{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Derivata

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Derivata
Lutning i en punkt

Lutning i en punkt

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Ibland är man inte intresserad av en genomsnittlig förändring på ett intervall, utan snarare av förändringen vid en specifik tidpunkt, t.ex. en bils hastighet i en specifik tidpunkt. Om det man vill studera representeras grafiskt kan man använda tangenter för att bestämma sådana momentana förändringar.
Begrepp

Tangent

En tangent är en rät linje som precis nuddar en kurva i en punkt och har samma lutning som kurvan där. Man säger att linjen tangerar kurvan i en tangeringspunkt.

Man kan därför använda tangenter för att illustrera en kurvas lutning i en viss punkt på grafen.

y=x2y = x^2

y=2xy = 2^x

y=sin⁡(x)y = \sin(x)

Cirkel
Uppgift

Avgör om grafens lutning är positiv, negativ eller 00 i punkterna.

Lösning

För att lösa uppgiften kan vi använda att lutningen i en punkt på en graf motsvaras av lutningen på den tangent som tangerar grafen just där. Vi ritar därför tangenten till grafen i respektive punkt och avgör om den har positiv eller negativ lutning.

Punkt AA

Vi ser att tangenten till grafen i punkt AA har negativ lutning, så grafens lutning i punkten är just negativ.

Punkt BB

Tangenten som tangerar grafen i punkt BB har istället positiv lutning. Grafens lutning där är alltså positiv.

Punkt CC

Här är tangenten horisontell, och har därför varken negativ eller positiv lutning. Tangenten, och därmed grafen i punkt C,C, har alltså lutningen 0.0.

Punkt DD

Grafens lutning i punkt DD är positiv eftersom tangentens lutning är det.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestämma en tangents lutning grafiskt

En tangent är en rät linje, vilket betyder att den kan beskrivas med räta linjens ekvation: y=kx+m. y=kx+m. Att bestämma en tangents lutning är alltså samma sak som att bestämma dess kk-värde. Om man t.ex. ritar en tangent till funktionen ff i figuren där x=4,x=4, kan dess lutning bestämmas med denna metod.

1

Rita tangenten

Använd en linjal för att rita tangenten genom punkten. Den ska precis ska nudda grafen i tangeringspunkten, och linjens lutning ska vara så lik grafens lutning som möjligt i just den punkten.

2

Läs av två punkter på tangenten

För att bestämma tangentens lutning väljer man två punkter på den. Välj i första hand sådana som är lätta att läsa av.

Här väljs punkterna (2,3)(2,3) och (6,5).(6,5). Går det inte att hitta lättavlästa punkter får man göra en ungefärlig avläsning, och välj då gärna punkter som ligger en bit ifrån varandra. Eventuella avläsningsfel får nämligen mindre konsekvenser då.

3

Beräkna lutningen med kk-formeln

Lutningen beräknas genom att man sätter in de två punkterna i kk-formeln.

k=y2−y1x2−x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Sätt in (6,5)\left({\color{#0000FF}{6,5}}\right) & (2,3)\left({\color{#009600}{2,3}}\right)
k=5−36−2k = \dfrac{{\color{#0000FF}{5}}-{\color{#009600}{3}}}{{\color{#0000FF}{6}}-{\color{#009600}{2}}}
Förenkla termer
k=24k=\dfrac{2}{4}
Skriv i decimalform
k=0.5k=0.5

Tangentens lutning är alltså k=0.5.k=0.5.

Uppgift

I koordinatsystemet visas grafen till en funktion f(x).f(x).

Bestäm ekvationen till den tangent som tangerar grafen i punkten (2,1.5).(2,1.5).

Lösning

Vi börjar med att markera punkten (2,1.5)(2,1.5) i grafen. Tangenten kan nu ritas ut och dess lutning bestämmas.

Här använder vi tangeringspunkten (2,1.5)(2,1.5) samt (1.5,0.5).(1.5,0.5). Vi sätter in koordinaterna i kk-formeln.
k=y2−y1x2−x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Sätt in (2,1.5)\left({\color{#0000FF}{2,1.5}}\right) & (1.5,0.5)\left({\color{#009600}{1.5,0.5}}\right)
k=1.5−0.52−1.5k = \dfrac{{\color{#0000FF}{1.5}}-{\color{#009600}{0.5}}}{{\color{#0000FF}{2}}-{\color{#009600}{1.5}}}
Förenkla termer
k=10.5k = \dfrac{1}{0.5}
Beräkna kvot
k=2k = 2
Eftersom tangenten är en rät linje kan den skrivas på kk-form och kk-värdet är 2.2. För att hitta mm-värdet sätter vi in kk-värdet samt ett känt xx- respektive yy-värde, t.ex. från tangeringspunkten (2,1.5),(2,1.5), i räta linjens ekvation och löser ut m.m.
y=kx+my=kx+m
Sätt in värden
1.5=2⋅2+m1.5=2\cdot2+m
Multiplicera faktorer
1.5=4+m1.5=4+m
VL−4=HL−4\text{VL}-4=\text{HL}-4
-2.5=m\text{-}2.5=m
Omarrangera ekvation
m=-2.5m=\text{-}2.5
Tangentens ekvation är alltså y=2x−2.5. y=2x-2.5.
Visa lösning Visa lösning
Förklaring

Hur tolkas sekanters och tangenters lutning?

Både sekanter och tangenter är räta linjer som kan illustrera så kallade förändringshastigheter hos grafer. En förändringshastighet är en tolkning av en lutning utifrån sammanhanget och med en enhet, exempelvis temperaturförändringen i ett varmt och kvavt klassrum mellan kl. 11:00 och 12:00 en dag där fönstret står öppet ett tag.

Både sekanter och tangenter kan beskriva temperaturförändringar i klassrummet, dock på olika sätt.

Förklaring

Tolkning av sekantens lutning

En sekants lutning motsvarar en genomsnittlig förändring på ett intervall. Den kan t.ex. användas för att besvara frågan "Vad var den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i rummet mellan 11:00 och 12:00?" Denna tar bara hänsyn till "startvärdet" och "slutvärdet" för funktionen på intervallet, inte hur den ser ut däremellan.

Den totala ökningen är ca 5∘C5^\circ \text{C} under denna timme, vilket ger den genomsnittliga förändringshastigheten ΔyΔx=560≈0.08∘C/min. \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{60} \approx 0.08 ^\circ \text{C/min}. Sekantens lutning kan alltså tolkas som att den genomsnittliga temperaturförändringen mellan kl 11 och 12 var en ökning med 0.08∘C0.08 ^\circ \text{C}/min.

Förklaring

Tolkning av tangentens lutning

Om man istället vill beskriva en förändring vid en viss tidpunkt använder man en tangents lutning. Den kan exempelvis besvara frågan "Vad var temperaturförändringen per minut i rummet kl. 11:26?" Denna tar bara hänsyn till kurvans lutning just där och inte någon annanstans under timmen.

Med två punker på tangenten kan man bestämma den momentana förändringshastigheten till: ΔyΔx=-1545≈-0.33∘C/min. \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{-} 15}{45} \approx \text{-}0.33^\circ \text{C}\text{/min.}

Tangentens lutning kan alltså tolkas som att den momentana temperaturförändringen kl 11:26 var en minskning med 0.33∘C0.33 ^\circ \text{C}/min. Trots att den genomsnittliga temperaturen ökade var alltså temperaturen på väg ner vid just denna tidpunkt.
Uppgift

Till graferna i figur A-D har räta linjer ritats in.

fyra grafer med tangent eller sekant

Avgör följande för respektive figur:

  • Representerar linjen en genomsnittlig eller momentan förändring?
  • Representerar linjen en ökning eller minskning och hur stor är den? Svara med enhet.
Lösning

Vi undersöker en figur i taget.

Figur A

Linjen skär kurvan i en punkt med samma lutning som kurvan och är alltså en tangent. Den representerar därför en momentan förändring.

graf med tangent

Eftersom tangentens kk-värde är negativt, -6.8,\text{-}6.8, minskar funktionen med 6.86.8 i denna punkt. Enheten får vi genom att dividera yy-axelns enhet med xx-axelns. Vi har alltså en momentan minskning på 6.8\mathbf{6.8} m/s.

Figur B

Linjen skär kurvan i två punkter och är därför en sekant. En sekant representerar en genomsnittlig förändring på ett intervall.

graf med sekant

Med hjälp av kk-värdet och axlarnas enheter ser vi att sekanten representerar en genomsnittlig minskning på 1.5\mathbf{1.5}∘^\circC/h.

Figur C

Här är sekantens kk-värde positivt, så figuren visar en genomsnittlig ökning på 0.7\mathbf{0.7} m/s.

graf med sekant

Figur D

Denna tangent representerar en momentan minskning på 0.9\mathbf{0.9}∘^\circC/h.

graf med tangent


Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av linjerna L1,L_1, L2L_2 och L3L_3 är tangenter till grafen till funktionen f(x)f(x)?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm tangeringspunktens koordinater.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två tangenter till grafen som representerar funktionen f(x)f(x) har ritats.

Bestäm funktionens lutning i punkten

a

(-1,3).(\text{-}1,3).

b

(1,5).(1,5).

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Noora har ritat ut tangenter till graferna i de olika figurerna. Använd dessa för att uppskatta lutningen för f(x)f(x) i tangeringspunkterna. Svara med en decimal.


a


b


c
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En tangent tangerar grafen till funktionen f(x)f(x) i punkten (3,2)(3,2). Bestäm f(x)f(x):s lutning i punkten (3,2)(3,2) om tangents ekvation är

a

y=3x+6.y=3x+6.

b

y=-4.2x−5.5.y=\text{-}4.2x-5.5.

C

y=8−x.y=8-x.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En tangent till en funktion har ekvationen y=-20x+10.y=\text{-}20x+10. Ge ett exempel på hur detta skulle kunna tolkas som en förändringshastighet.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande grafer går alla genom punkten (1,1).(1,1). Bestäm ekvationen för den tangent som tangerar respektive graf i denna punkt.


a


b


c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den ritade funktionen beskriver totala antalet milliliter blod Albert förlorar under de 15 första sekunderna efter att han råkat skära sig i fingret. Efter 33 sekunder har han förlorat 22 ml blod. Använd linjalen för att uppskatta hur snabbt han förlorar blod efter 33 sekunder.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa en kurva som uppfyller följande kriterium:

a

kurvans samtliga tangenter har samma lutning.

b

kurvan har precis två tangenter med lutningen 0.0.

c

kurvans samtliga tangenter har olika positiv lutning.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Said säger att en tangent skär en kurva i precis en punkt. Arne svarar "Aha, jag fattar, så den här röda linjen är en tangent" och visar figuren nedan.

Arnes tolkning stämmer dock inte. Hur kan Said förbättra sin förklaring?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita en linje som både är en sekant och en tangent.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen för tangenten som tangerar kurvan f(x)=x2+2f(x)=x^2+2 i punkten (0,2).(0,2).

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kurvan f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x tangeras av g(x)=2x−4g(x)=2x-4 i punkten A.A. Bestäm denna punkts koordinater.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen beskriver en bils hastighet under de 88 första sekunderna efter att den startat.

Hur stor är bilens acceleration efter 44 sekunder?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till funktionerna f(x)=0.4x2+1.35f(x)=0.4x^2+1.35 och g(x)=0.05x3+0.04x2−0.87x+0.89g(x)=0.05x^3+0.04x^2-0.87x+0.89 tangerar varandra i en punkt på intervallet x≤0.x\leq0. Bestäm lutningen kk i denna punkt givet att tangenten som tangerar graferna där skär yy-axeln i y=-1.1875k.y=\text{-}1.1875k. Digitala verktyg är tillåtna.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}