10. Rotuttryck och exponenter på bråkform
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
10.
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Denna sida fokuserar på konceptet roten ur och relaterade ämnen som kvadratroten, tredje roten ur, och olika regler och metoder för att arbeta med rotuttryck. Sidan förklarar begreppet kvadratrot som det positiva talet som, när det multipliceras med sig självt, blir ett specifikt värde. Den tar också upp villkor och undantag för kvadratrötter. Vidare beskrivs olika typer av rotuttryck, inklusive hur man kan använda en räknare för att beräkna dem. Sidan innehåller också regler för multiplikation och division med rotuttryck och hur man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten. Detta material är användbart för studenter som vill förstå och tillämpa dessa matematiska koncept.
| | 10 sidor teori |
| | 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Sida av 10
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Multiplikation och division med rotuttryck
- Rationell exponent
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs sqrt(a), är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är sqrt(16) lika med 4 eftersom 4 * 4 = 16 och på samma sätt är sqrt(25) lika med 5 eftersom 5* 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
sqrt(a)*sqrt(a)=a eller (sqrt(a))^2=a
Drar man kvadratroten ur ett positivt tal a som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.
- Om man beräknar kvadratroten ur 9 kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet 3, trots att även (- 3)^2 är lika med 9. Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
- Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom (-)* (-)=(+). Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är sqrt(- 16) odefinierat.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket sqrt(27), vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är sqrt(a) det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
sqrt(a) * sqrt(a) * ... * sqrt(a)_(nst.)=a
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Rotuttryck på räknare
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen sqrt(), vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x^2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja sqrt()(
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer sqrt(),
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta sjätteroten
Beräkna följande rot. sqrt(64)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Notera att 64=8^2. I sin tur, notera att 8 = 2^3.
Lösning
Den givna roten är en sjätterot, så svaret kommer sannolikt att vara ett litet tal. Börja med att notera att 64 är kvadraten av 8.
64 = 8^2
Dessutom är 8 kuben av 2.
8 = 2^3
Använd denna information för att skriva om rotuttryck.
sqrt(64)
Substitute
64= 8^2
sqrt(8^2)
Substitute
8= 2^3
sqrt((2^3)^2)
PowToProdTwoFac
a^2=a* a
sqrt((2^3)* (2^3))
PowToProdThreeFac
a^3=a* a* a
sqrt((2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2))
RemovePar
Ta bort parentes
sqrt(2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)
Uttrycket inuti roten är 2 multiplicerat med sig själv 6 gånger. Därför är sjätteroten 2. sqrt(64) &= sqrt(2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2) &= 2
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. sqrt(2)* sqrt(8), finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna sqrt(2) eller sqrt(8) separat men man kan skriva om sqrt(2)*sqrt(8) som sqrt(16), vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
sqrt(a) * sqrt(b)=sqrt(a * b)En produkt av två rotuttryck, t.ex. sqrt(2)*sqrt(3), kan skrivas som ett enda rotuttryck: sqrt(2* 3). Man kan motivera varför genom att skriva sqrt(2)* sqrt(3) som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
sqrt(2)* sqrt(3)
RootToPowSL
sqrt(a)=a^(1/n)
2^(.1 /4.)* 3^(.1 /4.)
ProdPow
a^c* b^c=(a * b)^c
(2* 3)^(.1 /4.)
PowToRootSL
a^(1/n)=sqrt(a)
sqrt(2* 3)
Regel
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a/b)En kvot av två rotuttryck, t.ex. sqrt(2)/sqrt(3), kan skrivas som ett enda rotuttryck: sqrt(2/3). Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
sqrt(2)/sqrt(3)
RootToPowSL
sqrt(a)=a^(1/n)
2^(.1 /4.)/3^(.1 /4.)
QuotPow
a^c/b^c=(a/b)^c
(2/3)^(.1 /4.)
PowToRootSL
a^(1/n)=sqrt(a)
sqrt(2/3)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Förenkla rotuttrycket
Beräkna utan räknare: sqrt(6)*sqrt(3)/sqrt(2).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
sqrt(6)*sqrt(3)/sqrt(2)
MultRoot
sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(a* b)
sqrt(6* 3)/sqrt(2)
Multiply
Multiplicera faktorer
sqrt(18)/sqrt(2)
DivSqrt
sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)
sqrt(18/2)
CalcQuot
Beräkna kvot
sqrt(9)
CalcRoot
Beräkna rot
3
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2*3.
sqrt(6)*sqrt(3)/sqrt(2)
Rewrite
Skriv 6 som 2*3
sqrt(2*3)*sqrt(3)/sqrt(2)
SqrtProd
sqrt(a* b)=sqrt(a)*sqrt(b)
sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(3)/sqrt(2)
CrossCommonFac
Stryk faktorer
sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(3)/sqrt(2)
SimpQuot
Förenkla kvot
sqrt(3)*sqrt(3)
MultSqrt
sqrt(a)* sqrt(a)= a
3
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Rationell exponent
Man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten.
Regel
sqrt(a)=a^(1/n)Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex. (sqrt(9))^2=9. Ur detta kan man lösa ut sqrt(9) genom att höja upp båda led med .1 /2. och använda potenslagarna.
(sqrt(9))^2=9
RaiseEqn
VL^(.1 /2.)=HL^(.1 /2.)
((sqrt(9))^2)^(.1 /2.)=9^(.1 /2.)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
(sqrt(9))^(2* 12)=9^(.1 /2.)
DenomMultFracToNumber
2 * a/2= a
(sqrt(9))^1=9^(.1 /2.)
ExponentOne
a^1=a
sqrt(9)=9^(.1 /2.)
Regel
sqrt(a^b)=a^(.b /n.)En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 1, t.ex. 8^(.2 /5.), kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: 8^(.2 /5.)=sqrt(8^2) = (sqrt(8))^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.
Regel
sqrt(a^b)=a^(.b /n.)Man kan utgå från t.ex. sqrt(8^2) och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
sqrt(8^2)
RootToPowD
sqrt(a)=a^(1n)
(8^2)^(15)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
8^(2* 1 5)
MoveLeftFacToNumOne
a* 1/b= a/b
8^(2 5)
Rotuttrycket sqrt(8^2) kan alltså skrivas som 8^(.2 /5.). Med samma motivering som för sqrt(a^b)=a^(.b /n.) kan man även visa omskrivningen (sqrt(a))^b=a^(.b /n.).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Potenser på räknare
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ^(∧). Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x^2 för att upphöja det till 2.
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ^(∧) hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta värdet i exponenten
Bestäm n i nedanstående ekvation. sqrt(x^n) * sqrt(x^3) * sqrt(x) = x^(118)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"n=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
Ledtråd
Skriva om rotuttrycken enligt sqrt(x) = x^(12) och sqrt(x^m)=x^(mn).
Lösning
Börja med att skriva om rotuttrycken med hjälp av sqrt(x) = x^(12) och sqrt(x^m)=x^(mn).
sqrt(x^n) * sqrt(x^3) * sqrt(x) = x^(118)
SqrtToPowD
sqrt(a)=a^(12)
(x^n)^(12) * sqrt(x^3) * sqrt(x) = x^(118)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
x^(n2) * sqrt(x^3) * sqrt(x) = x^(118)
sqrt(a^m)=a^(mn)
x^(n2) * x^(34) * x^(18) = x^(118)
MultPow
a^b*a^c=a^(b+c)
x^(n2+ 34+ 18) = x^(118)
Båda sidorna av ovanstående ekvation har samma bas, x, så exponenterna kan sättas lika med varandra.
n/2 + 3/4 + 1/8 = 11/8
ExpandFrac
Förläng med 4
n * 4/2 * 4 + 3/4 + 1/8 = 11/8
ExpandFrac
Förläng med 2
n * 4/2 * 4 + 3 * 2/4 * 2 + 1/8 = 11/8
Multiply
Multiplicera faktorer
4n/8 + 6/8 + 1/8 = 11/8
AddFrac
Addera bråk
4n+7/8 = 11/8
MultEqn
VL * 8=HL* 8
4n+7 = 11
SubEqn
VL-7=HL-7
4n = 11-7
SubTerm
Subtrahera term
4n = 4
DivEqn
.VL /4.=.HL /4.
n = 1
Lösningen är alltså n=1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Uppgift 2.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["20"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar värdet av termerna 10sqrt(64) och 5(sqrt(12))^2 var för sig innan vi subtraherar. Kom ihåg att (sqrt(a))^2=a.
Uttrycket är lika med 20.
Först förenklar vi termerna under rottecknen och sedan kvadratrötterna.
Uttrycket förenklades till 9.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck. 5^(12)/5^(23)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt[6]{5}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla uttrycket med potenslagarna. Sedan skriver vi om potensen som ett rotuttryck.
Svaret är alltså 1sqrt(5).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skriv en potens med exponenten 13 och som är lika med 5.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["125^{\\dfrac{1}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
En potens med exponenten 13 kan skrivas som kubikroten ur basen, dvs. a^(13)=sqrt(a). Om vi kan hitta ett tal vars kubikrot är 5, kan vi använda det. Om man multiplicerar 5 med sig själv tre gånger får man 5*5*5=125. Det betyder att kubikroten ur 125 är 5, dvs. sqrt(125) = 5. Vi använder detta.
Talet 5 kan skrivas som potensen 125^(13).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om potenserna som kvadratrötter. Därefter förenklar vi term för term.
Vi förenklar uttrycket term för term. Den högra termen förenklar vi med potenslagarna.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7^{\\dfrac{3}{2}}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^{\\dfrac{2}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om rotuttrycken som potenser. Sedan använder vi potenslagarna för att förenkla.
Uttrycket kan skrivas som potensen 7^(32).
Vi löser denna uppgift på samma sätt som den förra, men här har vi kubikrötter istället för kvadratrötter.
Vi får alltså 5^(23).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beräkna uttryckets värde utan räknare. 7 + sqrt(7) * sqrt(7) - sqrt(98/2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar hela uttryckets värde genom att förenkla det steg för steg. Först förenklar vi termerna sqrt(7) * sqrt(7) och sqrt(982).
Uttryckets värde är 7.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["s"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6s"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Kvadratens area beräknar vi genom kvadrera sidan. Det betyder att arean av kvadraten blir (3s)^2 = 9s^2. En kvadrat med fyra gånger större area har arean 4*9s^2=36s^2. Vi kallar denna sida för u.
Om vi kvadrerar sidan får vi arean. Det betyder att u^2=36s^2, och vi får ett uttryck för u genom att dra kvadratroten ur detta.
Den större kvadratens sida är 6s.
6s är dubbelt så stort som 3s, så den stora kvadratens sida är dubbelt så lång som till den lillas.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{6}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt[7]{13}"]}}
security
report
code
security
report
code
I täljare och nämnaren har vi två potenser. Eftersom båda har samma bas kan vi skriva om dem som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraheras från exponenten i täljaren.
Vi löser uppgiften på samma sätt som tidigare.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Ungefär hur många procent längre blir sidan på en kvadrat om vi fördubblar arean? Avrunda till närmaste tiotals procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"%","answer":{"text":["40"]}}
security
report
code
security
report
code
I figuren visas den mindre kvadraten med sidan s_1 och arean A samt den större kvadraten med sidan s_2 och arean 2A.
Vi börjar med ett uttryck för sidan på den första kvadraten. Arean för en kvadrat är sida gånger sida, och vi får ut sidan genom att dra kvadratroten ur båda sidor ur ekvationen.
Eftersom en sträcka inte kan vara negativ är endast den positiva lösningen giltig. Sidan i den mindre kvadraten är alltså sqrt(A) le. lång. Nu ställer vi upp ett uttryck för den större kvadratens sida då arean fördubblas.
Även här väljs den positiva lösningen. Så sidan ökar från längden sqrt(A) le. till ungefär 1,4sqrt(A) le. En förändringsfaktor på 1,4 innebär en ökning på 40 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen. x^(12)=9
Nationella provet VT12 1c
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["81"]}}
security
report
code
security
report
code
x^(12) kan skrivas om som sqrt(x), vilket ger oss sqrt(x)=9. Det betyder att lösningen på ekvationen är det tal som, om man drar kvadratroten ur det, blir 9. Eftersom 9^2 är lika med 81 är sqrt(81)=9. Ekvationens lösning är därför x=81.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll