2. Bestämma primitiva funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
2.
Bestämma primitiva funktioner
Denna lektion fokuserar på att förklara och demonstrera hur man bestämmer primitiva funktioner. Den tar upp olika typer av funktioner, inklusive potensfunktioner och konstanta funktioner, och förklarar hur man kan bestämma en primitiv funktion för varje typ. Lektionenen ger också en detaljerad förklaring av hur man kan kontrollera om man har gjort rätt genom att derivera den primitiva funktionen och se om man får tillbaka den ursprungliga funktionen. Genom att använda dessa metoder kan man få en bättre förståelse för primitiva funktioner och hur de kan användas för att lösa matematiska problem.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Bestämma primitiva funktioner
Sida av 8
När man bestämmer primitiva funktioner använder man de olika deriveringsreglerna "baklänges". På motsvarande sätt som D(f(x)) betyder att en funktion deriveras betyder D^(-1)(f(x)) att man bestämmer en primitiv funktion till f(x). Om man vill bestämma alla primitiva funktioner lägger man även till konstanten C. I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Primitiv funktion till potensfunktion
- Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen e
- Primitiv funktion till exponentialfunktion
- Generella regler för primitiva funktioner
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Primitiv funktion till potensfunktion
För att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion på formen f(x)=x^n ökar man exponenten med 1 och dividerar med den nya exponenten.
Regel
D^(-1)(x^n)=x^(n+1)/n+1 +CSamtliga primitiva funktioner till x^5 blir enligt regeln x^66+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)= x^66+C. Om detta är en primitiv funktion ska derivatan bli x^5. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.
F(x)=x^6/6+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(x^6/6)+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(x^6/6)
DeriveMonomCoDiv
D(x^n/a) = nx^(n-1)/a
F'(x)=6x^5/6
SimpQuot
Förenkla kvot
F'(x)=x^5
Derivatan av x^66 är alltså x^5, och därför är x^66 en primitiv funktion till x^5. Regeln gäller för alla potensfunktioner där n≠ -1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen e
För att bestämma en primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen e på formen f(x)=e^(kx) dividerar man dem med k.
Regel
D^(-1)(e^(kx))=e^(kx)/k+CSamtliga primitiva funktioner till e^(3x) blir enligt regeln e^(3x)3+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)= e^(3x)3+C. Då ska derivatan bli e^(3x).
F(x)=e^(3x)/3+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(e^(3x)/3)+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(e^(3x)/3)
DeriveEInitialDivCo
D\left( \dfrac{e^{kx}}a \right) = \dfrac{ke^{kx}}a
F'(x)=3e^(3x)/3
SimpQuot
Förenkla kvot
F'(x)=e^(3x)
Regeln gäller för k≠ 0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Primitiv funktion till exponentialfunktion
För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen f(x)=a^x dividerar man den med naturliga logaritmen av a, dvs. ln(a).
Regel
D^(-1)(a^x)=a^x/ln(a)+CSamtliga primitiva funktioner till 7^x kan alltså skrivas 7^xln(7)+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)= 7^xln(7)+C. Derivatan ska då bli 7^x.
F(x)=7^x/ln(7)+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(7^x/ln(7))+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(7^x/ln(7))
DeriveExpInitialDiv
D(a^x/C)=a^x *ln(a)/C
F'(x)=7^x*ln(7)/ln(7)
SimpQuot
Förenkla kvot
F'(x)=7^x
Derivatan blev alltså 7^x. Regeln gäller för alla exponentialfunktioner där a > 0 och a ≠ 1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm en primitiv funktion
a Bestäm en primitiv funktion till f(x)=x^3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^4}{4}","\\dfrac{1}{4}x^4"]}}
b Bestäm en primitiv funktion till g(x) = 5.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"G(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^4}{4}"]}}
c Bestäm en primitiv funktion till h(x) = 4^(2x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"H(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4^{2x}}{2\\ln(4)}","$\\dfrac{16^{x}}{\\ln(16)}$"]}}
d Bestäm en primitiv funktion till f(x) = e^(3x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{e^{3x}}{3}","\\dfrac{1}{3}e^{3x}"]}}
Ledtråd
a Use the formula for the antiderivative of a power function.
b Kom ihåg att om man deriverar en funktion på formen ax, får man bara kvar a.
c Använd formeln för den primitiva funktionen till a^x.
d Använd formeln för den primitiva funktionen till exponentialfunktioner med basen e.
Lösning
a Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till f(x). Vi börjar med f(x), som är en potensfunktion. Då ökar vi exponenten med 1 samtidigt som vi dividerar med den nya exponenten.
f(x)=x^3
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(x)=D^(- 1)(x^3)
AntideriveMonom
D^(- 1) (x^n) = x^(n + 1)/n + 1
F(x)=x^(3+1)/3+1
AddTerms
Addera termerna
F(x)=x^4/4
En primitiv funktion till f(x) är alltså F(x)=x^4/4. För att undersöka om man har gjort rätt kan man derivera F(x) för att sedan kontrollera att man får tillbaka den ursprungliga funktionen. Gör man det får man F'(x)=x^3 alltså f(x) vilket betyder att vi har gjort rätt.
b Nu tittar vi på funktionen g(x) = 5, som är en konstant. Deriverar man en funktion på formen ax får man bara kvar a, så om man går åt andra hållet och bestämmer en primitiv funktion till en konstant, t.ex. 5, får man 5x. Man lägger alltså till ett x efter konstanten.
g(x) = 5
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
G(x) = D^(- 1) (5)
AntideriveConst
D^(- 1)(a) = ax
G(x) = 5x
Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till g(x). En primitiv funktion till g(x) är alltså G(x) = 5x.
c Vi ska hitta primitiv funktion till h(x)=4^(2x). För att börja förenklar vi uttrycket genom att isolera exponenten med x.
Vi kommer att använda formeln för primitiv funktion till a^x för att hitta primitiv funktion till h(x). Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till h(x).
h(x)=16^x
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
H(x)=D^(- 1)(16^x)
AntideriveExp
D^(- 1)(a^x) = a^x/ln(a)
H(x)=16^x/ln16
WritePow
Skriv som potens
H(x)=(4^2)^x/ln(4^2)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
H(x)=4^(2x)/ln(4^2)
LnPow
ln(a^b)= b*ln(a)
H(x)=4^(2x)/2ln(4)
En primitiv funktion till h(x) är alltså H(x) =4^(2x)/2ln(4).
d Nu ska vi beräkna primitiv funktion till f(x)=e^(3x). För att göra detta använder vi formeln för primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen e. Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till f(x).
f(x)=e^(3x)
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(x)=D^(- 1)(e^(3x))
AntideriveECo
D^(- 1)(e^(kx)) = e^(kx)/k
F(x)=e^(3x)/3
En primitiv funktion till k(x) är alltså F(x)=e^(3x)/3.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Generella regler för primitiva funktioner
När man bestämmer en primitiv funktion använder man deriveringsreglerna baklänges. Generella regler för derivering gäller därför också när man bestämmer primitiva funktioner, t.ex. behandlas termerna var för sig.
På liknande sätt påverkas inte koefficienter – de följer med. Exempelvis påverkas inte 2:an när man bestämmer en primitiv funktion till f(x)=2e^(7x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm alla primitiva funktioner
Bestäm alla primitiva funktioner till f(x)=8x^3-2e^(4x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x^4-\\frac{e^{4x}}{2}+C"]}}
Ledtråd
För att få med alla primitiva funktioner behöver vi komma ihåg att addera en konstant C.
Lösning
Vi tittar på en term i taget och använder lämpliga regler för att bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom vi ska bestämma alla primitiva funktion måste vi också komma ihåg att lägga till en konstant C.
f(x)=8x^3-2e^(4x)
AntiderivativeAll
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D^(- 1)(8x^3)-D^(- 1)(2e^(4x))+C
AntideriveMonomCo
D^(- 1)(ax^n)=ax^(n+1)/n+1
F(x)=8x^4/4-D^(- 1)(2e^(4x))+C
AntideriveEInitialCo
D^(- 1)(ae^(kx)) = ae^(kx)/k
F(x)=8x^4/4-2e^(4x)/4+C
SimpQuot
Förenkla kvot
F(x)=2x^4-2e^(4x)/4+C
ReduceFrac
Förkorta med 2
F(x)=2x^4-e^(4x)/2+C
Samtliga primitiva funktioner är alltså F(x)=2x^4- e^(4x)2+C.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Bestämma den primitiva funktionen
Den här appen visar en funktion och ber om en primitiv funktion. I det här fallet behöver du inte lägga till konstanten C.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Bestämma primitiva funktioner
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^3}{3}+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^3+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^x+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}+C"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer en primitiv funktion till f(x) genom att använda regeln för att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion.
