MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
2. Generella deriveringsregler
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 3
2. 

Generella deriveringsregler

Deriveringsregler är grundläggande verktyg inom matematiken, särskilt när det gäller att lösa problem med derivatan av funktioner. Dessa regler ger oss metoder för att bestämma derivatan av en funktion, vilket är en central del av kalkylen. Det finns flera generella deriveringsregler som gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras, till exempel potens-, exponential- eller polynomfunktioner. Dessa regler inkluderar regeln för derivatan av en konstant, regeln för derivatan av en summa, och regeln för derivatan av en funktion med en koefficient. Att förstå och kunna tillämpa dessa regler är en viktig del av matematikundervisningen.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Generella deriveringsregler
Sida av 6
Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.
Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning
För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in i funktionen och subtrahera ursprungsformen
Koefficienten kan nu brytas ut i täljaren.
FactorOut

Bryt ut

MovePartNumLeft

LimCoToCoMultLim

LimToDerivative

Koefficienten har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av är och derivatan av är

Exempel

Derivera potensfunktionerna

 fullscreen
Derivera
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer :an bara hänga med.
Derive

Derivera funktion

DeriveMonomCo

Multiply

Multiplicera faktorer

Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av är blir derivatan av alltså
Derive

Derivera funktion

DeriveXCo

Derivatorna är och
Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid Exempelvis är derivatan av funktionerna och lika med

Härledning

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen som
och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten är
Rewrite

Skriv som

Derive

Derivera funktion

DeriveMonomCo

Multiply

Multiplicera faktorer

Alltså är derivatan av lika med oavsett värdet på

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen är en horisontell linje med -värdet dvs. lutningen är för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan i alla punkter, dvs.

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. deriveras varje term för sig.

Härledning
Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan
med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan och :
Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar och ett som motsvarar
RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

RearrangeTerms

Omarrangera termer

WriteSumFrac

Dela upp bråk

WriteSumLim

Dela upp gränsvärde

LimToDerivative

I detta fall är det variabel man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:


Exempel

Derivera polynomfunktionen

 fullscreen
Bestäm för
Visa Lösning expand_more

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

Derive

Derivera funktion

DeriveMonomCo

Multiply

Multiplicera faktorer

DeriveConst

Nu kan vi sätta in i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

Substitute

CalcPow

Beräkna potens

Multiply

Multiplicera faktorer

SubTerm

Subtrahera term

blir alltså


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Generella deriveringsregler
Uppgift 2.1

Derivera funktionen.

Vi börjar med att skriva om funktionen som en summa som vi kan derivera med deriveringsregeln för en summa, dvs. term för term.



Även här börjar vi med att skriva om funktionsuttrycket som en summa, denna gång med andra kvadreringsregeln.



Vi tänker på samma sätt här, och använder exempelvis konjugatregeln för att förenkla uttrycket.


Derivera funktionen.

Vi kan flytta ner t^2 i täljaren till höger om bråket och därefter använda deriveringsregeln för en term med en koefficient.



Vi plockar ner täljaren z^4 och sätter det som en faktor till bråket 18 och deriverar sedan.



Vi skriver om funktionen så att vi kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner.



Vi fortsätter på samma sätt och skriver först om funktionen innan vi deriverar.


Bestäm för funktionen
Svara med två decimalers noggrannhet.

För att kunna derivera behöver vi först skriva om rotuttrycken som potenser enligt regeln sqrt(a)=a^(.1 /b.). Kom ihåg att sqrt(a) kan skrivas som sqrt(a): f(x)=3x^(.1 /2.)+2x^(.1 /3.)+4 Nu deriverar vi.


Vi sätter in x=3 i derivatan och beräknar f'(3).

För bestäm det eller de -värden där derivatan är

Vi ska ta reda på var derivatan är lika med 5, så vi börjar med att derivera funktionen.


Derivatan ska vara lika med 5. Det betyder att vi ska lösa ekvationen g'(x)=5. Detta ger oss en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln. Kom ihåg att ekvationer måste stå på pq-form för att kunna lösas med pq-formeln.


Ekvationens lösningar är x=-3 och x=7. Derivatan är alltså 5 för dessa x-värden.

I slutet på -talet började matematikerna Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz utveckla den matematiska analysen, däribland derivata. Det pågick en dispyt mellan dessa herrar om vem som faktiskt var först med att formulera denna matematik, bl.a. anklagades Leibniz för att ha kommit på nya notationer för sådant som egentligen var Newtons idéer. Konflikten pågick långt efter att de avlidit men ståndpunkten idag är att båda utvecklade den matematiska analysen, oberoende av varandra. Leibniz kom bl.a. på följande notation för derivata:
Detta skrivsätt är användbart när det finns en tvetydighet i vad man ska derivera med avseende på. För betyder t.ex. "derivatan av med avseende på " vilket innebär att alla okända utom ska behandlas som konstanter. Bestäm nu, baserat på detta, följande derivata för

Uttrycket dydx betyder att vi ska derivera funktionen y med avseende på x. Alla termer som inte innehåller x ska då behandlas som konstanter. Även om u^2 och v inte är tal deriveras de alltså som om de vore det.



Nu deriverar vi med avseende på u vilket innebär att x^3 och v betraktas som konstanter.



Nu deriverar vi slutligen med avseende på v vilket innebär att x^3 och u^2 betraktas som konstanter.


Funktionerna och definieras på följande sätt.
För vilka -värden är och lika?
Ange derivatan i det -värde av de två i föregående deluppgift där den är som störst.

Vi ska undersöka för vilket x som derivatorna är lika. Därför börjar vi med att derivera båda funktioner.


Vi bestämmer även g'(x).

Nu har vi uttryck för båda derivator. Eftersom de ska vara lika ställer vi upp ekvationen f'(x)=g'(x). Det ger oss en andragradsekvation.


Den här ekvationen kan vi lösa med pq-formeln.


Funktionernas derivata är lika när x=-2 och x=8.


Vi behöver först beräkna derivatan för x-värdena för att kunna avgöra vilken av dem som är störst. Vi sätter därför in dessa i antingen f'(x) eller g'(x). Vi väljer g'(x).


När x är -2 är derivatan -5 för båda funktioner. Nu beräknar vi derivatan för x=8.

När x är 8 är derivatan 215 för båda funktioner. Derivatan 215 är uppenbarligen större än -5, vilket då blir vårt svar.

Generella deriveringsregler

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.