Generella deriveringsregler

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.

Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. $y(x)=4x^2,$ påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning

D(k\cdot f(x))=k\cdot f'(x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen $k \cdot f(x).$ Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in $x+h$ i funktionen och subtrahera ursprungsformen $k\cdot f(x).$ $D(k\cdot f(x)) = \lim_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}.$ Koefficienten $k$ kan nu brytas ut i täljaren.

D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}

FactorOutBryt ut

k

D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k(f(x+h)-f(x))}{h}

MovePartNumLeft

\dfrac{a\cdot b}{c}=a\cdot\dfrac{b}{c}

D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\left(k\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)

LimCoToCoMultLim

\lim\limits_{x \to a}\left( k \cdot f(x) \right) = k \cdot \lim\limits_{x \to a}f(x)

D(k\cdot f(x)) = k\cdot \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

LimToDerivative

\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= f'(x)

D(k\cdot f(x)) = k\cdot f'(x)

Koefficienten $k$ har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av $f(x)$ är $f'(x),$ och derivatan av $k\cdot f(x)$ är $k\cdot f'(x).$

Derivera potensfunktionerna

fullscreen

Uppgift

Derivera $f(x)=3x^2 \quad \text{och} \quad g(x)=25x.$

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med

f(x)

som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer

3

:an bara hänga med.

f(x)=3x^2

DeriveDerivera funktion

f'(x)=D\left(3x^2\right)

DeriveMonomCo

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=3\cdot 2x

MultiplyMultiplicera faktorer

f'(x)=6x

Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av

x

är

1

blir derivatan av

g(x)

alltså

25 \cdot 1.

g(x)=25x

DeriveDerivera funktion

g'(x)=D(25x)

DeriveXCo

D\left(ax\right) = a

g'(x)=25

Derivatorna är

f'(x)=6x

och

g'(x)=25.

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid $0.$ Exempelvis är derivatan av funktionerna $f(x)=7$ och $g(x)=\text{-}18$ lika med $0.$

Härledning

D(a)=0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen $f(x)=a$ som $f(x)=a\cdot 1,$ och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten $0$ är $1.$

f(x)=a \cdot 1

RewriteSkriv

1

som

x^0

f(x)=a \cdot x^0

DeriveDerivera funktion

f'(x)=D\left(a \cdot x^0\right)

DeriveMonomCo

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=a \cdot 0\cdot x^{\text{-}1}

MultiplyMultiplicera faktorer

f'(x)=0

Alltså är derivatan av $f(x)=a$ lika med $0,$ oavsett värdet på $a.$

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition,

f'(x) = \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h},

för att visa att derivatan av en konstant är

0.

Eftersom

f(x)=a

inte innehåller någon variabel blir även

f(x+h)=a.

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

SubstituteII

f(x+h)={\color{#0000FF}{a}}

,

f(x)={\color{#009600}{a}}

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a}}-{\color{#009600}{a}}}{h}

SimpTermsFörenkla termer

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{0}{h}

CalcQuotBeräkna kvot

f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} 0

LimConst

\displaystyle{\lim_{x\to a}}\ C = C

f'(x) = 0

Även på detta sätt ser man att $f'(x)=0.$

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen $f(x)=a$ är en horisontell linje med $k$ -värdet $0,$ dvs. lutningen är $0$ för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan $0$ i alla punkter, dvs. $f'(x)=0.$

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. $y(x)=x^2+3x,$ deriveras varje term för sig.

Härledning

D(f+g)=D(f)+D(g)

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan

f(x)+g(x)

med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan

f(x+h)+g(x+h)

och

f(x)+g(x)

:

\footnotesize{D(f(x)+g(x))=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}.}

Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar

f'(x)

och ett som motsvarar

g'(x).

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}

RearrangeTermsOmarrangera termer

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}

WriteSumFracDela upp bråk

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)

WriteSumLimDela upp gränsvärde

D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}

LimToDerivative

\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= f'(x)

D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)

I detta fall är det variabel $x$ man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: $D(f+g)=D(f)+D(g).$

Derivera polynomfunktionen

fullscreen

Uppgift

Bestäm $f'(3)$ för $f(x)=2x^3-15x^2+3^2.$

Visa Lösning

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f(x)=2x^3-15x^2+3^2

DeriveDerivera funktion

f'(x)=D\left(2x^3\right)-D\left(15x^2\right)+D\left(3^2\right)

DeriveMonomCo

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=2\cdot 3x^2-15\cdot2 x+D\left(3^2\right)

MultiplyMultiplicera faktorer

f'(x)=6x^2-30x+D\left(3^2\right)

DeriveConst

D(a) = 0

f'(x)=6x^2-30x

Nu kan vi sätta in $x=3$ i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f'(x)=6x^2-30x

Substitute

x={\color{#0000FF}{3}}

f'({\color{#0000FF}{3}})=6\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-30\cdot{\color{#0000FF}{3}}

CalcPowBeräkna potens

f'(3)=6\cdot9-30\cdot3

MultiplyMultiplicera faktorer

f'(3)=54-90

SubTermFörenkla termer

f'(3)=\text{-}36

$f'(3)$ blir alltså $\text{-}36.$