Logga in
| 7 sidor teori |
| 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Nämn en vinkel med hörn Q som verkar spetsig.
∠4
Spetsiga vinklar har mått mellan 0∘ och 90∘.
För att namnge en vinkel med sitt vertex vid Q, måste vi först lokalisera den punkten i figuren.
Spetsiga vinklar har mått mindre än 90∘. Den enda som ser ut att passa den beskrivningen vid vertex Q är ∠4.
Derivatan av en konstant är alltid 0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7 och g(x)=−18 lika med 0.
Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.
Skriv 1 som x0
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
Multiplicera faktorer
Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=a är en horisontell linje med k-värdet 0, dvs. lutningen är 0 för alla punkter längs linjen.
Därför är derivatan 0 i alla punkter, dvs. f′(x)=0.
När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x, deriveras varje term för sig.
Ta bort parentes & byt tecken
Omarrangera termer
Dela upp bråk
Dela upp gränsvärde
h→0limhf(x+h)−f(x)=f′(x)
En summa deriveras term för term.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
Multiplicera faktorer
D(a)=0
x=3
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Subtrahera term
Använd deriveringsreglerna för polynomfunktioner för att bestämma den efterfrågade derivatan. Skriv svaret i enklaste form.
Bestäm derivatan till funktionen.
Derivatan av en summa bestämmer vi genom att derivera term för term.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift.
Samma sak igen.
Derivera funktionen.
Vi deriverar term för term.
Vi deriverar term för term igen.
Vi fortsätter på samma sätt som tidigare.
Vi gör samma sak igen.
Derivera funktionen.
Vi deriverar term för term.
Vi deriverar term för term igen.
Vi fortsätter på samma sätt som tidigare.
Vi gör samma sak igen.
Bestäm f′(x) för funktionen.
Vi bestämmer f'(x) genom att derivera varje term för sig.
Vi deriverar term för term ännu en gång.
Vi deriverar med avseende på x vilket betyder att allting annat är konstanter. pi är alltså en konstant, och derivatan av en konstant är 0.
Utgå från funktionen i figuren.
Resonera dig fram till derivatans värde för x-värdet.
Funktionen är en horisontell linje. En sådan saknar lutning, dvs. har k-värdet 0, och eftersom derivata beskriver en funktions lutning i en punkt måste f'(x)=0 i x=2.
Med samma resonemang som tidigare kan vi konstatera att derivatan i punkten där x=-3 också är 0.
Derivera funktionen.
Vi deriverar summan term för term. Och genom att skriva bråken på formen a/b * x^n kan vi använda deriveringsregeln för termer med koefficienter.
Vi gör samma sak igen. Notera att sista termen är en konstant, och alltså blir 0 när den deriveras.
Regeln för att derivera en polynomfunktion med en koefficient är D(ax^n) = a* nx^(n-1). Vi deriverar enligt regeln och jämför sedan med Ragnars resultat.
Funktionens derivata är alltså f'(x)=- 6x^(- 4). Vi kan se att Ragnar har multiplicerat exponenten med koefficienten korrekt. Dock har han ökat exponenten med 1, istället för att minska den som man ska göra. Ragnar vet säkert att 2 är 1 mindre än 3 och har sannolikt trott att -2 är 1 mindre än - 3. Men när det gäller negativa tal är dessa mindre ju mer negativa de är, så det är alltså - 4 som är 1 mindre än - 3.
Vi börjar med att derivera. 5 är en koefficient så den påverkas inte av deriveringen.
Nu sätter vi in x=3 i derivatan.
Vi gör på samma sätt och börjar med att derivera och sätter sedan in z=9 i derivatan.
Vi gör samma sak igen.
För att kunna bestämma för vilket t som derivatan är 12 måste vi först derivera funktionen. Detta görs term för term.
Vi sätter nu derivatan lika med 12 och löser ut t.
Derivatan för s(t) är alltså 12 då t=1.
Bestäm det värde på x där derivatan till f(x)=x2+5x är lika med derivatan till g(x)=−5x2+14x.
Genom att likställa funktionernas derivator kan vi bestämma för vilka x som funktionernas lutning är lika.
f(x) har derivatan f'(x)=2x+5.
g(x) har derivatan g'(x)=- 10x+14.
Nu likställer vi derivatorna och löser ut x.
Derivatorna är lika när x=0,75.