2. Bestämma primitiva funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
2.
Bestämma primitiva funktioner
Denna lektion fokuserar på att förklara och demonstrera hur man bestämmer primitiva funktioner. Den tar upp olika typer av funktioner, inklusive potensfunktioner och konstanta funktioner, och förklarar hur man kan bestämma en primitiv funktion för varje typ. Lektionenen ger också en detaljerad förklaring av hur man kan kontrollera om man har gjort rätt genom att derivera den primitiva funktionen och se om man får tillbaka den ursprungliga funktionen. Genom att använda dessa metoder kan man få en bättre förståelse för primitiva funktioner och hur de kan användas för att lösa matematiska problem.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Bestämma primitiva funktioner
Sida av 8
När man bestämmer primitiva funktioner använder man de olika deriveringsreglerna "baklänges". På motsvarande sätt som D(f(x)) betyder att en funktion deriveras betyder D^(-1)(f(x)) att man bestämmer en primitiv funktion till f(x). Om man vill bestämma alla primitiva funktioner lägger man även till konstanten C. I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Primitiv funktion till potensfunktion
- Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen e
- Primitiv funktion till exponentialfunktion
- Generella regler för primitiva funktioner
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Primitiv funktion till potensfunktion
För att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion på formen f(x)=x^n ökar man exponenten med 1 och dividerar med den nya exponenten.
Regel
D^(-1)(x^n)=x^(n+1)/n+1 +CSamtliga primitiva funktioner till x^5 blir enligt regeln x^66+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)= x^66+C. Om detta är en primitiv funktion ska derivatan bli x^5. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.
F(x)=x^6/6+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(x^6/6)+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(x^6/6)
DeriveMonomCoDiv
D(x^n/a) = nx^(n-1)/a
F'(x)=6x^5/6
SimpQuot
Förenkla kvot
F'(x)=x^5
Derivatan av x^66 är alltså x^5, och därför är x^66 en primitiv funktion till x^5. Regeln gäller för alla potensfunktioner där n≠ -1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen e
För att bestämma en primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen e på formen f(x)=e^(kx) dividerar man dem med k.
Regel
D^(-1)(e^(kx))=e^(kx)/k+CSamtliga primitiva funktioner till e^(3x) blir enligt regeln e^(3x)3+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)= e^(3x)3+C. Då ska derivatan bli e^(3x).
F(x)=e^(3x)/3+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(e^(3x)/3)+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(e^(3x)/3)
DeriveEInitialDivCo
D\left( \dfrac{e^{kx}}a \right) = \dfrac{ke^{kx}}a
F'(x)=3e^(3x)/3
SimpQuot
Förenkla kvot
F'(x)=e^(3x)
Regeln gäller för k≠ 0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Primitiv funktion till exponentialfunktion
För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen f(x)=a^x dividerar man den med naturliga logaritmen av a, dvs. ln(a).
Regel
D^(-1)(a^x)=a^x/ln(a)+CSamtliga primitiva funktioner till 7^x kan alltså skrivas 7^xln(7)+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)= 7^xln(7)+C. Derivatan ska då bli 7^x.
F(x)=7^x/ln(7)+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(7^x/ln(7))+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(7^x/ln(7))
DeriveExpInitialDiv
D(a^x/C)=a^x *ln(a)/C
F'(x)=7^x*ln(7)/ln(7)
SimpQuot
Förenkla kvot
F'(x)=7^x
Derivatan blev alltså 7^x. Regeln gäller för alla exponentialfunktioner där a > 0 och a ≠ 1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm en primitiv funktion
a Bestäm en primitiv funktion till f(x)=x^3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^4}{4}","\\dfrac{1}{4}x^4"]}}
b Bestäm en primitiv funktion till g(x) = 5.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"G(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^4}{4}"]}}
c Bestäm en primitiv funktion till h(x) = 4^(2x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"H(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4^{2x}}{2\\ln(4)}","$\\dfrac{16^{x}}{\\ln(16)}$"]}}
d Bestäm en primitiv funktion till f(x) = e^(3x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{e^{3x}}{3}","\\dfrac{1}{3}e^{3x}"]}}
Ledtråd
a Use the formula for the antiderivative of a power function.
b Kom ihåg att om man deriverar en funktion på formen ax, får man bara kvar a.
c Använd formeln för den primitiva funktionen till a^x.
d Använd formeln för den primitiva funktionen till exponentialfunktioner med basen e.
Lösning
a Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till f(x). Vi börjar med f(x), som är en potensfunktion. Då ökar vi exponenten med 1 samtidigt som vi dividerar med den nya exponenten.
f(x)=x^3
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(x)=D^(- 1)(x^3)
AntideriveMonom
D^(- 1) (x^n) = x^(n + 1)/n + 1
F(x)=x^(3+1)/3+1
AddTerms
Addera termerna
F(x)=x^4/4
En primitiv funktion till f(x) är alltså F(x)=x^4/4. För att undersöka om man har gjort rätt kan man derivera F(x) för att sedan kontrollera att man får tillbaka den ursprungliga funktionen. Gör man det får man F'(x)=x^3 alltså f(x) vilket betyder att vi har gjort rätt.
b Nu tittar vi på funktionen g(x) = 5, som är en konstant. Deriverar man en funktion på formen ax får man bara kvar a, så om man går åt andra hållet och bestämmer en primitiv funktion till en konstant, t.ex. 5, får man 5x. Man lägger alltså till ett x efter konstanten.
g(x) = 5
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
G(x) = D^(- 1) (5)
AntideriveConst
D^(- 1)(a) = ax
G(x) = 5x
Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till g(x). En primitiv funktion till g(x) är alltså G(x) = 5x.
c Vi ska hitta primitiv funktion till h(x)=4^(2x). För att börja förenklar vi uttrycket genom att isolera exponenten med x.
Vi kommer att använda formeln för primitiv funktion till a^x för att hitta primitiv funktion till h(x). Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till h(x).
h(x)=16^x
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
H(x)=D^(- 1)(16^x)
AntideriveExp
D^(- 1)(a^x) = a^x/ln(a)
H(x)=16^x/ln16
WritePow
Skriv som potens
H(x)=(4^2)^x/ln(4^2)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
H(x)=4^(2x)/ln(4^2)
LnPow
ln(a^b)= b*ln(a)
H(x)=4^(2x)/2ln(4)
En primitiv funktion till h(x) är alltså H(x) =4^(2x)/2ln(4).
d Nu ska vi beräkna primitiv funktion till f(x)=e^(3x). För att göra detta använder vi formeln för primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen e. Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C, till f(x).
f(x)=e^(3x)
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(x)=D^(- 1)(e^(3x))
AntideriveECo
D^(- 1)(e^(kx)) = e^(kx)/k
F(x)=e^(3x)/3
En primitiv funktion till k(x) är alltså F(x)=e^(3x)/3.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Generella regler för primitiva funktioner
När man bestämmer en primitiv funktion använder man deriveringsreglerna baklänges. Generella regler för derivering gäller därför också när man bestämmer primitiva funktioner, t.ex. behandlas termerna var för sig.
På liknande sätt påverkas inte koefficienter – de följer med. Exempelvis påverkas inte 2:an när man bestämmer en primitiv funktion till f(x)=2e^(7x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm alla primitiva funktioner
Bestäm alla primitiva funktioner till f(x)=8x^3-2e^(4x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x^4-\\frac{e^{4x}}{2}+C"]}}
Ledtråd
För att få med alla primitiva funktioner behöver vi komma ihåg att addera en konstant C.
Lösning
Vi tittar på en term i taget och använder lämpliga regler för att bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom vi ska bestämma alla primitiva funktion måste vi också komma ihåg att lägga till en konstant C.
f(x)=8x^3-2e^(4x)
AntiderivativeAll
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D^(- 1)(8x^3)-D^(- 1)(2e^(4x))+C
AntideriveMonomCo
D^(- 1)(ax^n)=ax^(n+1)/n+1
F(x)=8x^4/4-D^(- 1)(2e^(4x))+C
AntideriveEInitialCo
D^(- 1)(ae^(kx)) = ae^(kx)/k
F(x)=8x^4/4-2e^(4x)/4+C
SimpQuot
Förenkla kvot
F(x)=2x^4-2e^(4x)/4+C
ReduceFrac
Förkorta med 2
F(x)=2x^4-e^(4x)/2+C
Samtliga primitiva funktioner är alltså F(x)=2x^4- e^(4x)2+C.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Bestämma den primitiva funktionen
Den här appen visar en funktion och ber om en primitiv funktion. I det här fallet behöver du inte lägga till konstanten C.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Bestämma primitiva funktioner
Uppgift 3.1
Funktionen f(t) = 80 beskriver en bils hastighet i km/h. Bilen är fabriksny och har inte åkt minsta lilla sträcka ännu, helt oanvänd. Bestäm en realistisk primitiv funktion F(t) och förklara vad denna beskriver.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(t)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["80t"]}}
security
report
code
security
report
code
f(t) består endast av en konstantterm och då behöver man bara lägga till en variabel.
f(t) är derivatan av den primitiva funktionen, och en derivata beskriver förändringen av något. I det här fallet beskriver f(t) en hastighet, och vad är det då som hastigheten är en förändring av? Det kan man använda enheten för att lista ut: Enhet föry' =Enhet föry/Enhet förx. I det här fallet motsvaras y' av f(t), y av F(t) och x av t: Enhet förf(t) =Enhet förF(t)/Enhet fört=km/h. Eftersom f(t) har enheten km/h måste F(t) ha enheten km. Det är en enhet för sträcka, och därför beskriver funktionen F(t) = 80t den sträcka (i km) som bilen har kört vid tiden t (i timmar).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Har f(x) = (- 2)^x någon primitiv funktion? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Eftersom x sitter i exponenten ser f(x) = (- 2)^x ut som en exponentialfunktion. Vi försöker hitta en primitiv funktion till den med hjälp av regeln för primitiva funktioner till exponentialfunktioner.
Det ser kanske ut som vi lyckats, men vad har ln(- 2) för värde? Uttrycket står för den exponenten på e som ger potensen -2. Men e^x är alltid positivt, så det här talet finns inte. Man kan förstås testa att knappa in det på räknaren.
Med vanliga inställningar får man då ett felmeddelande.
Värdet på ln(- 2) är alltså inte reellt och eftersom man oftast enbart räknar med reella tal, är svaret på frågan Nej.
Om räknarens inställningar ändras till att inkludera komplexa tal kan vi faktiskt hitta ett värde på ln(- 2).
Att hitta detta värde är överkurs, så fokusera inte på detaljerna. Men det är värt att tänka på att svaret beror på vilka talmängder man letar bland: Bland reella tal finns ingen primitiv funktion, men bland komplexa finns det.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
F(x) är en primitiv funktion till f(x) som i sin tur är en primitiv funktion till f'(x)=1/sqrt(x)+1/x^2, x > 0. Man vet att f(x) saknar konstantterm. Bestäm för vilket x-värde som F(x) har en stationär punkt. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{2^{\\dfrac{2}{3}}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma f(x) genom skriva om och hitta en primitiv funktion till f'(x). Vi väljer den som saknar konstantterm, dvs. den där C=0.
Nu ska vi bestämma det x-värde för vilket den primitiva funktionen till f(x), dvs. F(x), har en stationär punkt. Det är samma sak som att derivatan till F(x) ska vara lika med 0. Eftersom F(x) är primitiv funktion till f(x) så är f(x) dess derivata. Vi löser ekvationen f(x)=0.
F(x) har alltså en stationär punkt i x= 12^(2/3).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm alla primitiva funktioner F(x) om du vet att f'(x)=sqrt(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C","E"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\frac{9x^{\\frac{7}{3}}}{28}+Cx+E"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att F(x) är en primitiv funktion till f(x). Dessutom gäller att f(x) är primitiv funktion till f'(x). Vi ska alltså bestämma de funktioner som om de deriveras två gånger blir lika med funktionen f'(x)=sqrt(x). Vi börjar med att bestämma f(x) och kommer ihåg att lägga på konstanten C.
Nu känner vi till f(x) och kan bestämma alla primitiva funktioner F(x). Vi lägger även här på en godtycklig konstant som vi nu kallar E.
Nu ser vi att alla primitiva funktioner är
F(x)=9x^(.7 /3.)/28+Cx+E.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll