Rotuttryck och exponenter på bråkform

Först och främst får b inte vara negativt, för då blir det roten ur ett negativt tal, vilket saknar reella lösningar. b≥0 ? Men, sedan är det ju så att man inte får dela med 0, så sqrt(b) får heller inte vara 0. Villkoret för b kan vi därför skriva som b>0. b> 0 ✓

Utan räknare kan vi inte räkna ut de individuella rötterna. Men om vi använder sqrt(a)* sqrt(b)=sqrt(a* b) kan vi sätta talen under ett och samma rottecken.

Svaret sqrt(180) är exakt men enligt uppgiften ska vi svara med så litet rotuttryck som möjligt. Delar vi upp faktorerna under rottecknet ytterligare kan vi kanske bilda perfekta kvadrater och därefter använda regeln baklänges: sqrt(a* b)=sqrt(a)* sqrt(b), och därmed minimera vårt rotuttryck.

Vi kan alltså skriva om sqrt(2)* sqrt(6)* sqrt(5) * sqrt(3) som 6sqrt(5).

Vi uppskattar talens storlek genom lämpliga resonemang.

Tal A

Vi söker det tal som gånger sig självt blir 8,5. Eftersom 3*3=9 innebär det att sqrt(8,5) borde vara något mindre än 3.

Tal B

0,24 är ungefär lika 0,25. Det betyder att sqrt(0,24) är ungefär sqrt(0,25) som är 0,5.

Tal C

Här kan vi uppskatta sqrt(65) och sqrt(3,9) var för sig. sqrt(64) är lika med 8 så sqrt(65) ≈ 8. Med samma resonemang kan vi uppskatta sqrt(3,9) till ungefär 2. Tal C är alltså: sqrt(65)/sqrt(3.9)≈8/2=4.

Tal D

Även här behandlar vi sqrt(1) och sqrt(80) var för sig. Kvadratroten ur 1 är lika med 1. sqrt(80) är ungefär 9 eftersom 9 * 9 är 81. Tal D är alltså ungefär 1 + 9 =10. Nu kan vi placera talen i storleksordning.

Vi förenklar först täljaren och nämnaren för sig så långt det går.

Svaret är alltså 6^(12).

Vi kan börja med att skriva om rotuttrycken enligt reglerna $sqrt(a)=a^(12)$ och $sqrt(a)=a^(1n)$ så att vi får en potens med bas a även i vänsterledet.

Nu har vi en potens i både vänster- och högerled med basen a. Det innebär att vi kan likställa exponenterna och lösa ut n.

Lösningen är alltså n=- 43.

Vi ska alltså ställa upp ett uttryck för längden av den blå respektive röda pilen. Eftersom de går precis längs med hagarnas kant kan vi räkna med att sträckan de går är lika lång som hagarnas sidor.

Petters sträcka

Petter måste gå längs med den vågräta och lodräta sidan av både hage A och B. Båda hagarna är kvadratiska och en kvadrats area beräknas genom att multiplicera dess sidor. Den första kvadraten har arean a vilket ger oss ett uttryck för dess sida.

Eftersom hagens sida inte kan vara negativ valde vi bort den negativa lösningen. Med samma resonomang blir sidan sqrt(b) för hagen med area b. Som tidigare nämnts går Petter längs med den vågräta och lodräta sidan av både hage A och B så sammanlagt går Petter sträckan 2sqrt(a)+2sqrt(b) le.

Qristoffers sträcka

Arean för hage C var lika stor som summan av de mindre hagarna, dvs. (a+b) ae. Vi inser då att sidan på hage C kan skrivas som sqrt(a+b) enligt samma resonemang som förts tidigare. Qristoffer gick alltså sträckan 2sqrt(a+b) le.

Skillnaden mellan dessa blir då 2sqrt(a)+2sqrt(b)-2sqrt(a+b)le., vilket även kan skrivas 2(sqrt(a)+sqrt(b)-sqrt(a+b)).

Vi börjar med att förenkla uttrycket 9 + 9 och skriver sedan om de två inre rotuttrycken som ett.

Uttryckets värde är alltså 3.

Det yttersta rottecknet sparas till sist. Vi börjar med att förenkla varje bråk för sig så långt som möjligt tills alla rotuttryck utom det yttersta är borta.

Nu vill vi addera dessa bråk till ett enda. Det gör vi genom att först förlänga 13 med 3 så att alla bråk får samma nämnare. Slutligen kan vi dra roten ur täljare och nämnare var för sig.

Uttryckets värde är 43.

Rotuttrycken kan skrivas om som potenser och eftersom de har samma bas kan exponenterna adderas.

Nu har vi skrivit om uttrycket i potensform. Nästa steg blir att jämföra värdet på detta uttryck med sqrt(5), som ju även kan skrivas som 5^(12).

Vi vet att sqrt(5) är ungefär lika med 1,14. Uttrycket har alltså ett värde som är ~1,14 * sqrt(5), vilket är större än sqrt(5). Svaret är alltså ja.

En upprepad addition kan vi skriva som en multiplikation, tex är 2+2+2=3 * 2. Låt oss kalla antalet gånger som 5^2 ska adderas under rottecknet för n. Vi får då ekvationen sqrt(n* 5^2)=5^2+5^2+5^2. Genom att lösa ut n kan vi bestämma antalet gånger som 5^2 ska adderas för att ekvationen ska stämma.

Man ska alltså addera 5^2 med sig själv 225 gånger.

Eftersom x är kvadrerad skulle det underlätta om högerledet kan skrivas som en potens med exponenten 2. När vi drar roten ur ekvationen blir vi av med potenserna vilket underlättar beräkningen.

Nu har vi kommit en bit på vägen. Produkten 9 * 98 är inte helt lätt att räkna i huvudet. Men om vi gör omskrivningen 9 * 98=9(100-2) blir den enklare att beräkna med distributiva lagen, dvs. genom att multiplicera in 9:an.

x är alltså lika med 882.

Vi kan inte beräkna sqrt(25) i huvudet, och vi kan inte heller förkorta bråket eftersom vi har termer i nämnaren. Men vi kan skriva om nämnaren till en produkt då vi har tre stycken sqrt(25), vilket kan skrivas om som 3*sqrt(25). Därefter kan vi förkorta.

För att komma vidare i förenklingen skriver vi om rotuttrycken till potenser och använder därefter potenslagarna för att förenkla ytterligare.

Det exakta svaret är alltså 53.

Genom att skriva om exponenten som summan 1+0,5 kan vi därefter använda potenslagarna för att skriva om uttrycket som ett rotuttryck.

Räknaren kan inte dra roten ur negativa tal och visar felmeddelandet "ERR:NONREAL ANS" när man försöker beräkna uttrycket. Därför är svaret B.