Bestämma primitiva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

När man bestämmer primitiva funktioner använder man de olika deriveringsreglerna "baklänges". På motsvarande sätt som D(f(x))D(f(x)) betyder att en funktion deriveras betyder D-1(f(x))D^{\text{-}1}(f(x)) att man bestämmer en primitiv funktion till f(x).f(x). Om man vill bestämma alla primitiva funktioner lägger man även till konstanten CC.
Regel

Primitiv funktion till potensfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en potensfunktion på formen f(x)=xnf(x)=x^n ökar man exponenten med 11 och dividerar med den nya exponenten.

Regel

D-1(xn)=xn+1n+1+CD^{\text{-1}}\left(x^n\right)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C

Samtliga primitiva funktioner till x5x^5 blir enligt regeln x66+C.\frac{x^6}{6}+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)=x66+C.F(x)=\frac{x^6}{6}+C. Om detta är en primitiv funktion ska derivatan bli x5.x^5. Värdet på konstanten CC spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.0.

F(x)=x66+CF(x)=\dfrac{x^6}{6}+C
F(x)=D(x66)+D(C)F'(x)=D\left(\dfrac{x^6}{6}\right)+D(C)
F(x)=D(x66)F'(x)=D\left(\dfrac{x^6}{6}\right)
F(x)=6x56F'(x)=\dfrac{6x^5}{6}
F(x)=x5F'(x)=x^5

Derivatan av x66\frac{x^6}{6} är alltså x5,x^5, och därför är x66\frac{x^6}{6} en primitiv funktion till x5.x^5. Regeln gäller för alla potensfunktioner där n-1.n\neq \text{-}1.

Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion med basen ee

För att bestämma en primitiv funktion till exponentialfunktioner med basen ee på formen f(x)=ekxf(x)=e^{kx} dividerar man dem med k.k.

Regel

D-1(ekx)=ekxk+CD^{\text{-1}}\left(e^{kx}\right)=\dfrac{e^{kx}}{k}+C

Samtliga primitiva funktioner till e3xe^{3x} blir enligt regeln e3x3+C.\frac{e^{3x}}{3}+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)=e3x3+C.F(x)=\frac{e^{3x}}{3}+C. Då ska derivatan bli e3x.e^{3x}.

F(x)=e3x3+CF(x)=\dfrac{e^{3x}}{3}+C
F(x)=D(e3x3)+D(C)F'(x)=D\left(\dfrac{e^{3x}}{3}\right)+D(C)
F(x)=D(e3x3)F'(x)=D\left(\dfrac{e^{3x}}{3}\right)
F(x)=3e3x3F'(x)=\dfrac{3e^{3x}}{3}
F(x)=e3xF'(x)=e^{3x}
Regeln gäller för k0k\neq 0.
Regel

Primitiv funktion till exponentialfunktion

För att bestämma en primitiv funktion till en exponentialfunktion på formen f(x)=axf(x)=a^x dividerar man den med naturliga logaritmen av a,a, dvs. ln(a).\ln(a).

Regel

D-1(ax)=axln(a)+CD^{\text{-1}}\left(a^x\right)=\dfrac{a^x}{\ln(a)}+C

Samtliga primitiva funktioner till 7x7^x kan alltså skrivas 7xln(7)+C.\frac{7^x}{\ln(7)}+C. Man kan visa det genom att derivera F(x)=7xln(7)+C.F(x)=\frac{7^x}{\ln(7)}+C. Derivatan ska då bli 7x.7^x. Värdet på konstanten CC spelar ingen roll eftersom konstanter försvinner vid derivering.

F(x)=7xln(7)+CF(x)=\dfrac{7^x}{\ln(7)}+C
F(x)=D(7xln(7))+D(C)F'(x)=D\left(\dfrac{7^x}{\ln(7)}\right)+D(C)
F(x)=D(7xln(7))F'(x)=D\left(\dfrac{7^x}{\ln(7)}\right)
F(x)=7xln(7)ln(7)F'(x)=\dfrac{7^x\cdot\ln(7)}{\ln(7)}
F(x)=7xF'(x)=7^x

Derivatan blev alltså 7x.7^x. Regeln gäller för alla exponentialfunktioner där a>0a \gt 0 och a1.a \neq 1.

Uppgift

Bestäm en primitiv funktion till f(x)=x3ochg(x)=5. f(x)=x^3 \quad \text{och} \quad g(x) = 5.

Lösning
Eftersom vi bara ska bestämma en primitiv funktion behöver vi inte lägga till konstanten C,C, varken till f(x)f(x) eller g(x).g(x). Vi börjar med f(x),f(x), som är en potensfunktion. Då ökar vi exponenten med 11 samtidigt som vi dividerar med den nya exponenten.
f(x)=x3f(x)=x^3
F(x)=D-1(x3)F(x)=D ^{\text{-}1}\left(x^3\right)
F(x)=x3+13+1F(x)=\dfrac{x^{3+1}}{3+1}
F(x)=x44F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}
En primitiv funktion till f(x)f(x) är alltså F(x)=x44. F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}. Nu tittar vi på funktionen g(x)=5,g(x) = 5, som är en konstant. Deriverar man en funktion på formen axax får man bara kvar a,a, så om man går åt andra hållet och bestämmer en primitiv funktion till en konstant, t.ex. 5,5, får man 5x.5x. Man lägger alltså till ett xx efter konstanten.
g(x)=5g(x) = 5
G(x)=D-1(5)G(x) = D ^{\text{-}1} (5)
G(x)=5xG(x) = 5x
En primitiv funktion till g(x)g(x) är alltså G(x)=5x. G(x) = 5x. För att undersöka om man har gjort rätt kan man derivera F(x)F(x) och G(x)G(x) för att sedan kontrollera att man får tillbaka den ursprungliga funktionen. Gör man det får man F(x)=x3F'(x)=x^3 respektive G(x)=5,G'(x)=5, alltså f(x)f(x) och g(x),g(x), vilket betyder att vi har gjort rätt.


Visa lösning Visa lösning
Regel

Generella regler för primitiva funktioner

När man bestämmer en primitiv funktion använder man deriveringsreglerna baklänges. Generella regler för derivering gäller därför också när man bestämmer primitiva funktioner. T.ex. behandlas termerna var för sig.

Primitiv funktion term för term

På liknande sätt påverkas inte koefficienter – de följer med. Exempelvis påverkas inte 22:an när man bestämmer en primitiv funktion till f(x)=2e7x.f(x)=2e^{7x}.

Primitiv funktion koefficienter följer med
Uppgift

Bestäm alla primitiva funktioner till f(x)=8x32e4x. f(x)=8x^3-2e^{4x}.

Lösning
Vi tittar på en term i taget och använder lämpliga regler för att bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom vi ska bestämma alla primitiva funktion måste vi också komma ihåg att lägga till en konstant C.C.
f(x)=8x32e4xf(x)=8x^3-2e^{4x}
F(x)=D-1(8x3)D-1(2e4x)+CF(x)=D ^{\text{-}1}\left(8x^3\right)-D ^{\text{-}1}\left(2e^{4x}\right)+C
F(x)=8x44D-1(2e4x)+CF(x)=\dfrac{8x^4}{4}-D ^{\text{-}1}\left(2e^{4x}\right)+C
F(x)=8x442e4x4+CF(x)=\dfrac{8x^4}{4}-\dfrac{2e^{4x}}{4}+C
F(x)=2x42e4x4+CF(x)=2x^4-\dfrac{2e^{4x}}{4}+C
F(x)=2x4e4x2+CF(x)=2x^4-\dfrac{e^{4x}}{2}+C
Samtliga primitiva funktioner är alltså F(x)=2x4e4x2+C. F(x)=2x^4-\frac{e^{4x}}{2}+C.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}