Logga in
| 7 sidor teori |
| 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
För att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion på formen f(x)=xn ökar man exponenten med 1 och dividerar med den nya exponenten.
Samtliga primitiva funktioner till x5 blir enligt regeln 6x6+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)=6x6+C. Om detta är en primitiv funktion ska derivatan bli x5. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.
Derivera funktion
D(a)=0
D(axn)=anxn−1
Förenkla kvot
Derivatan av 6x6 är alltså x5, och därför är 6x6 en primitiv funktion till x5. Regeln gäller för alla potensfunktioner där n=−1.
För att bestämma en primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen e på formen f(x)=ekx dividerar man dem med k.
Samtliga primitiva funktioner till e3x blir enligt regeln 3e3x+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)=3e3x+C. Då ska derivatan bli e3x.
Derivera funktion
D(a)=0
D(aekx)=akekx
Förenkla kvot
För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen f(x)=ax dividerar man den med naturliga logaritmen av a, dvs. ln(a).
Samtliga primitiva funktioner till 7x kan alltså skrivas ln(7)7x+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)=ln(7)7x+C. Derivatan ska då bli 7x.
Derivera funktion
D(a)=0
D(Cax)=Cax⋅ln(a)
Förenkla kvot
Derivatan blev alltså 7x. Regeln gäller för alla exponentialfunktioner där a>0 och a=1.
Bestäm en primitiv funktion
D-1(xn)=n+1xn+1
Addera termer
När man bestämmer en primitiv funktion använder man deriveringsreglerna baklänges. Generella regler för derivering gäller därför också när man bestämmer primitiva funktioner. T.ex. behandlas termerna var för sig.
På liknande sätt påverkas inte koefficienter – de följer med. Exempelvis påverkas inte 2:an när man bestämmer en primitiv funktion till f(x)=2e7x.
Bestäm alla primitiva funktioner
D-1(axn)=n+1axn+1
D-1(aekx)=kaekx
Förenkla kvot
Förkorta med 2
Bestäm alla primitiva funktioner F(x) till f(x) givet att f(x) är följande.
Vi bestämmer en primitiv funktion till f(x) genom att använda regeln för att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion.
Vi använder samma regel igen. Kom ihåg att koefficienten till x^2 inte påverkas utan bara hänger med.
e^x är sin egen derivata, vilket betyder att det också är en primitiv funktion.
Exponentialfunktionen har en koefficient och på samma sätt som för potensfunktioner så "hänger den med." Vi ser även att exponenten är 2x och för att bestämma en primitiv funktion måste vi dela funktionsuttrycket med koefficienten framför x.
Bestäm alla primitiva funktioner F(x) till f(x) givet att f(x) är följande.
Enligt regeln för att bestämma primitiva funktioner till potensfunktioner ska en funktion på formen ax^n divideras med n+1 samtidigt som exponenten ändras till detta. Vi börjar därför med att skriva om vår funktion, 3x, på denna form genom att utnyttja att x=x^1.
Här kan vi använda regeln direkt och dividerar alltså med 5+1=6, samtidigt som vi ändrar exponenten till 6.
Vi vet att derivatan av en funktion på formen ax, till exempel g(x)=5x, är g'(x) = 5. Den primitiva funktionen till h(x)=5 blir därför H(x)=5x dvs. vi lägger till ett x efter konstanten. I det här fallet har vi funktionen f(x)=1 och eftersom 1 är en konstant lägger vi till x efter då vi bestämmer den primitiva funktionen.
För att bestämma en primitiv funktion tar vi en term en i taget.
Bestäm alla primitiva funktioner funktionen givet att denna är följande.
En primitiv funktion till f(x) är en funktion F(x) som deriveras till f(x). När man deriverar e^(5x) multiplicerar man med 5. När man bestämmer en primitiv funktion dividerar man istället med 5.
Vi gör samma sak som i förra uppgiften. Nu har vi koefficienten 4 men den hänger bara med.
För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen f(x)=a^(kx) dividerar man a^(kx) med produkten av k och ln(a).
Vi gör på samma sätt.
Bestäm alla primitiva funktioner F(x) till följande funktion.
När vi bestämmer alla primitiva funktioner till f(x) måste vi även lägga till konstanten C. När man deriverar en funktion försvinner eventuella konstanter så genom att addera ett C tar vi hänsyn till att den primitiva funktionen även kan innehålla en konstant.
Vi gör på samma sätt här, dvs. vi lägger till C i slutet av den primitiva funktionen för att representera alla primitiva funktioner till f(x).
Samma sak igen. Här använder vi även regeln för att hitta en primitiv funktion till en exponentialfunktion.
Figuren visar grafen till funktionen f(x). Bestäm alla primitiva funktioner F(x) till f(x).
Först bestämmer vi funktionsuttrycket för f(x). Grafen är en rät linje vilket betyder att den kan skrivas på k-form: f(x)=kx+m. Linjen skär y-axeln i y=2, och därför är m=2. För varje steg i x-led går linjen 2 steg nedåt, vilket innebär att k-värdet är -2.
Funktionen är därför f(x)=-2x+2. Nu kan vi bestämma en primitiv funktion till denna.
Alla primitiva funktioner är alltså F(x)=- x^2+2x+C.
Förenkla och bestäm alla primitiva funktioner F(x) till funktionen.
Innan vi bestämmer en primitiv funktion utvecklar vi högerledet med andra kvadreringsregeln.
Nu kan vi bestämma en primitiv funktion.
Vi utvecklar funktionsuttrycket med konjugatregeln.
Nu kan vi bestämma en primitiv funktion.