body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1c Visa detaljer

2. Räta linjers egenskaper

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1c , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 6

Räta linjers egenskaper

Lektionen behandlar egenskaperna hos räta linjer inom matematik. Den förklarar olika sätt att representera linjer, inklusive allmän form och k-form, och hur man kan använda dessa för att förstå linjernas egenskaper. Det finns också information om hur man kan avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta mot varandra. Lektionen innehåller exempel och övningar som hjälper till att förstå dessa koncept, vilket gör den användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer.

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	33 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Räta linjens ekvation
Parallella linjer
Vinkelräta linjer
Allmän form rät linje
Enpunktsform

Teori

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k -$ form.

y = k x + m

$k -$ och $m -$ värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. $k$ anger lutningen och $m$ är det $y -$ värde där linjen skär $y -$ axeln. I koordinatsystemet har linjen $k -$ värdet $2$ och $m -$ värdet $1 .$

Teori

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på $k -$ form innebär det att deras $k -$ värden, $k_{1}$ och $k_{2},$ är samma.

$k_{1} = k_{2}$

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma $m -$ värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.

Bevis

Betrakta två olika icke-vertikala linjer

ℓ_{1}

och

ℓ_{2}

som har samma lutning

k_{1} = k_{2} = k .

Deras ekvationer kan skrivas i

k -

form.

ℓ_{1} : y = k x + m_{1} ℓ_{2} : y = k x + m_{2}

Eftersom dessa linjer är distinkta, är

m_{1}

och

m_{2}

inte lika. Med denna information i åtanke, anta att linjerna skär varandra. Att lösa ekvationssystemet ger skärningspunkten. Substitutionsmetoden kommer att användas.

{y = k x + m_{1} y = k x + m_{2} (I) (II)

Substitute

$(I):$ $y = k x + m_{2}$

{k x + m_{2} = k x + m_{1} y = k x + m_{2}

SubEqn

$(I):$ $VL - k x = HL - k x$

{m_{2} = m_{1} y = k x + m_{2}

Det erhållna resultatet motsäger faktumet att

m_{1}

och

m_{2}

är olika. Därför finns det ingen skärningspunkt mellan linjerna

ℓ_{1}

och

ℓ_{2} .

Detta betyder att de är parallella linjer.

$k_{1} = k_{2} \Rightarrow ℓ_{1} ∥ ℓ_{2}$

Den andra implikationen är också sann. Om linjerna är parallella, då har de samma lutning.

Exempel

Är linjerna parallella?

Är den räta linjen som går igenom punkterna

(1, 2)

och

(3, 8)

parallell med linjen

y = 3 x + 5 ?

Ledtråd

Kontrollera om linjerna har samma $k -$ värde.

Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma

k -

värde. Den räta linjen

y = 3 x + 5

har

k -

värdet

3 .

Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i

k -

formeln.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 8)$ & $(1, 2)$

k = \frac{8 - 2}{3 - 1}

SubTerms

Subtrahera termer

k = \frac{6}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 3

Linjerna har alltså samma

k -

värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika

m -

värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in

k = 3

samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex.

(1, 2),

i räta linjens ekvation.

y = 3 x + m

SubstituteII

$x = 1$ och $y = 2$

2 = 3 \cdot 1 + m

Multiply

Multiplicera faktorer

2 = 3 + m

SubEqn

$VL - 3 = HL - 3$

- 1 = m

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

m = - 1

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså

y = 3 x - 1 .

Denna linje och

y = 3 x + 5

har samma

k -

värde men olika

m -

värden och är därmed parallella.

Teori

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln $9 0^{\circ}$ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter,

k_{1}

och

k_{2},

lika med

- 1 .

$k_{1} \cdot k_{2} = - 1$

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras

k -

värden. Om produkten blir

- 1

är de vinkelräta.

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Ledtråd

Kontrollera om $k -$ värdena på linjerna har en produkt av $- 1 .$

Lösning

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras

k -

värden är

- 1 .

Vi kan läsa av att lutningarna är

- 2

och

0, 4,

så det är bara att multiplicera dem:

- 2 \cdot 0, 4 = - 0, 8 .

Produkten blev inte

- 1,

så linjerna är inte vinkelräta.

Teori

Allmän form

Alla linjer går inte att skriva på $k -$ form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.

$a x + b y + c = 0$

Flera kombinationer av konstanterna $a,$ $b$ och $c$ kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.

Allmän form	$2 x + 3 y - 5 = 0$	$2 x + 3 y = 5$
Horisontell linje	$y - 4 = 0$	$y = 4$
Vertikal linje	$x - 7 = 0$	$x = 7$

För icke-vertikala linjer, om du löser ut

y,

får du linjen skriven i

k -

form.

Exempel

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Skriv den räta linjen

2 y + 8 - 4 x = 0

på

k -

form.

Ledtråd

Isolera $y$ på ena sidan av ekvationen.

Lösning

För att skriva om linjen till

k -

form löser vi ut

y .

2 y + 8 - 4 x = 0

AddEqn

$VL + 4 x = HL + 4 x$

2 y + 8 = 4 x

SubEqn

$VL - 8 = HL - 8$

2 y = 4 x - 8

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

y = 2 x - 4

Den räta linjen är alltså

y = 2 x - 4

på

k -

form.

Exempel

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Skriv linjen

y = 0, 4 x - 7

på allmän form.

Ledtråd

Flytta alla termer till ena sidan av likhetstecknet.

Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med

10

eftersom produkten av

10 \cdot 0, 4

är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y = 0, 4 x - 7

MultEqn

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

10 y = 4 x - 70

SubEqn

$VL - 4 x = HL - 4 x$

10 y - 4 x = - 70

AddEqn

$VL + 70 = HL + 70$

10 y - 4 x + 70 = 0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med

2 .

På allmän form skrivs linjen alltså

5 y - 2 x + 35 = 0 .

Teori

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast $k -$ form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt $(x_{1}, y_{1})$ som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

$y - y_{1} = k (x - x_{1})$

Sätter man in de kända koordinaterna $x_{1}$ och $y_{1}$ i enpunktsformen och löser ut $y$ får man linjen på $k -$ form.

Härledning

y - y_{1} = k (x - x_{1})

Enpunktsform är egentligen bara en omskrivning av formeln för att beräkna en linjes riktningskoefficient.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

MultEqn

$VL \cdot (x_{2} - x_{1}) = HL \cdot (x_{2} - x_{1})$

k (x_{2} - x_{1}) = y_{2} - y_{1}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

y_{2} - y_{1} = k (x_{2} - x_{1})

Den specifika punkten

(x_{2}, y_{2})

byts sedan ut till den allmänna

(x, y),

vilket ger enpunktsformen.

Exempel

Omvandla enpunktsform till andra former

a Skriv om linjen

y + 4 = \frac{1}{4} (x + 1)

k -

form.

b Skriv om linjen

y - 35 = 5 (x + 1)

i generell form.

Ledtråd

a Använd distributiva lagen och isolera

y -

variabeln på ena sidan av likhetstecknet.

b Använd distributiva lagen och flytta alla termer till ena sidan av likhetstecknet.

Lösning

a Ekvationen är i enpunktsform. För att skriva den i

k -

form kommer

y -

variabeln att isoleras och sedan kommer den distributiva lagen att tillämpas.

y + 4 = \frac{1}{4} (x + 1)

SubEqn

$VL - 4 = HL - 4$

y = \frac{1}{4} (x + 1) - 4

Distr

Multiplicera in $\frac{1}{4}$

y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 1 - 4

MultByOne

$a \cdot 1 = a$

y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} - 4

NumberToFrac

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} - \frac{1 6}{4}

SubTerm

Subtrahera term

y = \frac{1}{4} x - \frac{1 5}{4}

b Vi samlar alla termer på ena sidan av likhetstecknet när vi skriver en rät linje i allmän form.

y - 35 = 5 (x + 1)

SubEqn

$VL - 5 (x + 1) = HL - 5 (x + 1)$

- 5 (x + 1) + y - 35 = 0

Distr

Multiplicera in $- 5$

- 5 x + (- 5) \cdot 1 + y - 35 = 0

MultNegPos

$(- a) b = - a b$

- 5 x - 5 + y - 35 = 0

RearrangeTerms

Omarrangera termer

- 5 x + y - 5 - 35 = 0

SubTerm

Subtrahera term

- 5 x + y - 40 = 0

Eftersom koefficienterna och konstanten i ekvationen inte har någon gemensam faktor kan ekvationen inte förenklas ytterligare. Den allmänna formen av den givna ekvationen är

- 5 x + y - 40 = 0 .

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Räta linjers egenskaper

Bestäm värdet på $a .$

Två räta linjer och ett linjesegment som bildar en rätvinklig triangel.

Den blå linjen går igenom (a,- 3 a) och origo. Sätter vi in dessa punkter i k-formeln kan vi bestämma linjens lutning, k_1.

Eftersom den röda linjen bildar 90^(∘) med den blå linjen är de vinkelräta. Då gäller sambandet k_1* k_2=- 1 som vi kan sätta in k_1 = - 3 i, vilket gör att vi kan beräkna den röda linjens lutning, k_2.

Vi kan också ställa upp ett uttryck för den röda linjens k-värde baserat på k-formeln och de två punkterna (2a,2) och (0,0).

Sätter vi dessa två uttryck för k_2 som lika med varandra får vi 1/3 = 1/a, vilket vi kan lösa ut att a = 3 ur.

Grafen till en linjär funktion går igenom punkterna

P_{1} = (a, 4 a) och P_{2} = (a^{2}, (2 a)^{2}) .

Bestäm linjens ekvation.

Beräkna koordinaterna för punkterna

P_{1}

och

P_{2}

a = 3 .

En linjär funktion kan vi beskrivas enligt y = kx + m, där k är lutningen och m är skärningspunkten som anger var linjen skär y-axeln. Vi börjar med att bestämma lutningen med hjälp av k-formeln och de två punkternas koordinater.

Linjen har alltså riktningskoefficienten k = 4. Det ger oss y = 4x + m. Nu kan vi bestämma linjens ekvation genom att sätta in k och någon av punkternas koordinater i enpunktsform. Vi väljer P_1, med det hade gått lika bra med P_2. Sedan löser vi ut y för att få ekvationen på k-form.

Konstanttermen m är alltså lika med noll och ekvationen för linjen är y = 4x.

Vi beräknar punkternas koordinater då a = 3 genom att byta ut a mot 3.

Punkt	x	y	(x,y)
P_1	3	4* 3	(3,12)
P_2	3^2	(2* 3)^2	(9,36)

I koordinatsystemet nedan har vi markerat de båda punkterna och även ritat funktionens graf, y = 4x.

En rät linje med lutningen $k$ speglas i $y -$ axeln vilket skapar en ny rät linje.

Bestäm den speglade linjens lutning.

Vad måste den ursprungliga linjens

k -

värde vara för att de två linjerna ska vara vinkelräta mot varandra?

Vi ritar in en godtycklig rät linje. Att lutningen är k innebär att linjen rör sig k steg uppåt för varje steg i x-led.

Spegling innebär att varje punkt på linjen ska befinna sig på samma avstånd från y-axeln, men på motsatt sida. Vi behöver bara spegla två punkter eftersom det räcker för att bestämma lutningen.

Vi tittar på de linjer som bildats. När den speglade linjen rör sig ett steg i x-led ser vi att den rör sig k steg nedåt, dvs. den har lutningen - k.

Alltså har en rät linje som speglas i y-axeln alltid samma riktningskoefficient som ursprungslinjen, fast negativ.

För att två linjer ska vara vinkelräta måste följande samband gälla: k_1 * k_2 = - 1. Om k_1=k, visade vi i förra uppgiften att den speglade linjens k-värde måste vara k_2=- k. Detta ger oss sambandet k * (- k) = - 1. Vi förenklar uttrycket och löser ut k.

Det finns alltså två k-värden som ger två vinkelräta linjer: k=1 och k=-1.

Linjen genom punkterna

(2, 3 p)

och

(4, p)

är vinkelrät mot linjen

x - 4 y = 0 .

Vilket värde har

p ?

Vi beräknar först lutningen på linjen x-4y=0 genom att lösa ut y och läsa av koefficienten framför x.

Produkten av två vinkelräta linjers k-värden är lika med - 1. Vi beräknar lutningen på linjen mellan punkterna (2,3p) och (5, p) genom att sätta in k_2= 14 i formeln k_1 * k_2=-1.

Linjen genom punkterna har lutningen - 4. Vi likställer k-formeln med detta, sätter in punkterna och förenklar tills vi finner p.

När går det inte att skriva linjen

a x + b y + c = 0

på

k -

form? Motivera ditt svar.

Vi skriver om ekvationen så att den står på formen y = kx + m. Sedan undersöker vi om det finns något eller några värden på a, b eller c som inte är tillåtna.

Om b = 0 får vi en division med noll vilket inte är definierat. Därför kan en ekvation inte skrivas om från allmän form till k-form om koefficienten framför y-termen är 0.

Räta linjers egenskaper

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll