Rotuttryck och exponenter på bråkform: Konsten att skriva om rötter

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadratrot
Rotuttryck
Multiplikation och division med rotuttryck
Rationell exponent

Förkunskaper

Rationella tal
Reella tal
Potens
Exponent

Teori

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal $a,$ vilket skrivs $a,$ är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir $a .$ Exempelvis är $16$ lika med $4$ eftersom $4 \cdot 4 = 16$ och på samma sätt är $25$ lika med $5$ eftersom $5 \cdot 5 = 25 .$ Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

$a \cdot a = a eller (a)^{2} = a$

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal $a$ som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka $a .$

Om man beräknar kvadratroten ur $9$ kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet $3,$ trots att även $(- 3)^{2}$ är lika med $9 .$ Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom $(-) \cdot (-) = (+) .$ Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är $- 16$ odefinierat.

Teori

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket $327,$ vilket utläses kubikroten ur $27$ eller tredje roten ur $27,$ så anger $3 : an$ typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt $3$ gånger blir $27,$ alltså $3 .$ Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är $n a$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger är lika med $a .$

$n st . n a \cdot n a \cdot \dots \cdot n a = a$

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck. Ett annat sätt att skriva rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, dvs.

a^{1 / n}

eller

a^{b / n} .

Teori

Rotuttryck på räknare

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen $,$ vilken kan skrivas genom att trycka på $2 ND$ och sedan $x^{2} .$ Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja $3 ($ följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt

Extra

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

Därefter trycker man på MATH och väljer $x,$ där $x : et$ står för en godtycklig rot.

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker $ENTER .$

Exempel

Hitta sjätteroten

Beräkna följande rot.

664

Ledtråd

Notera att $64 = 8^{2} .$ I sin tur, notera att $8 = 2^{3} .$

Lösning

Den givna roten är en sjätterot, så svaret kommer sannolikt att vara ett litet tal. Börja med att notera att

64

är kvadraten av

8 .

64 = 8^{2}

Dessutom är

8

kuben av

2 .

8 = 2^{3}

Använd denna information för att skriva om rotuttryck.

664

Substitute

$64 = 8^{2}$

6 8^{2}

Substitute

$8 = 2^{3}$

6 (2^{3})^{2}

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

6 (2^{3}) \cdot (2^{3})

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

6 (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)

RemovePar

Ta bort parentes

6 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Uttrycket inuti roten är

2

multiplicerat med sig själv

6

gånger. Därför är sjätteroten

2 .

664 = 6 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2

Teori

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. $2 \cdot 8,$ finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna $2$ eller $8$ separat men man kan skriva om $2 \cdot 8$ som $16,$ vilket är lika med $4 .$ Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

n a \cdot n b = n a \cdot b

En produkt av två rotuttryck, t.ex. $42 \cdot 43$ , kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 2 \cdot 3 .$ Man kan motivera varför genom att skriva $42 \cdot 43$ som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

42 \cdot 43

RootToPowSL

$n a = a^{1 / n}$

2^{1 / 4} \cdot 3^{1 / 4}

ProdPow

$a^{c} \cdot b^{c} = (a \cdot b)^{c}$

(2 \cdot 3)^{1 / 4}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

4 2 \cdot 3

Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då

a \cdot b,

inte

2 a \cdot b .

Regel

\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}

En kvot av två rotuttryck, t.ex. $\frac{4 2}{4 3},$ kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 \frac{2}{3} .$ Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

\frac{4 2}{4 3}

RootToPowSL

$n a = a^{1 / n}$

\frac{2 ^{1 / 4}}{3 ^{1 / 4}}

QuotPow

$\frac{a ^{c}}{b ^{c}} = (\frac{a}{b})^{c}$

(\frac{2}{3})^{1 / 4}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

4 \frac{2}{3}

Regeln gäller om

a

och

b

är reella, där

a

är icke-negativt och

b

är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva

\frac{a}{b}

och inte

2 \frac{a}{b} .

Exempel

Förenkla rotuttrycket

Beräkna utan räknare:

\frac{6 \cdot 3}{2} .

Ledtråd

Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.

Lösning

Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.

\frac{6 \cdot 3}{2}

MultRoot

$a \cdot b = a \cdot b$

\frac{6 \cdot 3}{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{1 8}{2}

DivSqrt

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

\frac{1 8}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

9

CalcRoot

Beräkna rot

3

Uttrycket kan alltså förenklas till

3 .

Man kan också beräkna det genom att skriva

6

som

2 \cdot 3 .

\frac{6 \cdot 3}{2}

Rewrite

Skriv $6$ som $2 \cdot 3$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

SqrtProd

$a \cdot b = a \cdot b$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

3 \cdot 3

MultSqrt

$a \cdot a = a$

3

Teori

Rationell exponent

Man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten.

Regel

n a = a^{1 / n}

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.

(9)^{2} = 9 .

Ur detta kan man lösa ut

9

genom att höja upp båda led med

1 / 2

och använda potenslagarna.

(9)^{2} = 9

RaiseEqn

$VL^{1 / 2} = HL^{1 / 2}$

((9)^{2})^{1 / 2} = 9^{1 / 2}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

(9)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 9^{1 / 2}

DenomMultFracToNumber

$2 \cdot \frac{a}{2} = a$

(9)^{1} = 9^{1 / 2}

ExponentOne

$a^{1} = a$

9 = 9^{1 / 2}

Kvadratroten ur

9

kan alltså skrivas

9^{1 / 2} .

Denna regel brukar uttryckas som

a = a^{1 / 2} .

På liknande sätt kan man motivera att

3 a = a^{1 / 3},

eller mer generellt

n a = a^{1 / n} .

Regel

n a^{b} = a^{b / n}

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är

1,

t.ex.

8^{2 / 5},

kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens:

8^{2 / 5} = 5 8^{2} = (58)^{2} .

Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

n a^{b} = a^{b / n}

Man kan utgå från t.ex.

5 8^{2}

och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.

5 8^{2}

RootToPowD

$n a = a^{\frac{1}{n}}$

(8^{2})^{\frac{1}{5}}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

8^{2 \cdot \frac{1}{5}}

MoveLeftFacToNumOne

$a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$

8^{\frac{2}{5}}

Rotuttrycket

5 8^{2}

kan alltså skrivas som

8^{2 / 5} .

Med samma motivering som för

n a^{b} = a^{b / n}

kan man även visa omskrivningen

(n a)^{b} = a^{b / n} .

Teori

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket som ser ut så här: $\land .$ Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen $x^{2}$ för att upphöja det till $2 .$

Extra

Exponenter på bråkform

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om $\land$ hamnar i exponenten.

Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Exempel

Hitta värdet i exponenten

Bestäm

n

i nedanstående ekvation.

x^{n} \cdot 4 x^{3} \cdot 8 x = x^{\frac{1 1}{8}}

Ledtråd

Skriva om rotuttrycken enligt $x = x^{\frac{1}{2}}$ och $n x^{m} = x^{\frac{m}{n}} .$

Lösning

Börja med att skriva om rotuttrycken med hjälp av

x = x^{\frac{1}{2}}

och

n x^{m} = x^{\frac{m}{n}} .

x^{n} \cdot 4 x^{3} \cdot 8 x = x^{\frac{1 1}{8}}

SqrtToPowD

$a = a^{\frac{1}{2}}$

(x^{n})^{\frac{1}{2}} \cdot 4 x^{3} \cdot 8 x = x^{\frac{1 1}{8}}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

x^{\frac{n}{2}} \cdot 4 x^{3} \cdot 8 x = x^{\frac{1 1}{8}}

$n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$

x^{\frac{n}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{1 1}{8}}

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

x^{\frac{n}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{8}} = x^{\frac{1 1}{8}}

Båda sidorna av ovanstående ekvation har samma bas,

x,

så exponenterna kan sättas lika med varandra.

\frac{n}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1 1}{8}

ExpandFrac

Förläng med $4$

\frac{n \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1 1}{8}

ExpandFrac

Förläng med $2$

\frac{n \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8} = \frac{1 1}{8}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{4 n}{8} + \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1 1}{8}

AddFrac

Addera bråk

\frac{4 n + 7}{8} = \frac{1 1}{8}

MultEqn

$VL \cdot 8 = HL \cdot 8$

4 n + 7 = 11

SubEqn

$VL - 7 = HL - 7$

4 n = 11 - 7

SubTerm

Subtrahera term

4 n = 4

DivEqn

$VL / 4 = HL / 4$

n = 1

Lösningen är alltså

n = 1 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Extra

Ledtråd

Lösning

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning

Regel

Regel

Regel

Extra

Ledtråd

Lösning