{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Regler för derivator

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Regler för derivator
Generella deriveringsregler

Generella deriveringsregler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.
Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x2,y(x)=4x^2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.

Härledning
D(k⋅f(x))=k⋅f′(x)D(k\cdot f(x))=k\cdot f'(x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen k⋅f(x).k \cdot f(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+hx+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen k⋅f(x).k\cdot f(x). D(k⋅f(x))=lim⁡h→0k⋅f(x+h)−k⋅f(x)h. D(k\cdot f(x)) = \lim_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}. Koefficienten kk kan nu brytas ut i täljaren.

D(k⋅f(x))=lim⁡h→0k⋅f(x+h)−k⋅f(x)hD(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h}
Bryt ut kk
D(k⋅f(x))=lim⁡h→0k(f(x+h)−f(x))hD(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{k(f(x+h)-f(x))}{h}
a⋅bc=a⋅bc\dfrac{a\cdot b}{c}=a\cdot\dfrac{b}{c}
D(k⋅f(x))=lim⁡h→0(k⋅f(x+h)−f(x)h)D(k\cdot f(x)) = \lim\limits_{h\to 0}\left(k\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)
lim⁡x→a(k⋅f(x))=k⋅lim⁡x→af(x) \lim\limits_{x \to a}\left( k \cdot f(x) \right) = k \cdot \lim\limits_{x \to a}f(x)
D(k⋅f(x))=k⋅lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hD(k\cdot f(x)) = k\cdot \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=f′(x) \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= f'(x)
D(k⋅f(x))=k⋅f′(x)D(k\cdot f(x)) = k\cdot f'(x)

Koefficienten kk har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x)f(x) är f′(x),f'(x), och derivatan av k⋅f(x)k\cdot f(x) är k⋅f′(x).k\cdot f'(x).

Uppgift

Derivera f(x)=3x2ochg(x)=25x. f(x)=3x^2 \quad \text{och} \quad g(x)=25x.

Lösning
Vi börjar med f(x)f(x) som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer 33:an bara hänga med.
f(x)=3x2f(x)=3x^2
Derivera funktion
f′(x)=D(3x2)f'(x)=D\left(3x^2\right)
D(axn)=a⋅nxn−1D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}
f′(x)=3⋅2xf'(x)=3\cdot 2x
Multiplicera faktorer
f′(x)=6xf'(x)=6x
Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av xx är 11 blir derivatan av g(x)g(x) alltså 25⋅1.25 \cdot 1.
g(x)=25xg(x)=25x
Derivera funktion
g′(x)=D(25x)g'(x)=D(25x)
D(ax)=aD\left(ax\right) = a
g′(x)=25g'(x)=25
Derivatorna är f′(x)=6xf'(x)=6x och g′(x)=25.g'(x)=25.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid 0.0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7f(x)=7 och g(x)=-18g(x)=\text{-}18 lika med 0.0.

Härledning
D(a)=0D(a)=0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=af(x)=a som f(x)=a⋅1, f(x)=a\cdot 1, och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 00 är 1.1.

f(x)=a⋅1f(x)=a \cdot 1
Skriv 11 som x0x^0
f(x)=a⋅x0f(x)=a \cdot x^0
Derivera funktion
f′(x)=D(a⋅x0)f'(x)=D\left(a \cdot x^0\right)
D(axn)=a⋅nxn−1D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}
f′(x)=a⋅0⋅x-1f'(x)=a \cdot 0\cdot x^{\text{-}1}
Multiplicera faktorer
f′(x)=0f'(x)=0

Alltså är derivatan av f(x)=af(x)=a lika med 0,0, oavsett värdet på a.a.

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition, f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h, f'(x) = \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, för att visa att derivatan av en konstant är 0.0. Eftersom f(x)=af(x)=a inte innehåller någon variabel blir även f(x+h)=a.f(x+h)=a.
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
f(x+h)=af(x+h)={\color{#0000FF}{a}}, f(x)=af(x)={\color{#009600}{a}}
f′(x)=lim⁡h→0a−ahf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a}}-{\color{#009600}{a}}}{h}
Förenkla termer
f′(x)=lim⁡h→00hf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{0}{h}
Beräkna kvot
f′(x)=lim⁡h→00f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} 0
lim⁡x→a C=C\displaystyle{\lim_{x\to a}}\ C = C
f′(x)=0f'(x) = 0

Även på detta sätt ser man att f′(x)=0.f'(x)=0.

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=af(x)=a är en horisontell linje med kk-värdet 0,0, dvs. lutningen är 00 för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan 00 i alla punkter, dvs. f′(x)=0.f'(x)=0.

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x,y(x)=x^2+3x, deriveras varje term för sig.

Härledning
D(f+g)=D(f)+D(g)D(f+g)=D(f)+D(g)
Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan f(x)+g(x) f(x)+g(x) med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan f(x+h)+g(x+h)f(x+h)+g(x+h) och f(x)+g(x)f(x)+g(x): D(f(x)+g(x))=lim⁡h→0f(x+h)+g(x+h)−(f(x)+g(x))h. \footnotesize{D(f(x)+g(x))=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}.} Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar f′(x)f'(x) och ett som motsvarar g′(x).g'(x).
D(f(x)+g(x))=lim⁡h→0f(x+h)+g(x+h)−(f(x)+g(x))hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}
Ta bort parentes & byt tecken
D(f(x)+g(x))=lim⁡h→0f(x+h)+g(x+h)−f(x)−g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}
Omarrangera termer
D(f(x)+g(x))=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)+g(x+h)−g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}
Dela upp bråk
D(f(x)+g(x))=lim⁡h→0(f(x+h)−f(x)h+g(x+h)−g(x)h)D(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)
Dela upp gränsvärde
D(f(x)+g(x))=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h+lim⁡h→0g(x+h)−g(x)hD(f(x)+g(x))=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}
lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=f′(x) \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= f'(x)
D(f(x)+g(x))=f′(x)+g′(x)D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)

I detta fall är det variabel xx man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel: D(f+g)=D(f)+D(g). D(f+g)=D(f)+D(g).


Uppgift

Bestäm f′(3)f'(3) för f(x)=2x3−15x2+32. f(x)=2x^3-15x^2+3^2.

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f(x)=2x3−15x2+32f(x)=2x^3-15x^2+3^2
Derivera funktion
f′(x)=D(2x3)−D(15x2)+D(32)f'(x)=D\left(2x^3\right)-D\left(15x^2\right)+D\left(3^2\right)
D(axn)=a⋅nxn−1D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}
f′(x)=2⋅3x2−15⋅2x+D(32)f'(x)=2\cdot 3x^2-15\cdot2 x+D\left(3^2\right)
Multiplicera faktorer
f′(x)=6x2−30x+D(32)f'(x)=6x^2-30x+D\left(3^2\right)
D(a)=0D(a) = 0
f′(x)=6x2−30xf'(x)=6x^2-30x

Nu kan vi sätta in x=3x=3 i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f′(x)=6x2−30xf'(x)=6x^2-30x
x=3x={\color{#0000FF}{3}}
f′(3)=6⋅32−30⋅3f'({\color{#0000FF}{3}})=6\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-30\cdot{\color{#0000FF}{3}}
Beräkna potens
f′(3)=6⋅9−30⋅3f'(3)=6\cdot9-30\cdot3
Multiplicera faktorer
f′(3)=54−90f'(3)=54-90
Förenkla termer
f′(3)=-36f'(3)=\text{-}36

f′(3)f'(3) blir alltså -36.\text{-}36.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}