Räta linjers egenskaper

Parallella linjer har samma lutning och därför samma k-värde, så linjen L ska alltså ha k-värdet - 2 för att vara parallell med y = - 2x + 3. Då kan L beskrivas av ekvationen y = - 2x + m. För att bestämma konstanttermen m sätter vi in den kända punktens koordinater i ekvationen och löser ut m.

Linjens ekvation är y = - 2x + 13. Vi ritar linjen i ett koordinatsystem.

g(x) är parallell med f(x). Det betyder att de har samma lutning, så vi börjar med att bestämma lutningen till f(x).

Lutningen för f(x) är 1. Det betyder att lutningen till g(x) också är 1. Vi känner även till en punkt på g(x), så vi kan använda enpunktsformen för att bestämma funktionsuttrycket.

Linjen beskrivs av g(x)=x+8.

Eftersom linjerna är vinkelräta är produkten av deras lutningar -1. Lutningen för y= 79x-5 är 79, och vi använder det för att bestämma den andra linjens lutning.

Den andra linjen har alltså lutningen k=- 97. Vi sätter in punkterna i k-formeln, likställer med detta k-värde, och löser ut a.

Den okända koordinaten är alltså 469.

Parallella linjer har samma lutning. Vid första anblick ser det ut som att linjerna har samma lutning men detta kan vi inte med säkerhet säga utan att beräkna k-värdet för båda linjer. Den ena linjen skulle kunna ha lutningen k=-2 och den andra k=-1,9999, och då kommer de att skära varandra någonstans. Vi behöver alltså känna till k-värdena för de två linjerna, eller ha möjlighet att räkna ut dem, för att kunna avgöra om de är parallella.

Vi börjar med att sätta in de fyra punkterna i ett koordinatsystem.

Om två linjer ska passera alla dessa punkter måste varje linje gå igenom två av punkterna. Testar vi att rita in linjer på detta sätt ser vi att den blå och den röda kombinationen ger linjer som uppenbart inte är parallella, eftersom de skär varandra.

Det sista sättet att rita ut linjerna ser mer lovande ut.

För visa att linjerna är parallella undersöker vi deras k-värden. Vi kallar k-värdet för linjen genom B och C för k_(BC) och den andra lutningen för k_(AD). Båda linjerna stiger med 3 steg i y-led för varje steg åt höger i x-led, vilket innebär att de har k-värdet 3: k_(BC)=k_(AD)=3. Samma k-värde innebär att de är parallella.

Om linjerna L_1 och L_2 ska vara parallella måste de ha samma lutning. Vi vet att linjen L_2 har lutningen k = 7, så linjen L_1 måste även den ha lutningen k = 7. Det sökta k-värdet är alltså 7.

I den första kvadranten är både x- och y-värdena positiva, vilket innebär att det är sådana skärningspunkter vi letar efter. Nedan har vi ritat linjerna L_1 och L_2 när k = 7, alltså när de är parallella och saknar skärningspunkt.

Om man nu ökar lutningen för linjen L_2 så skulle de två linjerna mötas någonstans uppe i den första kvadranten. Ju mer man ökar lutningen desto närmare skulle skärningspunkten komma y-axeln, men den skulle aldrig komma fram till den. Alla k-värden över 7 ger alltså en skärningspunkt i första kvadranten. Till exempel ger k=14 följande linje.

Skulle man i stället låta lutningen för L_2 vara under 7 kommer skärningspunkten först att finnas längs ner till vänster i tredje kvadranten för att till slut hamna i andra kvadranten när L_2 har en starkt negativ lutning. Den skulle dock aldrig komma in i första kvadranten. Svaret på frågan är alltså att vi får en skärningspunkt i första kvadranten för alla k-värden större än 7.

Eftersom Anna har totalt 7 km till skolan kan sträckan y hon har kvar att cykla efter x antal minuter uttryckas som y=7-s km, där s är så långt hon har cyklat. Vi behöver nu ett uttryck för s, dvs. hur långt Anna har cyklat efter x minuter. Sträckan beräknas genom att multiplicera hastigheten med tiden. Efter x minuter har Anna alltså cyklat s=0,35x km. Vi sätter in s=0,35x i y=7-s. Ett uttryck för hur långt Anna har kvar att cykla är därför y=7-0,35x.

g(2) är det y-värde som funktionen g(x) antar när x=2. Vi läser av detta i koordinatsystemet.

Vi ser att funktionsvärdet är 6. Det betyder att g(2)=6.

Vad innebär olikheten f(x)< g(x)? Jo, det innebär att funktionsvärdet för f(x) (blå) är mindre än för g(x) (röd). I koordinatsystemet betyder detta att grafen till f(x) befinner sig under grafen till g(x).

Vi ser att g(x) är ovanför f(x) mellan x-värdena - 1 och 5. Vi får därför - 1 < x < 5.

Vi börjar med att ta reda på vilka två av graferna A, B och C som har ekvationerna y=2x-3 och y=0,5x+8. Vet vi det måste den graf som blir över vara den vi ska bestämma ekvationen till. Av de tre graferna är det endast C som skär den negativa y-axeln, vilket innebär att den motsvarande ekvationen är den enda som kommer att ha ett negativ m-värde. Det innebär att den givna ekvationen y = 2x - 3 måste motsvara C. C : y=2x-3 Vi vet från uppgiften att det finns två linjer som är parallella, vilket måste vara B och C i figuren. Om två linjer är parallella har de samma lutning, vilket anges av k-värdet i ekvationen. Linje C har lutningen 2 och då måste även B ha det. Eftersom den givna ekvationen y = 0,5x + 8 inte har den lutningen måste den motsvara A. A : y=0,5x + 8 Detta betyder att det är linjen B som inte är given och som vi försöker bestämma ekvationen till. Om linjen B vet vi att den ha samma lutning som C och att den skär y-axeln i samma punkt som A. Linjen C har lutningen 2 och linjen A har m-värde 8, vilket ger att B måste ha ekvationen y=2x+8. Det är alltså ekvationen till den tredje linjen.