När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.
För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen k⋅f(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen k⋅f(x). D(k⋅f(x))=h→0limhk⋅f(x+h)−k⋅f(x). Koefficienten k kan nu brytas ut i täljaren.
Koefficienten k har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x) är f′(x), och derivatan av k⋅f(x) är k⋅f′(x).
Derivera f(x)=3x2ochg(x)=25x.
Derivatan av en konstant är alltid 0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7 och g(x)=-18 lika med 0.
Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.
Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=a som f(x)=a⋅1, och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 0 är 1.
Alltså är derivatan av f(x)=a lika med 0, oavsett värdet på a.
Även på detta sätt ser man att f′(x)=0.
Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=a är en horisontell linje med k-värdet 0, dvs. lutningen är 0 för alla punkter längs linjen.
Därför är derivatan 0 i alla punkter, dvs. f′(x)=0.
När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x, deriveras varje term för sig.
I detta fall är det variabel x man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: D(f+g)=D(f)+D(g).
Bestäm f′(3) för f(x)=2x3−15x2+32.
Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.
Nu kan vi sätta in x=3 i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.
f′(3) blir alltså -36.