mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Regler för derivator

Generella deriveringsregler

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.
Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in i funktionen och subtrahera ursprungsformen Koefficienten kan nu brytas ut i täljaren.

Koefficienten har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av är och derivatan av är

fullscreen
Uppgift

Derivera

Visa Lösning
Lösning
Vi börjar med som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer :an bara hänga med.
Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av är blir derivatan av alltså
Derivatorna är och
Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid Exempelvis är derivatan av funktionerna och lika med

Härledning

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen som och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten är

Alltså är derivatan av lika med oavsett värdet på

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition, för att visa att derivatan av en konstant är Eftersom inte innehåller någon variabel blir även

Även på detta sätt ser man att

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen är en horisontell linje med -värdet dvs. lutningen är för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan i alla punkter, dvs.

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. deriveras varje term för sig.

Härledning

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan och : Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar och ett som motsvarar

I detta fall är det variabel man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:


fullscreen
Uppgift

Bestäm för

Visa Lösning
Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

Nu kan vi sätta in i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

blir alltså

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward