maximipunkter. Vi läser av ungefärliga koordinater för terrasspunkten och lokala extrempunkter.

Terrasspunkt	Lokalt min	Lokalt max
(-4,5;5,5)	(-1;0,5)	(2;6)
	(5;-9)

Hur många nollställen kan en polynomfunktion maximalt ha

om den är av grad

4 ?

om den är av grad

11 ?

om den har funktionsuttrycket

3 x^{7} - 5 x^{4} - x^{2} + 9 ?

Det finns ett samband som säger att ett polynom av grad n har maximalt n stycken nollställen. Har polynomet grad 4, som här, kommer det alltså maximalt kunna ha 4 nollställen.

Vi använder samma samband som i förra deluppgiften. Det innebär att polynomet kan ha maximalt 11 nollställen.

Här måste vi först avgöra vilken grad polynomet med funktionsuttrycket 3x^7-5x^4-x^2+9 har. Eftersom det är den högsta exponenten som avgör graden är den 7. Maximala antalet nollställen är då 7.

Hur många extrempunkter kan en polynomfunktion maximalt ha om den har följande grad?

3

7

1

Det finns ett samband som säger att ett polynom av grad n maximalt kan ha n-1 extrempunkter. Ett polynom av grad 3 kan därför som mest ha 3-1, dvs. 2 stycken extrempunkter. Undersök följande tredjegradspolynom.

Med samma motivering som ovan kan vi konstatera att antalet extrempunkter maximalt kan vara 6 stycken för ett polynom av grad 7.

8x+5 är en förstagradsfunktion och har därför grad 1. Maximala antalet extrempunkter är alltså 0. Det är rimligt att en förstagradsfunktion, dvs. en rät linje, inte har några extrempunkter eftersom den aldrig "svänger".

Bestäm på vilket eller vilka intervall funktionen är avtagande respektive växande.

Vi vet att en funktion är växande (↗) om den antar större och större y-värden när vi går åt höger och att den är avtagande (↘) om den istället antar mindre och mindre y-värden. Utifrån detta markerar vi var funktionen växer respektive avtar.

Den är alltså avtagande fram till x=0 och växande därefter. Vi anger nu detta som intervall.

Intervall	Växande/Avtagande
x≤0	Avtagande
x ≥ 0	Växande

Vi resonerar på samma sätt som i tidigare deluppgift. Vi ser att funktionen är växande fram till x=-2, där vänder den och blir avtagande. Det är den fram till x=3, för att sedan växa igen.

Vi presenterar detta som intervall.

Intervall	Växande/Avtagande
x≤-2	Växande
-2≤ x ≤ 3	Avtagande
x≥3	Växande

Grafen i sista deluppgiften är en rät linje, och eftersom en sådan aldrig vänder kommer linjer vara antingen växande eller avtagande för alla x. Just denna linje är växande eftersom den antar större och större y-värden när vi går åt höger.

Använd räknarens verktyg för att bestämma nollställena till polynomfunktionen. Avrunda till två decimaler.

p (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 7 x - 9

q (x) = - x^{4} + 5 x^{2} - x + 1

För att hitta funktionens nollställen med räknaren trycker vi först på Y= och skriver sedan in funktionsuttrycket. Eftersom det är ett tredjegradspolynom kan det maximalt finnas 3 nollställen. Sedan ritar vi upp grafen med GRAPH. Om man inte ser hela grafen kan man ändra räknarens koordinatsystem.

Funktionen har endast ett nollställe, dvs. grafen bara skär x-axeln på ett ställe. För att hitta x-värdet där detta sker trycker vi på CALC (2nd + TRACE) och väjer zero.

Vi måste då välja en punkt på grafen till vänster om nollstället och ett till höger, genom att trycka ENTER då det frågas efter Left Bound respektive Right Bound. Slutligen trycker vi ENTER igen på frågan Guess?

När vi tryckt ENTER totalt tre gånger kommer räknaren att visa koordinaterna för nollstället.

Nollstället till p(x)=2x^3+x^2-7x-9 är x ≈ 2.13.

Nu gör vi på samma sätt med q(x)=- x^4+5x^2-x+1, som maximalt kan ha 4 nollställen. Vi trycker på Y=, skriver in funktionsuttrycket och ritar upp grafen med GRAPH.

