Lutning i en punkt

För att lösa uppgiften kan vi använda att lutningen i en punkt på en graf motsvaras av lutningen på den tangent som tangerar grafen just där. Vi ritar därför tangenten till grafen i respektive punkt och avgör om den har positiv eller negativ lutning.

Punkt $A$

Vi ser att tangenten till grafen i punkt $A$ har negativ lutning, så grafens lutning i punkten är just negativ.

Punkt $B$

Tangenten som tangerar grafen i punkt $B$ har istället positiv lutning. Grafens lutning där är alltså positiv.

Punkt $C$

Här är tangenten horisontell, och har därför varken negativ eller positiv lutning. Tangenten, och därmed grafen i punkt $C,$ har alltså lutningen $0.$

Punkt $D$

Grafens lutning i punkt $D$ är positiv eftersom tangentens lutning är det.

Vi börjar med att markera punkten $(2,1.5)$ i grafen. Tangenten kan nu ritas ut och dess lutning bestämmas.

Vi undersöker en figur i taget.

Figur A

Linjen skär kurvan i en punkt med samma lutning som kurvan och är alltså en tangent. Den representerar därför en momentan förändring.

Eftersom tangentens $k$-värde är negativt, $\text{-}6.8,$ minskar funktionen med $6.8$ i denna punkt. Enheten får vi genom att dividera $y$-axelns enhet med $x$-axelns. Vi har alltså en momentan minskning på $6.8$ m/s.

Figur B

Linjen skär kurvan i två punkter och är därför en sekant. En sekant representerar en genomsnittlig förändring på ett intervall.

Med hjälp av $k$-värdet och axlarnas enheter ser vi att sekanten representerar en genomsnittlig minskning på $1.5$${}^{\circ }$C/h.

Figur C

Här är sekantens $k$-värde positivt, så figuren visar en genomsnittlig ökning på $0.7$ m/s.

Figur D

Denna tangent representerar en momentan minskning på $0.9$${}^{\circ }$C/h.