2. Lutning i en punkt
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
2.
Lutning i en punkt
Få en djupgående guide om lutning i en punkt, vilket hjälper studenter att förstå konceptet med tangent och lutning. Innehållet förklarar hur man bestämmer ekvationen för en tangent till en kurva vid en given punkt, och hur man tolkar lutningen i olika punkter. Det ger också exempel på hur man löser problem med hjälp av dessa koncept. Dessutom, förklaras skillnaden mellan tangenter och sekanter, och hur de kan användas för att beskriva förändringar i olika sammanhang, till exempel temperaturförändringar. Plattformen erbjuder en mängd övningar för att öva dessa koncept, vilket gör det lättare för studenter att förstå och tillämpa dessa i sina matematiska problem. Genom att använda dessa verktyg kan studenter förbättra sin förståelse för lutning och hur den relaterar till tangenter, vilket är avgörande för framgång inom högre matematik.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Lutning i en punkt
Sida av 7
Ibland är man inte intresserad av en genomsnittlig förändring på ett intervall, utan snarare av förändringen vid en specifik tidpunkt, t.ex. en bils hastighet i en specifik tidpunkt. Om det man vill studera representeras grafiskt kan man använda tangenter för att bestämma sådana momentana förändringar.
Begrepp
Tangent
En tangent är en rät linje som precis nuddar en kurva i en punkt och har samma lutning som kurvan där. Man säger att linjen tangerar kurvan i en tangeringspunkt.
Man kan därför använda tangenter för att illustrera en kurvas lutning i en viss punkt på grafen.
y=x2
y=2x
y=sin(x)
Cirkel
Exempel
Undersök grafens lutning i punkterna
Avgör om grafens lutning är positiv, negativ eller 0 i punkterna.
Visa Lösning expand_more
För att lösa uppgiften kan vi använda att lutningen i en punkt på en graf motsvaras av lutningen på den tangent som tangerar grafen just där. Vi ritar därför tangenten till grafen i respektive punkt och avgör om den har positiv eller negativ lutning.
Punkt A
Vi ser att tangenten till grafen i punkt A har negativ lutning, så grafens lutning i punkten är just negativ.
Punkt B
Tangenten som tangerar grafen i punkt B har istället positiv lutning. Grafens lutning där är alltså positiv.
Punkt C
Här är tangenten horisontell, och har därför varken negativ eller positiv lutning. Tangenten, och därmed grafen i punkt C, har alltså lutningen 0.
Punkt D
Grafens lutning i punkt D är positiv eftersom tangentens lutning är det.
Metod
Bestämma en tangents lutning grafiskt
En tangent är en rät linje, vilket betyder att den kan beskrivas med räta linjens ekvation: 
y=kx+m.
Att bestämma en tangents lutning är alltså samma sak som att bestämma dess k-värde. Om man t.ex. ritar en tangent till funktionen f i figuren där x=4, kan dess lutning bestämmas med denna metod. 1
Rita tangenten
expand_more Använd en linjal för att rita tangenten genom punkten. Den ska precis ska nudda grafen i tangeringspunkten, och linjens lutning ska vara så lik grafens lutning som möjligt i just den punkten.
2
Läs av två punkter på tangenten
expand_more För att bestämma tangentens lutning väljer man två punkter på den. Välj i första hand sådana som är lätta att läsa av.
Här väljs punkterna (2,3) och (6,5). Går det inte att hitta lättavlästa punkter får man göra en ungefärlig avläsning, och välj då gärna punkter som ligger en bit ifrån varandra. Eventuella avläsningsfel får nämligen mindre konsekvenser då.
3
Beräkna lutningen med k-formeln
expand_more Lutningen beräknas genom att man sätter in de två punkterna i k-formeln.
k=x2−x1y2−y1
SubstitutePoints
Sätt in (6,5) & (2,3)
k=6−25−3
SubTerms
Subtrahera termer
k=42
WriteDec
Skriv i decimalform
k=0.5
Tangentens lutning är alltså k=0.5.
Exempel
Vad är tangentens ekvation?
I koordinatsystemet visas grafen till en funktion f(x).
Bestäm ekvationen till den tangent som tangerar grafen i punkten (2,1.5).
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att markera punkten (2,1.5) i grafen. Tangenten kan nu ritas ut och dess lutning bestämmas.
k=x2−x1y2−y1
SubstitutePoints
Sätt in (2,1.5) & (1.5,0.5)
k=2−1.51.5−0.5
SubTerms
Subtrahera termer
k=0.51
CalcQuot
Beräkna kvot
k=2
y=kx+m
SubstituteValues
Sätt in värden
1.5=2⋅2+m
Multiply
Multiplicera faktorer
1.5=4+m
SubEqn
VL−4=HL−4
−2.5=m
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
m=−2.5
y=2x−2.5.
Förklaring
Hur tolkas sekanters och tangenters lutning?
Både sekanter och tangenter är räta linjer som kan illustrera så kallade förändringshastigheter hos grafer. En förändringshastighet är en tolkning av en lutning utifrån sammanhanget och med en enhet, exempelvis temperaturförändringen i ett varmt och kvavt klassrum mellan kl. 11:00 och 12:00 en dag där fönstret står öppet ett tag.
Både sekanter och tangenter kan beskriva temperaturförändringar i klassrummet, dock på olika sätt.
Förklaring
Tolkning av sekantens lutning
ΔxΔy=605≈0.08∘C/min.
Sekantens lutning kan alltså tolkas som att den genomsnittliga temperaturförändringen mellan kl 11 och 12 var en ökning med 0.08∘C/min.
Förklaring
Tolkning av tangentens lutning
ΔxΔy=45−15≈−0.33∘C/min.
Tangentens lutning kan alltså tolkas som att den momentana temperaturförändringen kl 11:26 var en minskning med 0.33∘C/min. Trots att den genomsnittliga temperaturen ökade var alltså temperaturen på väg ner vid just denna tidpunkt.Exempel
Tolka sekanternas och tangenternas lutning
Till graferna i figur A-D har räta linjer ritats in.
Avgör följande för respektive figur:
- Representerar linjen en genomsnittlig eller momentan förändring?
- Representerar linjen en ökning eller minskning och hur stor är den? Svara med enhet.
Visa Lösning expand_more
Vi undersöker en figur i taget.
Figur A
Linjen skär kurvan i en punkt med samma lutning som kurvan och är alltså en tangent. Den representerar därför en momentan förändring.
Eftersom tangentens k-värde är negativt, −6.8, minskar funktionen med 6.8 i denna punkt. Enheten får vi genom att dividera y-axelns enhet med x-axelns. Vi har alltså en momentan minskning på 6.8 m/s.
Figur B
Linjen skär kurvan i två punkter och är därför en sekant. En sekant representerar en genomsnittlig förändring på ett intervall.
Med hjälp av k-värdet och axlarnas enheter ser vi att sekanten representerar en genomsnittlig minskning på 1.5∘C/h.
Figur C
Här är sekantens k-värde positivt, så figuren visar en genomsnittlig ökning på 0.7 m/s.
Figur D
Denna tangent representerar en momentan minskning på 0.9∘C/h.
Lutning i en punkt
Övningar
Grafen beskriver en bils hastighet under de 8 första sekunderna efter att den startat. Ange svaret med två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m\/s<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["0.75"]}}
security
report
code
security
report
code
Acceleration beskriver hur hastighet förändras – det är hastighetens förändringshastighet vid en viss tidpunkt. Vi kan därför bestämma accelerationen efter 4 sekunder genom att beräkna lutningen på den tangent som skär grafen is=4.
Nu bestämmer vi tangentens lutning genom att välja två punkter på tangenten, t.ex. (4,6) och (0,3), och sätta in dem i k-formeln.
Insättning ger följande.
Accelerationen efter 4 sekunder är alltså 0.75 m/s^2.
security
report
code
Graferna till funktionerna f(x)=0.4x2+1.35 och g(x)=0.05x3+0.04x2−0.87x+0.89 tangerar varandra i en punkt på intervallet x≤0. Bestäm lutningen k i denna punkt givet att tangenten som tangerar graferna där skär y-axeln i y=−1.1875k. Digitala verktyg är tillåtna.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03148em;\">k<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0.8"]}}
security
report
code
security
report
code
I den punkt där graferna tangerar varandra har de samma x-värde. Vi kan bestämma detta x genom att lösa ekvationen f(x)=g(x): 0.4x^2+1.35=0.05x^3+0.04x^2-0.87x+0.89.
Vi samlar alla termer i ena ledet.
Vi har inga algebraiska metoder för att lösa denna tredjegradsekvation men kan lösa den grafiskt genom att hitta nollställena till funktionen i vänsterledet. Vi börjar med att rita grafen till y=0.05x^3-0.36x^2-0.87x-0.46 på räknaren genom att skriva in funktionsuttrycket och trycka på GRAPH.
Vi kan behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet för att se grafen. Det viktigaste är att nollstället på intervallet x≤0 syns eftersom det är tangeringspunkten på det intervallet vi är intresserade av. Om vi nu trycker på CALC (2nd + TRACE) visas en meny med olika beräkningar som kan göras.
Vi väljer "zero" för att bestämma nollställen. Grafen visas då igen och vi anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe, t.ex. -5 och 0, samt en gissning, t.ex. -1. Nollställets x-koordinat visas då till vänster och y-koordinaten, som är 0, visas till höger.
Graferna till funktionerna f(x) och g(x) tangerar alltså varandra i x=-1. Motsvarande y-koordinat får vi genom att sätta in x=-1 i någon av funktionerna, t.ex. f(x)=0.4x^2+1.35.
Det är alltså funktionernas lutning i punkten (-1,1.75) vi ska bestämma. Från uppgiften vet vi att tangenten som tangerar graferna i denna punkt skär y-axeln där y=-1.1875k. Det betyder att tangenten har m-värdet -1.1875k om den skrivs på formen y=kx+m. Eftersom tangentens och grafernas lutning sammanfaller i (-1,1.75) kan vi bestämma grafernas lutning i denna punkt genom att beräkna tangentens lutning. Vi gör det genom att sätta in tangeringspunktens koordinater samt tangentens m-värde i y=kx+m och lösa ut k.
Lutningen i tangeringspunkten mellan f(x) och g(x) på intervallet x≤0 är alltså -0.8.
security
report
code
Lutning i en punkt
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll