Logga in
| 10 sidor teori |
| 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Drar man kvadratroten ur ett positivt tal a som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Notera att 64=82. I sin tur, notera att 8=23.
64=82
8=23
a2=a⋅a
a3=a⋅a⋅a
Ta bort parentes
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2 eller 8 separat men man kan skriva om 2⋅8 som 16, vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
En produkt av två rotuttryck, t.ex. 42⋅43, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 42⋅3. Man kan motivera varför genom att skriva 42⋅43 som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b, inte 2a⋅b.En kvot av två rotuttryck, t.ex. 4342, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 432. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ba och inte 2ba.Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
a⋅b=a⋅b
Multiplicera faktorer
ba=ba
Beräkna kvot
Beräkna rot
Skriv 6 som 2⋅3
a⋅b=a⋅b
Stryk faktorer
Förenkla kvot
a⋅a=a
VL1/2=HL1/2
(ab)c=ab⋅c
2⋅2a=a
a1=a
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧ hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Skriva om rotuttrycken enligt x=x21 och nxm=xnm.
a=a21
(ab)c=ab⋅c
nam=anm
ab⋅ac=ab+c
Förläng med 4
Förläng med 2
Multiplicera faktorer
Addera bråk
VL⋅8=HL⋅8
VL−7=HL−7
Subtrahera term
VL/4=HL/4
Beräkna värdet av uttrycket med räknare. Svara med två decimaler.
Roten sqrt(34) går inte att räkna ut exakt i decimalform, så vi måste slå in den på en räknare. För att slå in ett rotentecken trycker vi på 2ND och x^2 och därefter talet vi ska dra roten ur. Kom ihåg högerparentesen.
Roten ur 34 är alltså ungefär 5,83.
Vi adderar först talen innanför roten så vi får uttrycket sqrt(7) och beräknar sedan detta med hjälp av räknare.
Vi vet nu att sqrt(7) är ca 2,65.
Det går inte att förenkla uttrycket, så vi blir tvungna att slå in båda rötterna på miniräknare.
På displayen ser vi att svaret är ca 3,65.
Vi slår in uttrycket på miniräknaren och avrundar sedan till två värdesiffror.
Uttrycket vi beräknat är alltså lika med ca 10,25.
Beräkna utan räknare.
Roten ur 3 anger det tal som multiplicerat med sig själv ger 3.
Roten ur 53 anger det tal som multiplicerat med sig själv ger 53. Vi skriver potensen som en produkt enligt a^2=a* a och kan därefter använda samma metod som tidigare.
(sqrt(53))^2 är alltså lika med 53. Man kan säga att roten ur
och upphöjt till 2
tar ut varandra. De är vad man kallar inverser.
Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Vi börjar med att beräkna det som står under rottecknet.
Uttryckets värde är 5.
Som tidigare förenklar vi uttrycket under rottecknet först.
Uttryckets värde är 6.
Bestäm utan räknare och kontrollera svaret med räknare.
Eftersom 12*12 är lika med 144 är sqrt(144)=12. Vi kontrollerar svaret med räknaren genom att trycka på Sqrt (2nd+x^2) och sedan det tal vi vill dra roten ur.
Eftersom 0,5*0,5 är lika med 0,25 är sqrt(0,25)=0,5. Vi kontrollerar med hjälp av räknaren på samma sätt som i föregående deluppgift.
Att beräkna roten ur ett bråk är samma sak som att dra roten ur täljare och nämnare var för sig.
Svaret blir alltså 23. När vi nu kontrollerar svaret med räknaren måste vi sätta parenteser runt bråket.
Notera att 23 är detsamma som 0,66666..., så de två svaren är lika.
En potens med exponenten 12 kan skrivas om som kvadratroten ur basen. Det vill säga, roten ur något tal ska bli 3. Vi vet från gångertabellen att 3 * 3 = 9, så vi är ute efter sqrt(9) . Nu skriver vi det som en potens. sqrt(9)=9^(1/2) Talet 3 kan alltså skrivas som potensen 9^(12).
Vi letar efter ett tal som vi ska dra roten ur för att få 3. Vi kan formulera detta med ekvationen
sqrt(a) = 3,
där a är vårt sökta tal. Genom att kvadrera båda led kan vi bestämma vilket tal vi ska sätta 12 på för att få 3.
Talet 3 kan alltså skrivas som potensen 9^(12).
Vi kallar kvadratens sidlängd för s.
Det betyder att arean kan beskrivas av uttrycket s^2 Då får vi en ekvation som vi kan lösa genom att dra kvadratroten ur båda led.
Eftersom längder alltid är positiva är vi inte intresserade av den negativa lösningen. Kvadratens sidlängd är alltså 8 cm.
Femteroten ur ett tal 17 kan vi skriva som sqrt(17), men femteroten ur ett tal är samma sak som att höja upp det talet till 15. Det betyder att sqrt(17)=17^(15).
Beräkna värdet av uttrycket med räknare. Svara med två decimaler.
Vi använder verktygen för rotuttryck på räknaren. Genom att trycka på MATH hittar vi tredje roten ur och väljer det alternativet.
Därefter skriver vi in 9 och avslutar med parentes.
Vi avrundar till två decimaler och får då ~2,08.
Vi använder räknarens verktyg för rötter. Vi måste skriva typ av rot, 4, innan vi går in i MATH-menyn och väljer sqrt().
Avrundning till två decimaler ger ~ 3,83.
Vi skriver in uttrycket i räknaren. Kom ihåg att sätta parenteser runt produkten.
Nu avrundar vi till två decimaler och får ~17,72.
Vi kan skriva in uttrycket direkt på räknaren på liknande sätt som innan.
Avrundning ger ~8,37.
Beräkna värdet på uttrycket utan räknare. Kontrollera sedan ditt svar med räknare.
När man höjer upp ett tal till 12 är det samma sak som att dra roten ur talet.
Uttrycket 16^(12) är lika med 4.
Vi beräknar värdet av uttrycket 16^(12) på räknaren genom att slå in talet 16, trycka på ^ och skriva in bråktalet 12 inom parentes. Avsluta med ENTER.
Vi kan skriva om 27^(13) som sqrt(27), dvs. det tal som multiplicerat tre gånger blir 27. Vi vet från gångertabellen att 27=3 * 9, vilket vi kan dela upp ytterligare till 27= 3 * 3 * 3. Alltså är 27^(13) lika med 3.
Vi beräknar värdet av uttrycket 27^(13) på räknaren genom att skriva in på samma sätt som i föregående uppgift.
Beräkna uttrycket med räknare och avrunda till tre decimaler.
Vi börjar med att trycka på 2nd + x^2 för att skriva rottecknet tillsammans med början på en parentes. Vi skriver sedan 18, avslutar parentesen och trycker på ENTER.
Avrundat till tre decimaler blir det 4,243.
Det finns ingen speciell knapp för femte roten ur på räknaren, så vi måste sqrt(). För att använda det skriver man först in den rot man vill dra ur något, i det här fallet 5, trycker sedan på MATH och väljer sqrt(). Sedan skriver man in det man vill dra femte roten ur, alltså 18.
Femte roten ur 75 blir alltså ungefär 2,371.
I samma meny som vi hittade sqrt() finns det ett för tredje roten ur. Vi trycker alltså på MATH, väljer sqrt() och skriver sedan in 1057.
Avrundat till tre decimaler blir det 10,187.
En kubs volym beräknas genom att multiplicerar sidan tre gånger. Om kubens sida är s är volymen V=s^3. Vi sätter in den kända volymen 216 cm^3 och löser sedan ut sidan s genom att dra kubikroten ur båda led.
Kubens sida är 6cm.