body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Tf

Trigonometriska funktioner Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

2.

Trigonometriska funktioner

Lektionen ger en omfattande översikt över trigonometriska funktioner, inklusive grundläggande begrepp som sinus, cosinus och tangens. Den förklarar hur man kan använda dessa funktioner för att lösa problem som involverar rätvinkliga trianglar, såsom att beräkna hypotenusan eller vinklarna. Sidan erbjuder också formler och metoder för att räkna ut olika delar av en triangel, som kateter och vinklar, med hjälp av trigonometri. Det finns också exempel och förklaringar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa trigonometri i olika matematiska och verkliga sammanhang.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Trigonometriska funktioner

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Sinus
Cosinus
Tangens
Arcsinus
Arccosinus
Arctangens

Förkunskaper

Vinkel
Rät vinkel
Rätvinklig triangel
Pythagoras sats

Regel

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel

v

definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

$sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}$

$cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}$

$tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}$

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är

0, 5

betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.

Exempel

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

Använd triangeln för att bestämma $cos (3 0^{\circ}) .$

Ledtråd

Börja med att hitta den saknade vinkeln i den givna triangeln. Använd sedan Pythagoras sats för att hitta den saknade sidan.

Lösning

Ingen av de två markerade vinklarna är

3 0^{\circ},

men eftersom en triangelns vinkelsumma är

18 0^{\circ}

måste toppvinkeln, som vi kallar

v,

vara det:

9 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + v = 18 0^{\circ} \Leftrightarrow v = 3 0^{\circ} .

Cosinus för en vinkel är definierat som närliggande katet dividerat med hypotenusan, så vi måste ta reda på denna katet. Vi kallar den

a

och beräknar längden med Pythagoras sats.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$b = 1$ och $c = 2$

a^{2} + 1^{2} = 2^{2}

Beräkna potens

a^{2} + 1 = 4

$VL - 1 = HL - 1$

a^{2} = 3

$VL = HL$

a = \pm 3

$a > 0$

a = 3

Närliggande katet är alltså

3

och toppvinkeln

3 0^{\circ} .

Nu kan vi bestämma

cos (3 0^{\circ}) .

cos (3 0^{\circ}) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa} = \frac{3}{2}

Det exakta värdet för

cos (3 0^{\circ})

är alltså

\frac{3}{2} .

Genom att använda räknarens verktyg för cosinus får vi reda på att det är ungefär lika med

0, 87 .

Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande.

cos (3 0^{\circ}) = 0, 86602 \dots sin (4 5^{\circ}) = 0, 70710 \dots tan (6 0^{\circ}) = 1, 73205 \dots

Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel $v$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin (v)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos (v)$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan (v)$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan $1$ (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan $1,$ som halverats (blå).

Härledning

Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

För att ta fram vinklar och sidor i den gröna triangeln utgår man från en rätvinklig, likbent triangel där hypotenusan är $1$ le. Eftersom triangeln är rätvinklig och likbent blir de övriga vinklarna i triangeln $4 5^{\circ}$ vardera.

Katetlängderna är som sagt lika långa så genom att kalla dem båda för

x

kan man beräkna deras längd med Pythagoras sats.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

x^{2} + x^{2} = 1^{2}

Förenkla potens & termer

2 x^{2} = 1

$VL / 2 = HL / 2$

x^{2} = \frac{1}{2}

$VL = HL$

x = \pm \frac{1}{2}

$x > 0$

x = \frac{1}{2}

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

x = \frac{1}{2}

Nu kan vi komplettera triangeln med dess katetlängder.

Den blå triangeln får man genom att dela en liksidig triangel med sidan $1$ på mitten, vinkelrätt mot t.ex. basen. Eftersom ursprungstriangeln är liksidig är alla dess vinklar $6 0^{\circ}$ , och den halva triangeln får därför toppvinkeln $3 0^{\circ} .$ Basen halveras och får längden $\frac{1}{2} .$

Höjden, $h,$ kan beräknas med Pythagoras sats.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

h^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = 1^{2}

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

h^{2} + \frac{1}{4} = 1

$VL - \frac{1}{4} = HL - \frac{1}{4}$

h^{2} = 1 - \frac{1}{4}

Skriv $1$ som $\frac{4}{4}$

h^{2} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}

Subtrahera bråk

h^{2} = \frac{3}{4}

$VL = HL$

h = \pm \frac{3}{4}

$h > 0$

h = \frac{3}{4}

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

h = \frac{3}{2}

Höjden i den blå triangeln är alltså $\frac{3}{2} .$

Eftersom man nu har härlett varför trianglarna ser ut som de gör kan de användas för att motivera specifika trigonometriska värden.

Regel

Vinkeln $3 0^{\circ}$

För standardvinkeln $3 0^{\circ}$ används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

sin (3 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{N a ¨ rliggande}{Hypotenusan} = \frac{3 / 2}{1} = \frac{3}{2} .

Härledning

tan (3 0^{\circ}) = \frac{1}{3}

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

tan (3 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{N a ¨ rliggande} = \frac{1 / 2}{3 / 2} = \frac{1}{3} .

Regel

Vinkeln $4 5^{\circ}$

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för $4 5^{\circ}$ används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av $4 5^{\circ} -$ vinklarna man utgår ifrån.

Härledning

sin (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

I en rätvinklig triangel definieras sinus som motstående katet dividerat med hypotenusan:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

cos (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{N a ¨ rliggande}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

tan (4 5^{\circ}) = 1

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

tan (4 5^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{N a ¨ rliggande} = \frac{1 / 2}{1 / 2} = 1 .

Regel

Vinkeln $6 0^{\circ}$

För att ta fram de trigonometriska värdena för $6 0^{\circ}$ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för $3 0^{\circ} -$ vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. $sin (3 0^{\circ}) = cos (6 0^{\circ})$ och $cos (3 0^{\circ}) = sin (6 0^{\circ}) .$

Härledning

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Sinus definieras i en rätvinklig triangel som motstående katet dividerat med hypotenusan:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{Hypotenusan} = \frac{3 / 2}{1} = \frac{3}{2} .

Härledning

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Cosinusvärdet bestäms genom att dividera den närliggande kateten med hypotenusan:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{N a ¨ rliggande}{Hypotenusan} = \frac{1 / 2}{1} = \frac{1}{2} .

Härledning

tan (6 0^{\circ}) = 3

Tangens beräknas genom att dividera motstående kateten med den närliggande:

tan (6 0^{\circ}) = \frac{Motst a ˚ ende}{N a ¨ rliggande} = \frac{3 / 2}{1 / 2} = 3 .

Exempel

Hitta det exakta värdet av de trigonometriska funktionerna

Use an appropriate triangle to find the exact value of

sin 3 0^{\circ},

cos 3 0^{\circ},

and

tan 3 0^{\circ} .

Ledtråd

Consider using half an equilateral triangle.

Lösning

An equilateral triangle of any size can be used to find the requested values. The inner angles of the triangle all measure $6 0^{\circ} .$ For simplicity, choose a triangle whose sides all measure $1$ unit.

This triangle can be split in half using an angle bisector, resulting in two right triangles that are the same. Here, we need to pay close attention to only one side.

One leg of this triangle measures

\frac{1}{2},

and its hypotenuse measures

1 .

Find the length of the missing leg using the Pythagoras theorem.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

(\frac{1}{2})^{2} + x^{2} = 1^{2}

▼

Lös ut

x

Beräkna potens

\frac{1}{4} + x^{2} = 1

$VL - \frac{1}{4} = HL - \frac{1}{4}$

x^{2} = 1 - \frac{1}{4}

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

x^{2} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}

Subtrahera bråk

x^{2} = \frac{4 - 1}{4}

Subtrahera term

x^{2} = \frac{3}{4}

$VL = HL$

x = \frac{3}{4}

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

x = \frac{3}{4}

Beräkna rot

x = \frac{3}{2}

The exact length of the missing leg is

\frac{3}{2} .

Using the

3 0^{\circ}

angle as a reference, the adjacent leg measures

\frac{3}{2},

the opposite leg

\frac{1}{2},

and the hypotenuse

1 .

This is enough information to find the requested measures.

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

sin 3 0^{\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{1}

$\frac{a}{1} = a$

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

Find

cos 3 0^{\circ}

in a similar way.

cos (v) = \frac{N a ¨ rliggande katet}{Hypotenusa}

SubstituteValues

Sätt in värden

cos 3 0^{\circ} = \frac{\frac{3}{2}}{1}

$\frac{a}{1} = a$

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

Finally, find

tan 3 0^{\circ} .

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan 3 0^{\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}

$\frac{a / b}{c / d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}

Multiplicera bråk

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}

Knowing this, the values can now be paired.

sin 3 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{1}{3}

Regel

Arcusfunktioner

Om man känner till förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel, dvs. sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för en vinkel, kan man använda arcusfunktionerna för att beräkna denna vinkel. En vanlig arcusfunktion är arcussinus (arcsin), vilken kan ses som motsats till sinus.

På samma sätt är arcuscosinus (arccos) motsats till cosinus och arcustangens (arctan) motsats till tangens.

Man kan alltså gå fram och tillbaka mellan en vinkel och motsvarande tangens-, sinus- och cosinusvärde. Detta illustreras nedan med några cosinusvärden.

I vissa fall, bland annat på flera räknare, skrivs arcusfunktionerna

tan^{- 1},

sin^{- 1}

och

cos^{- 1} .

Dessa ska alltså inte tolkas som potenser.

Villkor

Vinklar

Det finns oändligt många vinklar med samma sinus-, cosinus- eller tangensvärde. Man måste därför välja vilken som ska returneras då värdet sätts in i motsvarande arcusfunktion. För $arccos,$ $arcsin$ och $arctan$ gäller följande intervall.

$arccos$ ger en vinkel $v$ inom $0^{\circ} \leq v \leq 18 0^{\circ}$
$arcsin$ ger en vinkel $v$ inom $- 9 0^{\circ} \leq v \leq 9 0^{\circ}$
$arctan$ ger en vinkel $v$ inom $- 9 0^{\circ} < v < 9 0^{\circ}$

Man kan jämföra detta problem med när man drar kvadratroten ur ett tal, där man har valt att definiera $4$ som $2$ och inte $- 2 .$

Exempel

Hitta vinkeln med hjälp av arcusfunktioner

Consider the following right triangle.

Find the measure of the angle

v .

Round the answer to

1

decimal place.

Ledtråd

Find which trigonometric function relates the known sides using angle $v$ as a reference. Use its corresponding inverse function.

Lösning

The given right triangle shows the measure of both of its legs.

Using angle

v

as reference, the opposite leg measures

19

cm, and the adjacent leg

25

cm. The tangent function relates these legs.

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}

Substitute the known values and use the inverse tangent function,

tan^{- 1} .

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet}

SubstituteValues

Sätt in värden

tan v = \frac{1 9}{2 5}

$arctan (VL) = arctan (HL)$

v = tan^{- 1} (\frac{1 9}{2 5})

Slå in på räknare

v = 37, 234833 \dots^{\circ}

Avrunda till $1$ decimal(er)

v \approx 37, 2^{\circ}

Angle

v

measures about

37, 2^{\circ} .

Övning

Träna på att bestämma vinklar med hjälp av arcusfunktioner

I varje av de följande rätvinkliga trianglarna är två sidor givna. Använd ett passande arcusfunktioner för att bestämma $m ∠ θ .$ Avrunda ditt svar till närmaste grad.

Applet som genererar en rätvinklig triangel med några okända mått.

Trigonometriska funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.