10. Rotuttryck och exponenter på bråkform
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
10.
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Denna sida fokuserar på konceptet roten ur och relaterade ämnen som kvadratroten, tredje roten ur, och olika regler och metoder för att arbeta med rotuttryck. Sidan förklarar begreppet kvadratrot som det positiva talet som, när det multipliceras med sig självt, blir ett specifikt värde. Den tar också upp villkor och undantag för kvadratrötter. Vidare beskrivs olika typer av rotuttryck, inklusive hur man kan använda en räknare för att beräkna dem. Sidan innehåller också regler för multiplikation och division med rotuttryck och hur man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten. Detta material är användbart för studenter som vill förstå och tillämpa dessa matematiska koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 10 sidor teori |
| | 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Sida av 10
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Multiplikation och division med rotuttryck
- Rationell exponent
Förkunskaper
Teori
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Drar man kvadratroten ur ett positivt tal a som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.
- Om man beräknar kvadratroten ur 9 kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet 3, trots att även (−3)2 är lika med 9. Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
- Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom (−)⋅(−)=(+). Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är −16 odefinierat.
Teori
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Teori
Rotuttryck på räknare
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Exempel
Hitta sjätteroten
Beräkna följande rot.
664
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Notera att 64=82. I sin tur, notera att 8=23.
Lösning
Den givna roten är en sjätterot, så svaret kommer sannolikt att vara ett litet tal. Börja med att notera att 64 är kvadraten av 8.
Uttrycket inuti roten är 2 multiplicerat med sig själv 6 gånger. Därför är sjätteroten 2.
64=82
Dessutom är 8 kuben av 2.
8=23
Använd denna information för att skriva om rotuttryck.
664
Substitute
64=82
682
Substitute
8=23
6(23)2
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
6(23)⋅(23)
PowToProdThreeFac
a3=a⋅a⋅a
6(2⋅2⋅2)⋅(2⋅2⋅2)
RemovePar
Ta bort parentes
62⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
664=62⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=2
Teori
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2 eller 8 separat men man kan skriva om 2⋅8 som 16, vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
na⋅nb=na⋅bEn produkt av två rotuttryck, t.ex. 42⋅43, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 42⋅3. Man kan motivera varför genom att skriva 42⋅43 som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b, inte 2a⋅b.Regel
nbna=nbaEn kvot av två rotuttryck, t.ex. 4342, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 432. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ba och inte 2ba.Exempel
Förenkla rotuttrycket
Beräkna utan räknare:
26⋅3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2⋅3.
26⋅3
MultRoot
a⋅b=a⋅b
26⋅3
Multiply
Multiplicera faktorer
218
DivSqrt
ba=ba
218
CalcQuot
Beräkna kvot
9
CalcRoot
Beräkna rot
3
26⋅3
Rewrite
Skriv 6 som 2⋅3
22⋅3⋅3
SqrtProd
a⋅b=a⋅b
22⋅3⋅3
CrossCommonFac
Stryk faktorer
22⋅3⋅3
SimpQuot
Förenkla kvot
3⋅3
MultSqrt
a⋅a=a
3
Teori
Rationell exponent
Man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten.
Regel
na=a1/n
Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 91/2. Denna regel brukar uttryckas som a=a1/2. På liknande sätt kan man motivera att 3a=a1/3, eller mer generellt na=a1/n.
(9)2=9.
Ur detta kan man lösa ut 9 genom att höja upp båda led med 1/2 och använda potenslagarna.
(9)2=9
RaiseEqn
VL1/2=HL1/2
((9)2)1/2=91/2
PowPow
(ab)c=ab⋅c
(9)2⋅21=91/2
DenomMultFracToNumber
2⋅2a=a
(9)1=91/2
ExponentOne
a1=a
9=91/2
Regel
nab=ab/n
En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 1, t.ex. 82/5, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens:
82/5=582=(58)2.
Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket. Regel
nab=ab/nMan kan utgå från t.ex. 582 och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
Rotuttrycket 582 kan alltså skrivas som 82/5. Med samma motivering som för nab=ab/n kan man även visa omskrivningen (na)b=ab/n.
Teori
Potenser på räknare
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧ hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Exempel
Hitta värdet i exponenten
Bestäm n i nedanstående ekvation.
xn⋅4x3⋅8x=x811
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">n<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
Ledtråd
Skriva om rotuttrycken enligt x=x21 och nxm=xnm.
Lösning
Börja med att skriva om rotuttrycken med hjälp av x=x21 och nxm=xnm.
Båda sidorna av ovanstående ekvation har samma bas, x, så exponenterna kan sättas lika med varandra.
Lösningen är alltså n=1.
xn⋅4x3⋅8x=x811
SqrtToPowD
a=a21
(xn)21⋅4x3⋅8x=x811
PowPow
(ab)c=ab⋅c
x2n⋅4x3⋅8x=x811
nam=anm
x2n⋅x43⋅x81=x811
MultPow
ab⋅ac=ab+c
x2n+43+81=x811
2n+43+81=811
ExpandFrac
Förläng med 4
2⋅4n⋅4+43+81=811
ExpandFrac
Förläng med 2
2⋅4n⋅4+4⋅23⋅2+81=811
Multiply
Multiplicera faktorer
84n+86+81=811
AddFrac
Addera bråk
84n+7=811
MultEqn
VL⋅8=HL⋅8
4n+7=11
SubEqn
VL−7=HL−7
4n=11−7
SubTerm
Subtrahera term
4n=4
DivEqn
VL/4=HL/4
n=1
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Övningar
Beräkna uttryckets värde utan räknare.
1064−5(12)2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["20"]}}
315+10−312−8
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar värdet av termerna 10sqrt(64) och 5(sqrt(12))^2 var för sig innan vi subtraherar. Kom ihåg att (sqrt(a))^2=a.
Uttrycket är lika med 20.
Först förenklar vi termerna under rottecknen och sedan kvadratrötterna.
Uttrycket förenklades till 9.
security
report
code
Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck.
532521
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\sqrt[6]{5}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla uttrycket med potenslagarna. Sedan skriver vi om potensen som ett rotuttryck.
Svaret är alltså 1sqrt(5).
security
report
code
Skriv en potens med exponenten 31 och som är lika med 5.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["125^{\\dfrac{1}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
En potens med exponenten 13 kan skrivas som kubikroten ur basen, dvs. a^(13)=sqrt(a). Om vi kan hitta ett tal vars kubikrot är 5, kan vi använda det. Om man multiplicerar 5 med sig själv tre gånger får man 5*5*5=125. Det betyder att kubikroten ur 125 är 5, dvs. sqrt(125) = 5. Vi använder detta.
Talet 5 kan skrivas som potensen 125^(13).
security
report
code
Beräkna följande uttryck utan räknare.
3+921−321⋅321
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
2−831+431⋅432
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om potenserna som kvadratrötter. Därefter förenklar vi term för term.
Vi förenklar uttrycket term för term. Den högra termen förenklar vi med potenslagarna.
security
report
code
Skriv uttrycket som en potens.
7⋅7⋅7
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7^{\\dfrac{3}{2}}"]}}
35⋅35
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^{\\dfrac{2}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om rotuttrycken som potenser. Sedan använder vi potenslagarna för att förenkla.
Uttrycket kan skrivas som potensen 7^(32).
Vi löser denna uppgift på samma sätt som den förra, men här har vi kubikrötter istället för kvadratrötter.
Vi får alltså 5^(23).
security
report
code
Beräkna uttryckets värde utan räknare.
7+7⋅7−298
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar hela uttryckets värde genom att förenkla det steg för steg. Först förenklar vi termerna sqrt(7) * sqrt(7) och sqrt(982).
Uttryckets värde är 7.
security
report
code
Nedanstående kvadrat har sidan 3s.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["s"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6s"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Kvadratens area beräknar vi genom kvadrera sidan. Det betyder att arean av kvadraten blir (3s)^2 = 9s^2. En kvadrat med fyra gånger större area har arean 4*9s^2=36s^2. Vi kallar denna sida för u.
Om vi kvadrerar sidan får vi arean. Det betyder att u^2=36s^2, och vi får ett uttryck för u genom att dra kvadratroten ur detta.
Den större kvadratens sida är 6s.
6s är dubbelt så stort som 3s, så den stora kvadratens sida är dubbelt så lång som till den lillas.
security
report
code
Förenkla uttrycket så långt som möjligt. Svara med ett rotuttryck.
641643
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{6}"]}}
13−72⋅13721375
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt[7]{13}"]}}
security
report
code
security
report
code
I täljare och nämnaren har vi två potenser. Eftersom båda har samma bas kan vi skriva om dem som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraheras från exponenten i täljaren.
Vi löser uppgiften på samma sätt som tidigare.
security
report
code
Ungefär hur många procent längre blir sidan på en kvadrat om vi fördubblar arean? Avrunda till närmaste tiotals procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["40"]}}
security
report
code
security
report
code
I figuren visas den mindre kvadraten med sidan s_1 och arean A samt den större kvadraten med sidan s_2 och arean 2A.
Vi börjar med ett uttryck för sidan på den första kvadraten. Arean för en kvadrat är sida gånger sida, och vi får ut sidan genom att dra kvadratroten ur båda sidor ur ekvationen.
Eftersom en sträcka inte kan vara negativ är endast den positiva lösningen giltig. Sidan i den mindre kvadraten är alltså sqrt(A) le. lång. Nu ställer vi upp ett uttryck för den större kvadratens sida då arean fördubblas.
Även här väljs den positiva lösningen. Så sidan ökar från längden sqrt(A) le. till ungefär 1,4sqrt(A) le. En förändringsfaktor på 1,4 innebär en ökning på 40 %.
security
report
code
Lös ekvationen.
x21=9
Nationella provet VT12 1c
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["81"]}}
security
report
code
security
report
code
x^(12) kan skrivas om som sqrt(x), vilket ger oss sqrt(x)=9. Det betyder att lösningen på ekvationen är det tal som, om man drar kvadratroten ur det, blir 9. Eftersom 9^2 är lika med 81 är sqrt(81)=9. Ekvationens lösning är därför x=81.
security
report
code
Rotuttryck och exponenter på bråkform
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll