Lutning i en punkt

Ibland är man inte intresserad av en genomsnittlig förändring på ett intervall, utan snarare av förändringen vid en specifik tidpunkt, t.ex. en bils hastighet i en specifik tidpunkt. Om det man vill studera representeras grafiskt kan man använda tangenter för att bestämma sådana momentana förändringar.

Begrepp

Tangent

En tangent är en rät linje som precis nuddar en kurva i en punkt och har samma lutning som kurvan där. Man säger att linjen tangerar kurvan i en tangeringspunkt.

Man kan därför använda tangenter för att illustrera en kurvas lutning i en viss punkt på grafen.

y = x^2

y = 2^x

y = \sin(x)

Cirkel

Undersök grafens lutning i punkterna

Uppgift

Avgör om grafens lutning är positiv, negativ eller $0$ i punkterna.

Lösning

För att lösa uppgiften kan vi använda att lutningen i en punkt på en graf motsvaras av lutningen på den tangent som tangerar grafen just där. Vi ritar därför tangenten till grafen i respektive punkt och avgör om den har positiv eller negativ lutning.

Punkt $A$

Vi ser att tangenten till grafen i punkt $A$ har negativ lutning, så grafens lutning i punkten är just negativ.

Punkt $B$

Tangenten som tangerar grafen i punkt $B$ har istället positiv lutning. Grafens lutning där är alltså positiv.

Punkt $C$

Här är tangenten horisontell, och har därför varken negativ eller positiv lutning. Tangenten, och därmed grafen i punkt $C,$ har alltså lutningen $0.$

Punkt $D$

Grafens lutning i punkt $D$ är positiv eftersom tangentens lutning är det.

Visa lösning

Metod

Bestämma en tangents lutning grafiskt

En tangent är en rät linje, vilket betyder att den kan beskrivas med räta linjens ekvation: $y=kx+m.$ Att bestämma en tangents lutning är alltså samma sak som att bestämma dess $k$ -värde. Om man t.ex. ritar en tangent till funktionen $f$ i figuren där $x=4,$ kan dess lutning bestämmas med denna metod.

1

Rita tangenten

Använd en linjal för att rita tangenten genom punkten. Den ska precis ska nudda grafen i tangeringspunkten, och linjens lutning ska vara så lik grafens lutning som möjligt i just den punkten.

2

Läs av två punkter på tangenten

För att bestämma tangentens lutning väljer man två punkter på den. Välj i första hand sådana som är lätta att läsa av.

Här väljs punkterna $(2,3)$ och $(6,5).$ Går det inte att hitta lättavlästa punkter får man göra en ungefärlig avläsning, och välj då gärna punkter som ligger en bit ifrån varandra. Eventuella avläsningsfel får nämligen mindre konsekvenser då.

3

Beräkna lutningen med

k

-formeln

Lutningen beräknas genom att man sätter in de två punkterna i $k$ -formeln.

k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{6,5}}\right)

&

\left({\color{#009600}{2,3}}\right)

k = \dfrac{{\color{#0000FF}{5}}-{\color{#009600}{3}}}{{\color{#0000FF}{6}}-{\color{#009600}{2}}}

Förenkla termer

k=\dfrac{2}{4}

Skriv i decimalform

k=0.5

Tangentens lutning är alltså $k=0.5.$

Vad är tangentens ekvation?

Uppgift

I koordinatsystemet visas grafen till en funktion $f(x).$

Bestäm ekvationen till den tangent som tangerar grafen i punkten $(2,1.5).$

Lösning

Vi börjar med att markera punkten $(2,1.5)$ i grafen. Tangenten kan nu ritas ut och dess lutning bestämmas.

Här använder vi tangeringspunkten $(2,1.5)$ samt $(1.5,0.5).$ Vi sätter in koordinaterna i $k$ -formeln.

k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{2,1.5}}\right)

&

\left({\color{#009600}{1.5,0.5}}\right)

k = \dfrac{{\color{#0000FF}{1.5}}-{\color{#009600}{0.5}}}{{\color{#0000FF}{2}}-{\color{#009600}{1.5}}}

Förenkla termer

k = \dfrac{1}{0.5}

Beräkna kvot

k = 2

Eftersom tangenten är en rät linje kan den skrivas på $k$ -form och $k$ -värdet är $2.$ För att hitta $m$ -värdet sätter vi in $k$ -värdet samt ett känt $x$ - respektive $y$ -värde, t.ex. från tangeringspunkten $(2,1.5),$ i räta linjens ekvation och löser ut $m.$

y=kx+m

Sätt in värden

1.5=2\cdot2+m

Multiplicera faktorer

1.5=4+m

\text{VL}-4=\text{HL}-4

\text{-}2.5=m

Omarrangera ekvation

m=\text{-}2.5

Tangentens ekvation är alltså $y=2x-2.5.$

Visa lösning

Förklaring

Hur tolkas sekanters och tangenters lutning?

Både sekanter och tangenter är räta linjer som kan illustrera så kallade förändringshastigheter hos grafer. En förändringshastighet är en tolkning av en lutning utifrån sammanhanget och med en enhet, exempelvis temperaturförändringen i ett varmt och kvavt klassrum mellan kl. 11:00 och 12:00 en dag där fönstret står öppet ett tag.

Både sekanter och tangenter kan beskriva temperaturförändringar i klassrummet, dock på olika sätt.

Förklaring

Tolkning av sekantens lutning

En sekants lutning motsvarar en genomsnittlig förändring på ett intervall. Den kan t.ex. användas för att besvara frågan "Vad var den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i rummet mellan 11:00 och 12:00?" Denna tar bara hänsyn till "startvärdet" och "slutvärdet" för funktionen på intervallet, inte hur den ser ut däremellan.

Den totala ökningen är ca $5^\circ \text{C}$ under denna timme, vilket ger den genomsnittliga förändringshastigheten $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{60} \approx 0.08 ^\circ \text{C/min}.$ Sekantens lutning kan alltså tolkas som att den genomsnittliga temperaturförändringen mellan kl 11 och 12 var en ökning med $0.08 ^\circ \text{C}$ /min.

Förklaring

Tolkning av tangentens lutning

Om man istället vill beskriva en förändring vid en viss tidpunkt använder man en tangents lutning. Den kan exempelvis besvara frågan "Vad var temperaturförändringen per minut i rummet kl. 11:26?" Denna tar bara hänsyn till kurvans lutning just där och inte någon annanstans under timmen.

Med två punker på tangenten kan man bestämma den momentana förändringshastigheten till: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{-} 15}{45} \approx \text{-}0.33^\circ \text{C}\text{/min.}$

Tangentens lutning kan alltså tolkas som att den momentana temperaturförändringen kl 11:26 var en minskning med

0.33 ^\circ \text{C}

/min. Trots att den genomsnittliga temperaturen ökade var alltså temperaturen på väg ner vid just denna tidpunkt.

Tolka sekanternas och tangenternas lutning

Uppgift

Till graferna i figur A-D har räta linjer ritats in.

Avgör följande för respektive figur:

Representerar linjen en genomsnittlig eller momentan förändring?
Representerar linjen en ökning eller minskning och hur stor är den? Svara med enhet.

Lösning

Vi undersöker en figur i taget.

Figur A

Linjen skär kurvan i en punkt med samma lutning som kurvan och är alltså en tangent. Den representerar därför en momentan förändring.

Eftersom tangentens $k$ -värde är negativt, $\text{-}6.8,$ minskar funktionen med $6.8$ i denna punkt. Enheten får vi genom att dividera $y$ -axelns enhet med $x$ -axelns. Vi har alltså en momentan minskning på $\mathbf{6.8}$ m/s.

Figur B

Linjen skär kurvan i två punkter och är därför en sekant. En sekant representerar en genomsnittlig förändring på ett intervall.

Med hjälp av $k$ -värdet och axlarnas enheter ser vi att sekanten representerar en genomsnittlig minskning på $\mathbf{1.5}$ $^\circ$ C/h.

Figur C

Här är sekantens $k$ -värde positivt, så figuren visar en genomsnittlig ökning på $\mathbf{0.7}$ m/s.

Figur D

Denna tangent representerar en momentan minskning på $\mathbf{0.9}$ $^\circ$ C/h.

Visa lösning

Lutning i en punkt

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Tangent

Exempel

Undersök grafens lutning i punkterna

Punkt $A$

Punkt $B$

Punkt $C$

Punkt $D$

Bestämma en tangents lutning grafiskt

1

2

3

Exempel

Vad är tangentens ekvation?

Hur tolkas sekanters och tangenters lutning?

Tolkning av sekantens lutning

Tolkning av tangentens lutning

Exempel