Generella deriveringsregler

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.

Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. $y (x) = 4 x^{2},$ påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen $k \cdot f (x) .$ Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in $x + h$ i funktionen och subtrahera ursprungsformen $k \cdot f (x) .$ $D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k \cdot f ( x + h ) - k \cdot f ( x )}{h} .$ Koefficienten $k$ kan nu brytas ut i täljaren.

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k \cdot f ( x + h ) - k \cdot f ( x )}{h}

FactorOutBryt ut

k

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k ( f ( x + h ) - f ( x ) )}{h}

MovePartNumLeft

\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim (k \cdot \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h})

LimCoToCoMultLim

x \to a lim (k \cdot f (x)) = k \cdot x \to a lim f (x)

D (k \cdot f (x)) = k \cdot h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

LimToDerivative

h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

Koefficienten $k$ har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av $f (x)$ är $f^{'} (x),$ och derivatan av $k \cdot f (x)$ är $k \cdot f^{'} (x) .$

Derivera potensfunktionerna

fullscreen

Uppgift

Derivera $f (x) = 3 x^{2} och g (x) = 25 x .$

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med

f (x)

som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer

3

:an bara hänga med.

f (x) = 3 x^{2}

DeriveDerivera funktion

f^{'} (x) = D (3 x^{2})

DeriveMonomCo

D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}

f^{'} (x) = 3 \cdot 2 x

MultiplyMultiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x

Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av

x

är

1

blir derivatan av

g (x)

alltså

25 \cdot 1 .

g (x) = 25 x

DeriveDerivera funktion

g^{'} (x) = D (25 x)

DeriveXCo

D (a x) = a

g^{'} (x) = 25

Derivatorna är

f^{'} (x) = 6 x

och

g^{'} (x) = 25 .

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid $0 .$ Exempelvis är derivatan av funktionerna $f (x) = 7$ och $g (x) = - 18$ lika med $0 .$

Härledning

D (a) = 0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen $f (x) = a$ som $f (x) = a \cdot 1,$ och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten $0$ är $1 .$

f (x) = a \cdot 1

RewriteSkriv

1

som

x^{0}

f (x) = a \cdot x^{0}

DeriveDerivera funktion

f^{'} (x) = D (a \cdot x^{0})

DeriveMonomCo

D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}

f^{'} (x) = a \cdot 0 \cdot x^{- 1}

MultiplyMultiplicera faktorer

f^{'} (x) = 0

Alltså är derivatan av $f (x) = a$ lika med $0,$ oavsett värdet på $a .$

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition,

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h},

för att visa att derivatan av en konstant är

0 .

Eftersom

f (x) = a

inte innehåller någon variabel blir även

f (x + h) = a .

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteII

f (x + h) = a

,

f (x) = a

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{a - a}{h}

SimpTermsFörenkla termer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{0}{h}

CalcQuotBeräkna kvot

f^{'} (x) = h \to 0 lim 0

LimConst

x \to a lim C = C

f^{'} (x) = 0

Även på detta sätt ser man att $f^{'} (x) = 0 .$

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen $f (x) = a$ är en horisontell linje med $k$ -värdet $0,$ dvs. lutningen är $0$ för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan $0$ i alla punkter, dvs. $f^{'} (x) = 0 .$

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. $y (x) = x^{2} + 3 x,$ deriveras varje term för sig.

Härledning

D (f + g) = D (f) + D (g)

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan

f (x) + g (x)

med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan

f (x + h) + g (x + h)

och

f (x) + g (x)

:

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h} .

Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar

f^{'} (x)

och ett som motsvarar

g^{'} (x) .

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h}

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - f ( x ) - g ( x )}{h}

RearrangeTermsOmarrangera termer

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x ) + g ( x + h ) - g ( x )}{h}

WriteSumFracDela upp bråk

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim (\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h})

WriteSumLimDela upp gränsvärde

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + h \to 0 lim \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h}

LimToDerivative

h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)

D (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)

I detta fall är det variabel $x$ man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: $D (f + g) = D (f) + D (g) .$

Derivera polynomfunktionen

fullscreen

Uppgift

Bestäm $f^{'} (3)$ för $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2} .$

Visa Lösning

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2}

DeriveDerivera funktion

f^{'} (x) = D (2 x^{3}) - D (15 x^{2}) + D (3^{2})

DeriveMonomCo

D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}

f^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 15 \cdot 2 x + D (3^{2})

MultiplyMultiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + D (3^{2})

DeriveConst

D (a) = 0

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Nu kan vi sätta in $x = 3$ i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Substitute

x = 3

f^{'} (3) = 6 \cdot 3^{2} - 30 \cdot 3

CalcPowBeräkna potens

f^{'} (3) = 6 \cdot 9 - 30 \cdot 3

MultiplyMultiplicera faktorer

f^{'} (3) = 54 - 90

SubTermFörenkla termer

f^{'} (3) = - 36

$f^{'} (3)$ blir alltså $- 36 .$