2. Generella deriveringsregler
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
2.
Generella deriveringsregler
Deriveringsregler är grundläggande verktyg inom matematiken, särskilt när det gäller att lösa problem med derivatan av funktioner. Dessa regler ger oss metoder för att bestämma derivatan av en funktion, vilket är en central del av kalkylen. Det finns flera generella deriveringsregler som gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras, till exempel potens-, exponential- eller polynomfunktioner. Dessa regler inkluderar regeln för derivatan av en konstant, regeln för derivatan av en summa, och regeln för derivatan av en funktion med en koefficient. Att förstå och kunna tillämpa dessa regler är en viktig del av matematikundervisningen.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Generella deriveringsregler
Sida av 6
Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.
Regel
Derivatan av en term med koefficient
När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den "hänger med" under deriveringen.
Härledning
D(k⋅f(x))=k⋅f′(x)För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen k⋅f(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen k⋅f(x).
D(k⋅f(x))=h→0limhk⋅f(x+h)−k⋅f(x).
Koefficienten k kan nu brytas ut i täljaren.
D(k⋅f(x))=h→0limhk⋅f(x+h)−k⋅f(x)
FactorOut
Bryt ut k
D(k⋅f(x))=h→0limhk(f(x+h)−f(x))
MovePartNumLeft
ca⋅b=a⋅cb
D(k⋅f(x))=h→0lim(k⋅hf(x+h)−f(x))
LimCoToCoMultLim
x→alim(k⋅f(x))=k⋅x→alimf(x)
D(k⋅f(x))=k⋅h→0limhf(x+h)−f(x)
LimToDerivative
h→0limhf(x+h)−f(x)=f′(x)
D(k⋅f(x))=k⋅f′(x)
Koefficienten k har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x) är f′(x), och derivatan av k⋅f(x) är k⋅f′(x).
Exempel
Derivera potensfunktionerna
f(x)=3x2ochg(x)=25x.
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med f(x) som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer 3:an bara hänga med.
Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av x är 1 blir derivatan av g(x) alltså 25⋅1.
Derivatorna är f′(x)=6x och g′(x)=25.
f(x)=3x2
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(3x2)
DeriveMonomCo
D(axn)=a⋅nxn−1
f′(x)=3⋅2x
Multiply
Multiplicera faktorer
f′(x)=6x
Regel
Derivatan av en konstant
Derivatan av en konstant är alltid 0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7 och g(x)=−18 lika med 0.
Härledning
D(a)=0Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.
Deriveringsregeln för potensfunktioner
Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=a somf(x)=a⋅1,
och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 0 är 1.
f(x)=a⋅1
Rewrite
Skriv 1 som x0
f(x)=a⋅x0
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(a⋅x0)
DeriveMonomCo
D(axn)=a⋅nxn−1
f′(x)=a⋅0⋅x−1
Multiply
Multiplicera faktorer
f′(x)=0
Alltså är derivatan av f(x)=a lika med 0, oavsett värdet på a.
Grafiskt
Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=a är en horisontell linje med k-värdet 0, dvs. lutningen är 0 för alla punkter längs linjen.
Därför är derivatan 0 i alla punkter, dvs. f′(x)=0.
Regel
Derivatan av en summa
När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x2+3x, deriveras varje term för sig.
Härledning
D(f+g)=D(f)+D(g)Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan
I detta fall är det variabel x man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:
f(x)+g(x)
med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan f(x+h)+g(x+h) och f(x)+g(x):
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)+g(x+h)−(f(x)+g(x)).
Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar f′(x) och ett som motsvarar g′(x).
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)+g(x+h)−(f(x)+g(x))
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)+g(x+h)−f(x)−g(x)
RearrangeTerms
Omarrangera termer
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)−f(x)+g(x+h)−g(x)
WriteSumFrac
Dela upp bråk
D(f(x)+g(x))=h→0lim(hf(x+h)−f(x)+hg(x+h)−g(x))
WriteSumLim
Dela upp gränsvärde
D(f(x)+g(x))=h→0limhf(x+h)−f(x)+h→0limhg(x+h)−g(x)
LimToDerivative
h→0limhf(x+h)−f(x)=f′(x)
D(f(x)+g(x))=f′(x)+g′(x)
D(f+g)=D(f)+D(g).
