Generella deriveringsregler

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.

Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen k⋅f(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen k⋅f(x).

Koefficienten k kan nu brytas ut i täljaren.

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k \cdot f ( x + h ) - k \cdot f ( x )}{h}

FactorOut

Bryt ut k

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k ( f ( x + h ) - f ( x ) )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim (k \cdot \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h})

LimCoToCoMultLim

$x \to a lim (k \cdot f (x)) = k \cdot x \to a lim f (x)$

D (k \cdot f (x)) = k \cdot h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

LimToDerivative

$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)$

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

Koefficienten k har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x) är $f^{'} (x),$ och derivatan av k⋅f(x) är $k \cdot f^{'} (x) .$

Derivera potensfunktionerna

fullscreen

Derivera

f (x) = 3 x^{2} och g (x) = 25 x .

Visa Lösning

Vi börjar med f(x) som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer 3:an bara hänga med.

f(x)=3x2

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (3 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 3 \cdot 2 x

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x

Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av x är 1 blir derivatan av g(x) alltså 25⋅1.

g(x)=25x

Derive

Derivera funktion

g^{'} (x) = D (25 x)

DeriveXCo

$D (a x) = a$

g^{'} (x) = 25

Derivatorna är

f^{'} (x) = 6 x

och

g^{'} (x) = 25 .

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid 0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7 och g(x)=-18 lika med 0.

Härledning

D(a)=0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=a som

f(x)=a⋅1,

och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 0 är 1.

f(x)=a⋅1

Rewrite

Skriv 1 som x0

f(x)=a⋅x0

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (a \cdot x^{0})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = a \cdot 0 \cdot x^{- 1}

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 0

Alltså är derivatan av f(x)=a lika med 0, oavsett värdet på a.

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=a är en horisontell linje med k-värdet 0, dvs. lutningen är 0 för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan 0 i alla punkter, dvs. $f^{'} (x) = 0 .$

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x, deriveras varje term för sig.

Härledning

D(f+g)=D(f)+D(g)

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan

f(x)+g(x)

med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan f(x+h)+g(x+h) och f(x)+g(x):

Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar

f^{'} (x)

och ett som motsvarar

g^{'} (x) .

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - f ( x ) - g ( x )}{h}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x ) + g ( x + h ) - g ( x )}{h}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim (\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h})

WriteSumLim

Dela upp gränsvärde

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + h \to 0 lim \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h}

LimToDerivative

$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)$

D (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)

I detta fall är det variabel x man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:

D(f+g)=D(f)+D(g).

Derivera polynomfunktionen

fullscreen

Bestäm

f^{'} (3)

för

f(x)=2x3−15x2+32.

Visa Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f(x)=2x3−15x2+32

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (2 x^{3}) - D (15 x^{2}) + D (3^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 15 \cdot 2 x + D (3^{2})

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + D (3^{2})

DeriveConst

D(a)=0

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Nu kan vi sätta in x=3 i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Substitute

x=3

f^{'} (3) = 6 \cdot 3^{2} - 30 \cdot 3

CalcPow

Beräkna potens

f^{'} (3) = 6 \cdot 9 - 30 \cdot 3

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (3) = 54 - 90

SubTerm

Förenkla termer

f^{'} (3) = - 36

$f^{'} (3)$ blir alltså -36.

Generella deriveringsregler

Kanaler

Direktmeddelanden

Regel

Derivatan av en term med koefficient

Härledning

Exempel

Derivera potensfunktionerna

Regel

Derivatan av en konstant

Härledning

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Grafiskt

Regel

Derivatan av en summa

Härledning

Exempel

Derivera polynomfunktionen