Generella deriveringsregler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.
Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x2,y(x)=4x^2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning

D(kf(x))=kf(x)D(k\cdot f(x))=k\cdot f'(x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen kf(x).k \cdot f(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+hx+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen kf(x).k\cdot f(x). D(kf(x))=limh0kf(x+h)kf(x)h. D(k\cdot f(x)) = \lim_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}. Koefficienten kk kan nu brytas ut i täljaren.

D(kf(x))=limh0kf(x+h)kf(x)hD(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}
D(kf(x))=limh0k(f(x+h)f(x))hD(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k(f(x+h)-f(x))}{h}
D(kf(x))=limh0(kf(x+h)f(x)h)D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\left(k\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)
D(kf(x))=klimh0f(x+h)f(x)hD(k\cdot f(x)) = k\cdot \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
D(kf(x))=kf(x)D(k\cdot f(x)) = k\cdot f'(x)

Koefficienten kk har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x)f(x) är f(x),f'(x), och derivatan av kf(x)k\cdot f(x) är kf(x).k\cdot f'(x).

Uppgift

Derivera f(x)=3x2ochg(x)=25x. f(x)=3x^2 \quad \text{och} \quad g(x)=25x.

Lösning
Vi börjar med f(x)f(x) som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer 33:an bara hänga med.
f(x)=3x2f(x)=3x^2
f(x)=D(3x2)f'(x)=D\left(3x^2\right)
f(x)=32xf'(x)=3\cdot 2x
f(x)=6xf'(x)=6x
Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av xx är 11 blir derivatan av g(x)g(x) alltså 251.25 \cdot 1.
g(x)=25xg(x)=25x
g(x)=D(25x)g'(x)=D(25x)
g(x)=25g'(x)=25
Derivatorna är f(x)=6xf'(x)=6x och g(x)=25.g'(x)=25.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid 0.0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7f(x)=7 och g(x)=-18g(x)=\text{-}18 lika med 0.0.

Härledning

D(a)=0D(a)=0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=af(x)=a som f(x)=a1, f(x)=a\cdot 1, och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 00 är 1.1.

f(x)=a1f(x)=a \cdot 1
f(x)=ax0f(x)=a \cdot x^0
f(x)=D(ax0)f'(x)=D\left(a \cdot x^0\right)
f(x)=a0x-1f'(x)=a \cdot 0\cdot x^{\text{-}1}
f(x)=0f'(x)=0

Alltså är derivatan av f(x)=af(x)=a lika med 0,0, oavsett värdet på a.a.

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition, f(x)=limh0f(x+h)f(x)h, f'(x) = \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, för att visa att derivatan av en konstant är 0.0. Eftersom f(x)=af(x)=a inte innehåller någon variabel blir även f(x+h)=a.f(x+h)=a.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
f(x+h)=af(x+h)={\color{#0000FF}{a}}, f(x)=af(x)={\color{#009600}{a}}
f(x)=limh0aahf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a}}-{\color{#009600}{a}}}{h}
f(x)=limh00hf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{0}{h}
f(x)=limh00f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} 0
f(x)=0f'(x) = 0

Även på detta sätt ser man att f(x)=0.f'(x)=0.

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=af(x)=a är en horisontell linje med kk-värdet 0,0, dvs. lutningen är 00 för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan 00 i alla punkter, dvs. f(x)=0.f'(x)=0.

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x,y(x)=x^2+3x, deriveras varje term för sig.

Härledning

D(f+g)=D(f)+D(g)D(f+g)=D(f)+D(g)
Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan f(x)+g(x) f(x)+g(x) med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan f(x+h)+g(x+h)f(x+h)+g(x+h) och f(x)+g(x)f(x)+g(x): D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)+g(x+h)(f(x)+g(x))h. \footnotesize{D(f(x)+g(x))=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}.} Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar f(x)f'(x) och ett som motsvarar g(x).g'(x).
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)+g(x+h)(f(x)+g(x))hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)+g(x+h)f(x)g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)f(x)+g(x+h)g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}
D(f(x)+g(x))=limh0(f(x+h)f(x)h+g(x+h)g(x)h)D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)
D(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)f(x)h+limh0g(x+h)g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}
D(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)

I detta fall är det variabel xx man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: D(f+g)=D(f)+D(g). D(f+g)=D(f)+D(g).


Uppgift

Bestäm f(3)f'(3) för f(x)=2x315x2+32. f(x)=2x^3-15x^2+3^2.

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f(x)=2x315x2+32f(x)=2x^3-15x^2+3^2
f(x)=D(2x3)D(15x2)+D(32)f'(x)=D\left(2x^3\right)-D\left(15x^2\right)+D\left(3^2\right)
f(x)=23x2152x+D(32)f'(x)=2\cdot 3x^2-15\cdot2 x+D\left(3^2\right)
f(x)=6x230x+D(32)f'(x)=6x^2-30x+D\left(3^2\right)
f(x)=6x230xf'(x)=6x^2-30x

Nu kan vi sätta in x=3x=3 i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f(x)=6x230xf'(x)=6x^2-30x
f(3)=632303f'({\color{#0000FF}{3}})=6\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-30\cdot{\color{#0000FF}{3}}
f(3)=69303f'(3)=6\cdot9-30\cdot3
f(3)=5490f'(3)=54-90
f(3)=-36f'(3)=\text{-}36

f(3)f'(3) blir alltså -36.\text{-}36.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm derivatan för följande funktioner.

a

y(x)=5x4y(x)=5x-4

b

h(x)=7x2x+8h(x)=7x^2-x+8

c

g(x)=2x3+6x2+10g(x)=2x^3+6x^2+10

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=3x4+7x215f(x)=3x^4+7x^2-15

b

g(x)=8x56x3+x+2g(x)=8x^5-6x^3+x+2

c

h(x)=7x11x95x213h(x)=7x^{11}-x^9-5x^2-13

d

p(x)=3x8+9x74x3+6p(x)=3x^8+9x^7-4x^3+6

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=12x6+x3+55f(x)=12x^6+x^3+55

b

g(x)=-40x2+167x0.5g(x)=\text{-}40x^2+167x-0.5

c

h(x)=8x100+40x50.7x4h(x)=8x^{100}+40x^5-0.7x^4

d

p(x)=4x250.2x20+8x8πp(x)=4x^{25}-0.2x^{20}+8x^8-\pi

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(x)f'(x) för följande funktioner.

a

f(x)=3x2+34x4+3f(x)=3x^2+\dfrac{3}{4}x^4+3

b

f(x)=7x6+115x5+35f(x)=7x^6+\dfrac{1}{15}x^5+\dfrac{3}{5}

c

f(x)=πf(x)=\pi

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utgå från funktionen i figuren.

Resonera dig fram till derivatans värde för följande xx-värden.

a

x=2x=2

b

x=-3x=\text{-}3

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=2x45+6x25+x2f(x)=\dfrac{2x^4}{5}+\dfrac{6x^2}{5}+\dfrac{x}{2}

b

g(x)=x35+2x25+52g(x)=\dfrac{x^3}{5}+\dfrac{2x^2}{5}+\dfrac{5}{2}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ragnar har deriverat funktionen f(x)=2x-3f(x)=2x^{\text{-} 3} och fått resultatet f(x)=-6x-2.f'(x)=\text{-} 6x^{\text{-} 2}. Tyvärr har Ragnar gjort fel. Vilket fel har han gjort och hur kan han ha tänkt?

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm f(3)f'(3) för f(x)=5x3.f(x)=5x^3.

b

Bestäm g(9)g'(9) för g(z)=2z2.g(z)=2z^2.

c

Bestäm p(6)p'(6) för p(s)=-3s3.p(s)=\text{-}3 s^3.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilket tt har funktionen s(t)=3t49s(t)=3t^4-9 derivatan 12?12?

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm det värde på xx där derivatan till f(x)=x2+5xf(x)=x^2+5x är lika med derivatan till g(x)=-5x2+14x.g(x)=\text{-} 5x^2+14x.

Nationella provet HT12 3b/3c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(r)=5r(2r28r)f(r)=5r\left(2r^2-8r\right)

b

g(s)=(3s1)2g(s)=(3s-1)^2

c

h(t)=(2t3+7t)(2t37t)th(t)=\left(2t^3+7t\right)\left(2t^3-7t\right)-t

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

h(t)=9.82t22h(t)=\dfrac{9.82t^2}{2}

b

p(z)=z4841zp(z)=\dfrac{z^4}{8}-41z

c

f(x)=3x5x2f(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{5x}{2}

d
g(y)=7y84+94y2g(y)=\dfrac{7y^8}{4}+\dfrac{9}{4y^2}
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(3)f'(3) för funktionen f(x)=3x+2x3+4. f(x)=3\sqrt{x}+2\sqrt[3]{x}+4. Svara med två decimalers noggrannhet.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För g(x)=53x310x2100x+68,g(x)=\dfrac{5}{3}\cdot x^3-10x^2-100x+68, bestäm det eller de xx-värden där derivatan är 5.5.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I slutet på 16001600-talet började matematikerna Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz utveckla den matematiska analysen, däribland derivata. Det pågick en dispyt mellan dessa herrar om vem som faktiskt var först med att formulera denna matematik, bl.a. anklagades Leibniz för att ha kommit på nya notationer för sådant som egentligen var Newtons idéer. Konflikten pågick långt efter att de avlidit men ståndpunkten idag är att båda utvecklade den matematiska analysen, oberoende av varandra. Leibniz kom bl.a. på följande notation för derivata: dydx. \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}. Detta skrivsätt är användbart när det finns en tvetydighet i vad man ska derivera med avseende på. För y=ax+by=ax+b betyder t.ex. dydx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} "derivatan av yy med avseende på x,x," vilket innebär att alla okända utom xx ska behandlas som konstanter. Bestäm nu, baserat på detta, följande derivator för y=x3+u2+v.y=x^3+u^2+v.

a

dydx\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}

b

dydu\dfrac{\text{d}y}{\text{d}u}

c

dydv\dfrac{\text{d}y}{\text{d}v}

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) definieras på följande sätt. f(x)=x3+2x29x+7g(x)=2x33+5x2+7x21\begin{aligned} f(x)&=x^3+2x^2-9x+7\\[0.25em] g(x)&=\dfrac{2x^3}{3}+5x^2+7x-21 \end{aligned}

a

För vilka xx-värden är f(x)f'(x) och g(x)g'(x) lika?

b

Vad är derivatan i dessa xx-värden?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att f(x)0f'(x) \geq 0 för alla xx om f(x)=Ax5+Bx3f(x) = Ax^5 + Bx^3 och AA och BB är positiva konstanter.

Nationella provet VT05 MaC
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en andragradsfunktion p(x)p(x) gäller att p(0)=5,  p(2)=3  och  p(-3)=23. p(0)=5, \ \ p'(2)=3 \ \ \text{och} \ \ p'(\text{-}3)=23. Bestäm p(x).p(x).

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Låt p(x)=f(x)+g(x).p(x)=f(x)+g(x). Visa med derivatans definition att man kan derivera summan term för term, dvs. p(x)=f(x)+g(x). p'(x)=f'(x)+g'(x).

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}