Generella deriveringsregler

Bestäm derivatan för följande funktioner.

$y(x)=5x-4$

$h(x)=7x^2-x+8$

$g(x)=2x^3+6x^2+10$

Derivera följande funktioner.

$f(x)=3x^4+7x^2-15$

$g(x)=8x^5-6x^3+x+2$

$h(x)=7x^{11}-x^9-5x^2-13$

$p(x)=3x^8+9x^7-4x^3+6$

Derivera följande funktioner.

$f(x)=12x^6+x^3+55$

$g(x)=\text{-}40x^2+167x-0.5$

$h(x)=8x^{100}+40x^5-0.7x^4$

$p(x)=4x^{25}-0.2x^{20}+8x^8-\pi$

Bestäm $f'(x)$ för följande funktioner.

$f(x)=3x^2+\dfrac{3}{4}x^4+3$

$f(x)=7x^6+\dfrac{1}{15}x^5+\dfrac{3}{5}$

$f(x)=\pi$

Utgå från funktionen i figuren.

Resonera dig fram till derivatans värde för följande $x$-värden.

$x=2$

$x=\text{-}3$

Derivera följande funktioner.

$f(x)=\dfrac{2x^4}{5}+\dfrac{6x^2}{5}+\dfrac{x}{2}$

$g(x)=\dfrac{x^3}{5}+\dfrac{2x^2}{5}+\dfrac{5}{2}$

Ragnar har deriverat funktionen $f(x)=2x^{\text{-} 3}$ och fått resultatet $f'(x)=\text{-} 6x^{\text{-} 2}.$ Tyvärr har Ragnar gjort fel. Vilket fel har han gjort och hur kan han ha tänkt?

Bestäm $f'(3)$ för $f(x)=5x^3.$

Bestäm $g'(9)$ för $g(z)=2z^2.$

Bestäm $p'(6)$ för $p(s)=\text{-}3 s^3.$

För vilket $t$ har funktionen $s(t)=3t^4-9$ derivatan $12?$

Bestäm det värde på $x$ där derivatan till $f(x)=x^2+5x$ är lika med derivatan till $g(x)=\text{-} 5x^2+14x.$

Derivera följande funktioner.

$f(r)=5r\left(2r^2-8r\right)$

$g(s)=(3s-1)^2$

$h(t)=\left(2t^3+7t\right)\left(2t^3-7t\right)-t$

Derivera följande funktioner.

$h(t)=\dfrac{9.82t^2}{2}$

$p(z)=\dfrac{z^4}{8}-41z$

$f(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{5x}{2}$

Bestäm $f'(3)$ för funktionen $f(x)=3\sqrt{x}+2\sqrt[3]{x}+4.$ Svara med två decimalers noggrannhet.

För $g(x)=\dfrac{5}{3}\cdot x^3-10x^2-100x+68,$ bestäm det eller de $x$-värden där derivatan är $5.$

I slutet på $1600$-talet började matematikerna Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz utveckla den matematiska analysen, däribland derivata. Det pågick en dispyt mellan dessa herrar om vem som faktiskt var först med att formulera denna matematik, bl.a. anklagades Leibniz för att ha kommit på nya notationer för sådant som egentligen var Newtons idéer. Konflikten pågick långt efter att de avlidit men ståndpunkten idag är att båda utvecklade den matematiska analysen, oberoende av varandra. Leibniz kom bl.a. på följande notation för derivata: $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.$ Detta skrivsätt är användbart när det finns en tvetydighet i vad man ska derivera med avseende på. För $y=ax+b$ betyder t.ex. $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ "derivatan av $y$ med avseende på $x,$" vilket innebär att alla okända utom $x$ ska behandlas som konstanter. Bestäm nu, baserat på detta, följande derivator för $y=x^3+u^2+v.$

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}u}$

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}v}$

Funktionerna $f(x)$ och $g(x)$ definieras på följande sätt. $\begin{aligned} f(x)&=x^3+2x^2-9x+7\\[0.25em] g(x)&=\dfrac{2x^3}{3}+5x^2+7x-21 \end{aligned}$

För vilka $x$-värden är $f'(x)$ och $g'(x)$ lika?

Vad är derivatan i dessa $x$-värden?

Visa att $f'(x) \geq 0$ för alla $x$ om $f(x) = Ax^5 + Bx^3$ och $A$ och $B$ är positiva konstanter.

För en andragradsfunktion $p(x)$ gäller att $p(0)=5, \ \ p'(2)=3 \ \ \text{och} \ \ p'(\text{-}3)=23.$ Bestäm $p(x).$

Låt $p(x)=f(x)+g(x).$ Visa med derivatans definition att man kan derivera summan term för term, dvs. $p'(x)=f'(x)+g'(x).$