{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Regler för derivator

Generella deriveringsregler

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.

Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen kf(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen kf(x).
Koefficienten k kan nu brytas ut i täljaren.

Koefficienten k har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x) är och derivatan av kf(x) är

Exempel

Derivera potensfunktionerna

fullscreen
Derivera
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med f(x) som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer 3:an bara hänga med.
f(x)=3x2
Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av x är 1 blir derivatan av g(x) alltså 251.
g(x)=25x
Derivatorna är och

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid 0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7 och g(x)=-18 lika med 0.

Härledning

D(a)=0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=a som
f(x)=a1,
och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 0 är 1.
f(x)=a1
f(x)=ax0

Alltså är derivatan av f(x)=a lika med 0, oavsett värdet på a.

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=a är en horisontell linje med k-värdet 0, dvs. lutningen är 0 för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan 0 i alla punkter, dvs.

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x, deriveras varje term för sig.

Härledning

D(f+g)=D(f)+D(g)
Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan
f(x)+g(x)
med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan f(x+h)+g(x+h) och f(x)+g(x):
Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar och ett som motsvarar
I detta fall är det variabel x man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:
D(f+g)=D(f)+D(g).


Exempel

Derivera polynomfunktionen

fullscreen
Bestäm för
f(x)=2x315x2+32.
Visa Lösning expand_more

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f(x)=2x315x2+32

Nu kan vi sätta in x=3 i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

blir alltså -36.

arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community