Deriveringsregler: Lär dig Använda dem Effektivt

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Derivatan av en term med koefficient
Derivatan av en konstant
Derivatan av en summa

Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. $y (x) = 4 x^{2},$ påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den hänger med under deriveringen.

Härledning

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen

k \cdot f (x) .

Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in

x + h

i funktionen och subtrahera ursprungsformen

k \cdot f (x) .

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k \cdot f ( x + h ) - k \cdot f ( x )}{h} .

Koefficienten

k

kan nu brytas ut i täljaren.

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k \cdot f ( x + h ) - k \cdot f ( x )}{h}

FactorOut

Bryt ut $k$

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k ( f ( x + h ) - f ( x ) )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim (k \cdot \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h})

LimCoToCoMultLim

$x \to a lim (k \cdot f (x)) = k \cdot x \to a lim f (x)$

D (k \cdot f (x)) = k \cdot h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

LimToDerivative

$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)$

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

Koefficienten

k

har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av

f (x)

är

f^{'} (x),

och derivatan av

k \cdot f (x)

är

k \cdot f^{'} (x) .

Exempel

Derivera potensfunktionerna

Derivera följande funktioner.

f (x) = 3 x^{2}

g (x) = 25 x

Ledtråd

a Om en funktion är multiplicerad med en konstant, är derivatan konstanten gånger derivatan av funktionen.

b Om en funktion är multiplicerad med en konstant, är derivatan konstanten gånger derivatan av funktionen.

Lösning

a Vi börjar med

f (x)

som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer

3 : an

bara hänga med.

f (x) = 3 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (3 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 3 \cdot 2 x

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x

Derivatan är

f^{'} (x) = 6 x .

b Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av

x

är

1

blir derivatan av

g (x)

alltså

25 \cdot 1 .

g (x) = 25 x

Derive

Derivera funktion

g^{'} (x) = D (25 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

g^{'} (x) = 25

Derivatan är

g^{'} (x) = 25 .

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid $0 .$ Exempelvis är derivatan av funktionerna $f (x) = 7$ och $g (x) = - 18$ lika med $0 .$

Härledning

D (a) = 0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen

f (x) = a

som

f (x) = a \cdot 1,

och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten

0

är

1 .

f (x) = a \cdot 1

Rewrite

Skriv $1$ som $x^{0}$

f (x) = a \cdot x^{0}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (a \cdot x^{0})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = a \cdot 0 \cdot x^{- 1}

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 0

Alltså är derivatan av

f (x) = a

lika med

0,

oavsett värdet på

a .

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen $f (x) = a$ är en horisontell linje med $k$ -värdet $0,$ dvs. lutningen är $0$ för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan $0$ i alla punkter, dvs. $f^{'} (x) = 0 .$

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. $y (x) = x^{2} + 3 x,$ deriveras varje term för sig.

Härledning

D (f + g) = D (f) + D (g)

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan

f (x) + g (x)

med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan

f (x + h) + g (x + h)

och

f (x) + g (x) :

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h} .

Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar

f^{'} (x)

och ett som motsvarar

g^{'} (x) .

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - f ( x ) - g ( x )}{h}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x ) + g ( x + h ) - g ( x )}{h}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim (\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h})

WriteSumLim

Dela upp gränsvärde

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + h \to 0 lim \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h}

LimToDerivative

$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)$

D (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)

I detta fall är det variabel

x

man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:

D (f + g) = D (f) + D (g) .

Exempel

Derivera polynomfunktionen

Bestäm

f^{'} (3)

för

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2} .

Ledtråd

En summa deriveras term för term.

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (2 x^{3}) - D (15 x^{2}) + D (3^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 15 \cdot 2 x + D (3^{2})

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + D (3^{2})

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Nu kan vi sätta in

x = 3

i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Substitute

$x = 3$

f^{'} (3) = 6 \cdot 3^{2} - 30 \cdot 3

CalcPow

Beräkna potens

f^{'} (3) = 6 \cdot 9 - 30 \cdot 3

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (3) = 54 - 90

SubTerm

Subtrahera term

f^{'} (3) = - 36

f^{'} (3)

blir alltså

- 36 .

Övning

Träna på derivator av polynomfunktioner

Använd deriveringsreglerna för polynomfunktioner för att bestämma den efterfrågade derivatan. Skriv svaret i enklaste form.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Härledning

Ledtråd

Lösning

Härledning

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Grafiskt

Härledning

Ledtråd

Lösning