Generella deriveringsregler

Vi börjar med att skriva om funktionen som en summa som vi kan derivera med deriveringsregeln för en summa, dvs. term för term.

Även här börjar vi med att skriva om funktionsuttrycket som en summa, denna gång med andra kvadreringsregeln.

Vi tänker på samma sätt här, och använder exempelvis konjugatregeln för att förenkla uttrycket.

Vi kan flytta ner t^2 i täljaren till höger om bråket och därefter använda deriveringsregeln för en term med en koefficient.

Vi plockar ner täljaren z^4 och sätter det som en faktor till bråket 18 och deriverar sedan.

Vi skriver om funktionen så att vi kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner.

Vi fortsätter på samma sätt och skriver först om funktionen innan vi deriverar.

För att kunna derivera behöver vi först skriva om rotuttrycken som potenser enligt regeln sqrt(a)=a^(.1 /b.). Kom ihåg att sqrt(a) kan skrivas som sqrt(a): f(x)=3x^(.1 /2.)+2x^(.1 /3.)+4 Nu deriverar vi.

Vi sätter in x=3 i derivatan och beräknar f'(3).

Vi ska ta reda på var derivatan är lika med 5, så vi börjar med att derivera funktionen.

Derivatan ska vara lika med 5. Det betyder att vi ska lösa ekvationen g'(x)=5. Detta ger oss en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln. Kom ihåg att ekvationer måste stå på pq-form för att kunna lösas med pq-formeln.

Ekvationens lösningar är x=-3 och x=7. Derivatan är alltså 5 för dessa x-värden.

Uttrycket dydx betyder att vi ska derivera funktionen y med avseende på x. Alla termer som inte innehåller x ska då behandlas som konstanter. Även om u^2 och v inte är tal deriveras de alltså som om de vore det.

Nu deriverar vi med avseende på u vilket innebär att x^3 och v betraktas som konstanter.

Nu deriverar vi slutligen med avseende på v vilket innebär att x^3 och u^2 betraktas som konstanter.

Vi ska undersöka för vilket x som derivatorna är lika. Därför börjar vi med att derivera båda funktioner.

Vi bestämmer även g'(x).

Nu har vi uttryck för båda derivator. Eftersom de ska vara lika ställer vi upp ekvationen f'(x)=g'(x). Det ger oss en andragradsekvation.

Den här ekvationen kan vi lösa med pq-formeln.

Funktionernas derivata är lika när x=-2 och x=8.

Vi behöver först beräkna derivatan för x-värdena för att kunna avgöra vilken av dem som är störst. Vi sätter därför in dessa i antingen f'(x) eller g'(x). Vi väljer g'(x).

När x är -2 är derivatan -5 för båda funktioner. Nu beräknar vi derivatan för x=8.

När x är 8 är derivatan 215 för båda funktioner. Derivatan 215 är uppenbarligen större än -5, vilket då blir vårt svar.