Bestämma primitiva funktioner

f(t) består endast av en konstantterm och då behöver man bara lägga till en variabel.

f(t) är derivatan av den primitiva funktionen, och en derivata beskriver förändringen av något. I det här fallet beskriver f(t) en hastighet, och vad är det då som hastigheten är en förändring av? Det kan man använda enheten för att lista ut: Enhet föry' =Enhet föry/Enhet förx.

I det här fallet motsvaras y' av f(t), y av F(t) och x av t: Enhet förf(t) =Enhet förF(t)/Enhet fört=km/h.

Eftersom f(t) har enheten km/h måste F(t) ha enheten km. Det är en enhet för sträcka, och därför beskriver funktionen F(t) = 80t den sträcka (i km) som bilen har kört vid tiden t (i timmar).

Eftersom x sitter i exponenten ser f(x) = (- 2)^x ut som en exponentialfunktion. Vi försöker hitta en primitiv funktion till den med hjälp av regeln för primitiva funktioner till exponentialfunktioner.

Det ser kanske ut som vi lyckats, men vad har ln(- 2) för värde? Uttrycket står för "den exponenten på e som ger potensen -2". Men e^x är alltid positivt, så det här talet finns inte. Man kan förstås testa att knappa in det på räknaren.

Med vanliga inställningar får man då ett felmeddelande.

Värdet på ln(- 2) är alltså inte reellt och eftersom man oftast enbart räknar med reella tal, är svaret på frågan Nej.

Om räknarens inställningar ändras till att inkludera komplexa tal kan vi faktiskt hitta ett värde på ln(- 2).

Att hitta detta värde är överkurs, så fokusera inte på detaljerna. Men det är värt att tänka på att svaret beror på vilka talmängder man letar bland: Bland reella tal finns ingen primitiv funktion, men bland komplexa finns det.

Vi börjar med att bestämma f(x) genom skriva om och hitta en primitiv funktion till f'(x). Vi väljer den som saknar konstantterm, dvs. den där C=0.

Nu ska vi bestämma det x-värde för vilket den primitiva funktionen till f(x), dvs. F(x), har en stationär punkt. Det är samma sak som att derivatan till F(x) ska vara lika med 0. Eftersom F(x) är primitiv funktion till f(x) så är f(x) dess derivata. Vi löser ekvationen f(x)=0.

F(x) har alltså en stationär punkt i x= 12^(2/3).

Vi vet att F(x) är en primitiv funktion till f(x). Dessutom gäller att f(x) är primitiv funktion till f'(x). Vi ska alltså bestämma de funktioner som om de deriveras två gånger blir lika med funktionen f'(x)=sqrt(x). Vi börjar med att bestämma f(x) och kommer ihåg att lägga på konstanten C.

Nu känner vi till f(x) och kan bestämma alla primitiva funktioner F(x). Vi lägger även här på en godtycklig konstant som vi nu kallar E.

Nu ser vi att alla primitiva funktioner är F(x)=9x^(.7 /3.)/28+Cx+E.