Lutning i en punkt
Begrepp
Tangent
En tangent är en rät linje som precis nuddar en kurva i en punkt och har samma lutning som kurvan där. Man säger att linjen tangerar kurvan i en tangeringspunkt.
Man kan därför använda tangenter för att illustrera en kurvas lutning i en viss punkt på grafen.
Avgör om grafens lutning är positiv, negativ eller 0 i punkterna.
För att lösa uppgiften kan vi använda att lutningen i en punkt på en graf motsvaras av lutningen på den tangent som tangerar grafen just där. Vi ritar därför tangenten till grafen i respektive punkt och avgör om den har positiv eller negativ lutning.
Punkt A
Vi ser att tangenten till grafen i punkt A har negativ lutning, så grafens lutning i punkten är just negativ.
Punkt B
Tangenten som tangerar grafen i punkt B har istället positiv lutning. Grafens lutning där är alltså positiv.
Punkt C
Här är tangenten horisontell, och har därför varken negativ eller positiv lutning. Tangenten, och därmed grafen i punkt C, har alltså lutningen 0.
Punkt D
Grafens lutning i punkt D är positiv eftersom tangentens lutning är det.
Metod
Bestämma en tangents lutning grafiskt
Använd en linjal för att rita tangenten genom punkten. Den ska precis ska nudda grafen i tangeringspunkten, och linjens lutning ska vara så lik grafens lutning som möjligt i just den punkten.
För att bestämma tangentens lutning väljer man två punkter på den. Välj i första hand sådana som är lätta att läsa av.
Här väljs punkterna (2,3) och (6,5). Går det inte att hitta lättavlästa punkter får man göra en ungefärlig avläsning, och välj då gärna punkter som ligger en bit ifrån varandra. Eventuella avläsningsfel får nämligen mindre konsekvenser då.
I koordinatsystemet visas grafen till en funktion f(x).
Bestäm ekvationen till den tangent som tangerar grafen i punkten (2,1.5).
Vi börjar med att markera punkten (2,1.5) i grafen. Tangenten kan nu ritas ut och dess lutning bestämmas.
Sätt in värden
Multiplicera faktorer
VL−4=HL−4
Omarrangera ekvation
Förklaring
Hur tolkas sekanters och tangenters lutning?
Både sekanter och tangenter är räta linjer som kan illustrera så kallade förändringshastigheter hos grafer. En förändringshastighet är en tolkning av en lutning utifrån sammanhanget och med en enhet, exempelvis temperaturförändringen i ett varmt och kvavt klassrum mellan kl. 11:00 och 12:00 en dag där fönstret står öppet ett tag.
Både sekanter och tangenter kan beskriva temperaturförändringar i klassrummet, dock på olika sätt.
Förklaring
Tolkning av sekantens lutning
Förklaring
Tolkning av tangentens lutning
Till graferna i figur A-D har räta linjer ritats in.
Avgör följande för respektive figur:
- Representerar linjen en genomsnittlig eller momentan förändring?
- Representerar linjen en ökning eller minskning och hur stor är den? Svara med enhet.
Vi undersöker en figur i taget.
Figur A
Linjen skär kurvan i en punkt med samma lutning som kurvan och är alltså en tangent. Den representerar därför en momentan förändring.
Eftersom tangentens k-värde är negativt, -6.8, minskar funktionen med 6.8 i denna punkt. Enheten får vi genom att dividera y-axelns enhet med x-axelns. Vi har alltså en momentan minskning på m/s.
Figur B
Linjen skär kurvan i två punkter och är därför en sekant. En sekant representerar en genomsnittlig förändring på ett intervall.
Med hjälp av k-värdet och axlarnas enheter ser vi att sekanten representerar en genomsnittlig minskning på C/h.
Figur C
Här är sekantens k-värde positivt, så figuren visar en genomsnittlig ökning på m/s.
Figur D
Denna tangent representerar en momentan minskning på C/h.