Vi använder samma regel igen. Kom ihåg att koefficienten till x^2 inte påverkas utan bara hänger med.
e^x är sin egen derivata, vilket betyder att det också är en primitiv funktion.
Exponentialfunktionen har en koefficient och på samma sätt som för potensfunktioner så "hänger den med." Vi ser även att exponenten är 2x och för att bestämma en primitiv funktion måste vi dela funktionsuttrycket med koefficienten framför x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3x^2}{2}+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^6}{3}+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^3+2x+C"]}}
security
report
code
security
report
code
Enligt regeln för att bestämma primitiva funktioner till potensfunktioner ska en funktion på formen ax^n divideras med n+1 samtidigt som exponenten ändras till detta. Vi börjar därför med att skriva om vår funktion, 3x, på denna form genom att utnyttja att x=x^1.
Här kan vi använda regeln direkt och dividerar alltså med 5+1=6, samtidigt som vi ändrar exponenten till 6.
Vi vet att derivatan av en funktion på formen ax, till exempel g(x)=5x, är g'(x) = 5. Den primitiva funktionen till h(x)=5 blir därför H(x)=5x dvs. vi lägger till ett x efter konstanten. I det här fallet har vi funktionen f(x)=1 och eftersom 1 är en konstant lägger vi till x efter då vi bestämmer den primitiva funktionen.
För att bestämma en primitiv funktion tar vi en term en i taget.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{e^{5x}}{5}+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"G(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2e^{-2x}+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"H(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5^{2x}}{2\\ln(5)}+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"P(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{2^{4x}}{\\ln(2)}+C"]}}
security
report
code
security
report
code
En primitiv funktion till f(x) är en funktion F(x) som deriveras till f(x). När man deriverar e^(5x) multiplicerar man med 5. När man bestämmer en primitiv funktion dividerar man istället med 5.
Vi gör samma sak som i förra uppgiften. Nu har vi koefficienten 4 men den hänger bara med.
För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen f(x)=a^(kx) dividerar man a^(kx) med produkten av k och ln(a).
Vi gör på samma sätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x^5-4x^2+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}-3x+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{10^{5x}}{5\\ln(10)}-x^8+C"]}}
security
report
code
security
report
code
När vi bestämmer alla primitiva funktioner till f(x) måste vi även lägga till konstanten C. När man deriverar en funktion försvinner eventuella konstanter så genom att addera ett C tar vi hänsyn till att den primitiva funktionen även kan innehålla en konstant.
Vi gör på samma sätt här, dvs. vi lägger till C i slutet av den primitiva funktionen för att representera alla primitiva funktioner till f(x).
Samma sak igen. Här använder vi även regeln för att hitta en primitiv funktion till en exponentialfunktion.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Figuren visar grafen till funktionen f(x). Bestäm alla primitiva funktioner F(x) till f(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-x^2+2x+C"]}}
security
report
code
security
report
code
Först bestämmer vi funktionsuttrycket för f(x). Grafen är en rät linje vilket betyder att den kan skrivas på k-form: f(x)=kx+m. Linjen skär y-axeln i y=2, och därför är m=2. För varje steg i x-led går linjen 2 steg nedåt, vilket innebär att k-värdet är -2.
Funktionen är därför f(x)=-2x+2. Nu kan vi bestämma en primitiv funktion till denna.
Alla primitiva funktioner är alltså F(x)=- x^2+2x+C.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^3-3x^2+3x+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^3}{3}-4x+C"]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi bestämmer en primitiv funktion utvecklar vi högerledet med andra kvadreringsregeln.
Nu kan vi bestämma en primitiv funktion.
Vi utvecklar funktionsuttrycket med konjugatregeln.
Nu kan vi bestämma en primitiv funktion.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestämma primitiva funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll