Lutning i en punkt

För att tangenterna ska ha samma lutning måste kurvans lutning vara lika i alla punkter. Oavsett vilken tangeringspunkt vi väljer får tangenten samma k-värde. En kurva som uppfyller detta är en rät linje, där kurvans k-värde alltså är samma som samtliga tangenters lutning.

En tangent med lutningen 0 har varken positiv eller negativ lutning, utan är horisontell. Detta sker t.ex. i en kurvas extrempunkter. Så om vi skissar en kurva med två extrempunkter kommer den också att ha två tangenter med lutningen 0.

Det kan t.ex. vara ett tredjegradspolynom.

Ett sätt att få till en kurva som hela tiden växlar mellan olika positiva värden på tangentens lutningen är att tänka att nästa tangent alltid ska ha en lite större lutning än föregående. Detta är sant för växande funktioner. Ett exempel på en växande funktion är vissa exponentialfunktioner.

En linje måste ha samma lutning som kurvan i tangeringspunkten för att vara en tangent. Den röda linjen i Arnes graf har dock inte det, och är därför inte en tangent. Om linjen varit en tangent hade den sett ut som i figuren nedan.

En tangent kan dessutom skära fler än en punkt på kurvan den tangerar. Om vi zoomar ut och tittar på ett större område ser vi att det faktiskt är fallet för tangenten ovan.

Arnes tolkning är alltså felaktig.

För att en linje ska vara både en sekant och tangent måste vi rita den så att den uppfyller villkoren för en sekant och tangent samtidigt. Den ska alltså skära en kurva i minst två punkter (sekant) och ha samma lutning som kurvan i någon av dessa punkter (tangent). Det finns många sådana linjer och här visar vi ett exempel.

Den röda linjen tangerar den blå kurvan ungefär i punkten (0.5,0.5), och är därför en tangent, samt skär kurvan i ytterligare två punkter, och är därmed en sekant.

För att lösa uppgiften behöver vi inte rita upp kurvan i detalj, utan det räcker att vi förstår ungefär hur en andragradskurva ser ut. Eftersom koefficienten framför x^2 är positiv ser f(x) ut som en glad mun (⌣). Vi kommer också ihåg att andragradskurvor på formen y=ax^2+c är symmetriska runt y-axeln och att den skär y-axeln i c=2. Med hjälp av denna information kan vi skissa grafen.

Om vi nu markerar punkten (0,2) inser vi att det är kurvans minimipunkt. Eftersom en tangent till en extrempunkt alltid är horisontell är alltså tangentens k-värde lika med 0.

Vi inser också av skissen att tangentens m-värde måste vara lika med 2. Tangentens ekvation blir därför y=2.

Om linjen tangerar kurvan i A innebär detta att de skär varandra i denna punkt. Genom att likställa funktionsuttrycken kan vi lösa ut det x-värde där funktionerna skär varandra.

Vi löser ut x med pq-formeln.

Tangenten skär alltså kurvan endast i x=2. Vi vet att det ska finnas en tangeringspunkt, och detta är den enda kandidaten. Vi behöver bara punktens y-koordinat, som vi hittar genom att sätta in x-värdet i tangentens eller kurvans ekvation.

Punkten A har alltså koordinaterna (2,0).