Exempel
Derivera polynomfunktionen
f(x)=2x3−15x2+32.
Visa Lösning expand_more
Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.
f(x)=2x3−15x2+32
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(2x3)−D(15x2)+D(32)
DeriveMonomCo
D(axn)=a⋅nxn−1
f′(x)=2⋅3x2−15⋅2x+D(32)
Multiply
Multiplicera faktorer
f′(x)=6x2−30x+D(32)
DeriveConst
D(a)=0
f′(x)=6x2−30x
Nu kan vi sätta in x=3 i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.
f′(x)=6x2−30x
Substitute
x=3
f′(3)=6⋅32−30⋅3
CalcPow
Beräkna potens
f′(3)=6⋅9−30⋅3
Multiply
Multiplicera faktorer
f′(3)=54−90
SubTerm
Subtrahera term
f′(3)=−36
f′(3) blir alltså −36.
Generella deriveringsregler
Övningar
Stämmer det att f′(x)≥0 för alla x om f(x)=Ax5+Bx3 och A och B är positiva konstanter? Motivera utförligt!
Nationella provet VT05 MaC
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Att f'(x) ≥ 0 betyder att derivatan till f(x) aldrig är negativ. Vi deriverar funktionen för att se hur derivatan ser ut.
Derivatan är alltså f'(x) = 5Ax^4 + 3Bx^2. Notera att potenserna x^4 och x^2 kommer anta värden som är större än eller lika med 0, oavsett om vi sätter in ett x-värde som är positivt, negativt eller noll. Vi visar några exempel.
| x | x^2 | = | x^4 | = |
|---|---|---|---|---|
| - 2 | ( - 2)^2 | 4 | ( - 2)^4 | 16 |
| - 1 | ( - 1)^2 | 1 | ( - 1)^4 | 1 |
| 0 | 0^2 | 0 | 0^4 | 0 |
| 1 | 1^2 | 1 | 1^4 | 1 |
| 2 | 2^2 | 4 | 2^4 | 16 |
Eftersom x^4 och x^2 multipliceras med de positiva konstanterna 5A respektive 3B så gäller att 5Ax^4≥ 0 och 3Bx^2≥ 0. Då kommer även summan av dessa produkter, dvs. derivatan f'(x) = 5Ax^4 + 3Bx^2, att vara större än eller lika med 0.
security
report
code
För en andragradsfunktion p(x) gäller att
p(0)=5, p′(2)=3 och p′(−3)=23.
Bestäm p(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">p<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2x^2+11x+5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ställer upp en allmän andragradsfunktion p(x)=ax^2+bx+c, där a, b och c är reella tal. Vi vet att p(0)=5. Det betyder att om man sätter in x=0 ska funktionsvärdet bli 5.
Konstanten c är alltså lika med 5. Det ger oss
p(x)=ax^2+bx+5.
De andra villkoren är derivator så vi deriverar funktionen.
Nu sätter vi in x=2. Då ska derivatan vara 3 eftersom vi vet att p'(2) = 3.
Nu har vi ett samband mellan a och b. Vi behöver dock ytterligare ett för att kunna bestämma a och b. Det får vi genom att använda det sista villkoret, p(-3) = 23.
Nu har vi två samband mellan a och b och kan ställa upp ett ekvationssystem. 4a+b=3 -6a+b=23 Detta kan vi lösa med substitutionsmetoden.
a är -2 och b är 11. Det ger funktionen p(x)=-2x^2+11x+5.
security
report
code
Låt p(x)=f(x)+g(x). Stämmer det att
p′(x)=f′(x)+g′(x)?
Motivera med derivatans definition!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Derivatans definition för p(x) kan beräknas med gränsvärdet p'(x)=lim _(h→ 0)p(x+h)-p(x)/h. Insättning av x+h i p(x) ger p( x+h)=f( x+h)+g( x+h). Vi sätter nu in identiteterna för p(x) och p(x+h) i derivatans definition och förenklar så långt det går.
Det vänstra gränsvärdet är derivatan för funktionen f(x) och det andra är derivatan för g(x). Det betyder att p'(x)=f'(x)+g'(x).
security
report
code
Generella deriveringsregler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll