Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x2,y(x)=4x^2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning

D(kf(x))=kf(x)D(k\cdot f(x))=k\cdot f'(x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen kf(x).k \cdot f(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+hx+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen kf(x).k\cdot f(x). D(kf(x))=limh0kf(x+h)kf(x)h. D(k\cdot f(x)) = \lim_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}. Koefficienten kk kan nu brytas ut i täljaren.

D(kf(x))=limh0kf(x+h)kf(x)hD(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}
D(kf(x))=limh0k(f(x+h)f(x))hD(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k(f(x+h)-f(x))}{h}
D(kf(x))=limh0(kf(x+h)f(x)h)D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\left(k\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)
D(kf(x))=klimh0f(x+h)f(x)hD(k\cdot f(x)) = k\cdot \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
D(kf(x))=kf(x)D(k\cdot f(x)) = k\cdot f'(x)

Koefficienten kk har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x)f(x) är f(x),f'(x), och derivatan av kf(x)k\cdot f(x) är kf(x).k\cdot f'(x).

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}