Denna funktion har två nollställen. Vi börjar med att hitta det vänstra genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) och väja zero. Därefter väljer vi Left Bound, Right Bound och Guess med ENTER.

Koordinaterna för det första nollstället visas nu, vilket avrundat till två decimaler blir x ≈ -2.37.

Nu väljer vi zero igen och gör likadant en gång till för att hitta det högra nollstället.

Det andra nollstället är alltså x ≈ 2.18.

Bestäm nollställen till polynomfunktionen algebraiskt och kontrollera ditt svar grafiskt.

y = x^{2} - 10 x + 16

y = 7 x - x^{2}

y = x^{3} - 25 x

y = 4 x^{3} + 8 x^{2} - 12 x

Att hitta nollställena till polynomfunktionen är detsamma som att lösa ekvationen y=0. Ställer vi upp ekvationen får vi en andragradsekvation som kan lösas med exempelvis pq-formeln.

Vi får fram att funktionens nollställen är x=2 och x=8. Vi kontrollerar detta grafiskt med räknaren genom att skriva in funktionsuttrycket y=x^2-10x+16 och använda Zero.

Vi får alltså samma rötter.

Nollställena till polynomfunktionen y=7x-x^2 får vi genom att lösa ekvationen 7x-x^2=0. Vi kan använda pq-formeln, men det går snabbare att använda nollproduktmetoden.

Med räknaren kan vi bekräfta på motsvarande sätt som tidigare att nollställena är samma.

Nu ska vi hitta nollställena till ett tredjegradspolynom, y=x^3-25x. Vi sätter y=0 precis som innan, och vi kan då använda nollproduktmetoden igen för att dela upp problemet, denna gång i en första- och andragradsekvation.

Vi hittar alltså tre nollställen: x=-5, x=0 och x=5. Vi kontrollerar med grafräknaren.

Det stämmer med den algebraiska lösningen.

Slutligen ska vi hitta nollställena till y=4x^3+8x^2-12x. Vi börjar på samma sätt med att sätta funktionsuttrycket lika med 0 och sedan kan vi bryta vi ut 4x.

Även här får vi ut lösningen x=0 och en andragradsekvation. Eftersom den både har x^2-term, x-term och konstantterm använder vi pq-formeln.

Vi hittade nollställena x=-3, x=0 och x=1, vilket stämmer med den grafiska kontrollen.

Para ihop polynomfunktionerna

p (x) = 0, 6 x^{3} + 2 x^{2} + 4, q (x) = x + 4 h (x) = 0, 2 x^{2} + x + 4

med rätt graf.

Vi börjar med att avgöra vilket gradtal respektive funktionsuttryck har. Det avgörs av exponenten med högst värde. Polynomfunktionen p(x)=0,6x^3+2x^2+4 är alltså av grad 3, medan q(x)=x+4 är av grad 1 och h(x)=0,2x^2+x+4 av grad 2. Vi försöker nu para ihop varje graf med rätt funktion genom att resonera kring hur funktionen måste se ut för att matcha grafen.

Graf A

Den röda grafen har två extrempunkter. Enligt sambandet som säger att en funktion av grad n kan ha maximalt n-1 stycken extrempunkter kan vi dra slutsatsen att detta måste vara ett polynom av minst grad 3. Det finns bara ett sådant: p(x)=0,6x^3+2x^2+4.

Graf B

Nu har vi bara h(x) och q(x) kvar att välja på. Och eftersom den gröna grafen har en extrempunkt måste graden vara minst 2. Funktionen h(x)=0,2x^2+x+4 hör därför ihop med denna graf.

Graf C

Till sist konstaterar vi att den blå grafen är en rät linje, och alltså passar bra ihop med q(x)=x+4.

Polynomfunktioner

Förkunskaper

Polynomfunktion

Andragradsfunktion

Tredjegradsfunktion

Egenskaper hos polynomfunktioner

Koncept

Koncept

Koncept

Antal nollställen till polynomfunktioner

Bestäm nollställen till tredjegradsfunktionen algebraiskt och grafiskt

Ledtråd

Lösning

Algebraisk lösning

Grafisk kontroll

Undersök polynomfunktionens graf

Ledtråd

Lösning

p(x)

q(x)

f(x)

g(x)

h(x)

Graf A

Graf B

Graf C

Polynomfunktioner

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.