Generella deriveringsregler

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.

Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. $y(x)=4x^2,$ påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning
$D(k\cdot f(x))=k\cdot f'(x)$

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen $k \cdot f(x).$ Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in $x+h$ i funktionen och subtrahera ursprungsformen $k\cdot f(x).$ $D(k\cdot f(x)) = \lim_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}.$ Koefficienten $k$ kan nu brytas ut i täljaren.

D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}

Bryt ut

k

D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k(f(x+h)-f(x))}{h}

\dfrac{a\cdot b}{c}=a\cdot\dfrac{b}{c}

D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\left(k\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)

\lim\limits_{x \to a}\left( k \cdot f(x) \right) = k \cdot \lim\limits_{x \to a}f(x)

D(k\cdot f(x)) = k\cdot \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= f'(x)

D(k\cdot f(x)) = k\cdot f'(x)

Koefficienten $k$ har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av $f(x)$ är $f'(x),$ och derivatan av $k\cdot f(x)$ är $k\cdot f'(x).$

Derivera potensfunktionerna

Uppgift

Derivera $f(x)=3x^2 \quad \text{och} \quad g(x)=25x.$

Lösning

Vi börjar med

f(x)

som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer

3

:an bara hänga med.

f(x)=3x^2

Derivera funktion

f'(x)=D\left(3x^2\right)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=3\cdot 2x

Multiplicera faktorer

f'(x)=6x

Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av

x

är

1

blir derivatan av

g(x)

alltså

25 \cdot 1.

g(x)=25x

Derivera funktion

g'(x)=D(25x)

D\left(ax\right) = a

g'(x)=25

Derivatorna är

f'(x)=6x

och

g'(x)=25.

Visa lösning

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid $0.$ Exempelvis är derivatan av funktionerna $f(x)=7$ och $g(x)=\text{-}18$ lika med $0.$

Härledning
$D(a)=0$

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen $f(x)=a$ som $f(x)=a\cdot 1,$ och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten $0$ är $1.$

f(x)=a \cdot 1

Skriv

1

som

x^0

f(x)=a \cdot x^0

Derivera funktion

f'(x)=D\left(a \cdot x^0\right)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=a \cdot 0\cdot x^{\text{-}1}

Multiplicera faktorer

f'(x)=0

Alltså är derivatan av $f(x)=a$ lika med $0,$ oavsett värdet på $a.$

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition,

f'(x) = \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h},

för att visa att derivatan av en konstant är

0.

Eftersom

f(x)=a

inte innehåller någon variabel blir även

f(x+h)=a.

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

f(x+h)={\color{#0000FF}{a}}

,

f(x)={\color{#009600}{a}}

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a}}-{\color{#009600}{a}}}{h}

Förenkla termer

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{0}{h}

Beräkna kvot

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} 0

\displaystyle{\lim_{x\to a}}\ C = C

f'(x) = 0

Även på detta sätt ser man att $f'(x)=0.$

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen $f(x)=a$ är en horisontell linje med $k$ -värdet $0,$ dvs. lutningen är $0$ för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan $0$ i alla punkter, dvs. $f'(x)=0.$

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. $y(x)=x^2+3x,$ deriveras varje term för sig.

Härledning
$D(f+g)=D(f)+D(g)$

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan

f(x)+g(x)

med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan

f(x+h)+g(x+h)

och

f(x)+g(x)

:

\footnotesize{D(f(x)+g(x))=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}.}

Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar

f'(x)

och ett som motsvarar

g'(x).

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}

Ta bort parentes & byt tecken

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}

Omarrangera termer

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}

Dela upp bråk

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)

Dela upp gränsvärde

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}

\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= f'(x)

D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)

I detta fall är det variabel $x$ man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: $D(f+g)=D(f)+D(g).$

Derivera polynomfunktionen

Uppgift

Bestäm $f'(3)$ för $f(x)=2x^3-15x^2+3^2.$

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f(x)=2x^3-15x^2+3^2

Derivera funktion

f'(x)=D\left(2x^3\right)-D\left(15x^2\right)+D\left(3^2\right)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=2\cdot 3x^2-15\cdot2 x+D\left(3^2\right)

Multiplicera faktorer

f'(x)=6x^2-30x+D\left(3^2\right)

D(a) = 0

f'(x)=6x^2-30x

Nu kan vi sätta in $x=3$ i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f'(x)=6x^2-30x

x={\color{#0000FF}{3}}

f'({\color{#0000FF}{3}})=6\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-30\cdot{\color{#0000FF}{3}}

Beräkna potens

f'(3)=6\cdot9-30\cdot3

Multiplicera faktorer

f'(3)=54-90

Förenkla termer

f'(3)=\text{-}36

$f'(3)$ blir alltså $\text{-}36.$

Visa lösning

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Generella deriveringsregler

Derivatan av en term med koefficient

Härledning

Exempel

Derivera potensfunktionerna

Derivatan av en konstant

Härledning

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Derivatans definition

Grafiskt

Derivatan av en summa

Härledning

Exempel

Derivera polynomfunktionen