2. Räta linjers egenskaper
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Räta linjers egenskaper
Lektionen behandlar egenskaperna hos räta linjer inom matematik. Den förklarar olika sätt att representera linjer, inklusive allmän form och k-form, och hur man kan använda dessa för att förstå linjernas egenskaper. Det finns också information om hur man kan avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta mot varandra. Lektionen innehåller exempel och övningar som hjälper till att förstå dessa koncept, vilket gör den användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 37 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räta linjers egenskaper
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Räta linjens ekvation
- Parallella linjer
- Vinkelräta linjer
- Allmän form rät linje
- Enpunktsform
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Räta linjens ekvation
En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad k-form.
y=kx+m
k- och m-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. k anger lutningen och m är det y-värde där linjen skär y-axeln. I koordinatsystemet har linjen k-värdet 2 och m-värdet 1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Parallella linjer
Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på k-form innebär det att deras k-värden, k_1 och k_2, är samma.
k_1 = k_2
I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.
Parallella linjer har inte samma m-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.
Bevis
Betrakta två olika icke-vertikala linjer l_1 och l_2 som har samma lutning k_1 = k_2 = k. Deras ekvationer kan skrivas i k-form.
l_1: y=kx+m_1 l_2: y=kx+m_2
Eftersom dessa linjer är distinkta, är m_1 och m_2 inte lika. Med denna information i åtanke, anta att linjerna skär varandra. Att lösa ekvationssystemet ger skärningspunkten. Substitutionsmetoden kommer att användas.
y=kx+m_1 & (I) y=kx+m_2 & (II)
Substitute
(I): y= kx+m_2
kx+m_2=kx+m_1 y=kx+m_2
SubEqn
(I): VL-kx=HL-kx
m_2=m_1 y=kx+m_2
Det erhållna resultatet motsäger faktumet att m_1 och m_2 är olika. Därför finns det ingen skärningspunkt mellan linjerna l_1 och l_2. Detta betyder att de är parallella linjer.
k_1 = k_2 ⇒ l_1 ∥ l_2
Den andra implikationen är också sann. Om linjerna är parallella, då har de samma lutning.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Är linjerna parallella?
Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2) och (3,8) parallell med linjen y=3x+5?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
Ledtråd
Kontrollera om linjerna har samma k-värde.
Lösning
För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma k-värde. Den räta linjen y=3x+5 har k-värdet 3. Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i k-formeln.
k = y_2- y_1/x_2-x_1
SubstitutePoints
Sätt in ( 3,8) & ( 1,2)
k = 8- 2/3- 1
SubTerms
Subtrahera termerna
k=6/2
CalcQuot
Beräkna kvot
k=3
Linjerna har alltså samma k-värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika m-värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in k=3 samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex. (1,2), i räta linjens ekvation.
y=3x+ m
SubstituteII
x= 1 och y= 2
2=3 * 1+ m
Multiply
Multiplicera faktorer
2=3+ m
SubEqn
VL-3=HL-3
-1= m
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
m=-1
Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså y=3x-1. Denna linje och y=3x+5 har samma k-värde men olika m-värden och är därmed parallella.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Vinkelräta linjer
Två räta linjer som bildar vinkeln 90^(∘) i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.
k_1* k_2=- 1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Är linjerna vinkelräta?
Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Kontrollera om k-värdena på linjerna har en produkt av -1.
Lösning
Två linjer är vinkelräta om produkten av deras k-värden är -1. Vi kan läsa av att lutningarna är -2 och 0,4, så det är bara att multiplicera dem:
-2* 0,4 = - 0,8. Produkten blev inte -1, så linjerna är inte vinkelräta.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Allmän form
Alla linjer går inte att skriva på k-form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.
ax+by+c=0
Flera kombinationer av konstanterna a, b och c kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.
| Allmän form | 2x + 3y-5 = 0 | 2x + 3y = 5 |
|---|---|---|
| Horisontell linje | y-4=0 | y = 4 |
| Vertikal linje | x-7 = 0 | x = 7 |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Omvandla från allmän form till k-form
Skriv den räta linjen 2y+8-4x=0 på k-form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["y = 2x-4"]}}
Ledtråd
Isolera y på ena sidan av ekvationen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Omvandla från allmän form till k-form
Skriv linjen y=0,4x-7 på allmän form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5y-2x+35=0"]}}
Ledtråd
Flytta alla termer till ena sidan av likhetstecknet.
Lösning
När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med 10 eftersom produkten av 10* 0,4 är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.
Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med 2. På allmän form skrivs linjen alltså 5y-2x+35=0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Enpunktsform
För att beskriva en rät linje används oftast k-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x_1,y_1) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.
y-y_1 = k(x-x_1)
Sätter man in de kända koordinaterna x_1 och y_1 i enpunktsformen och löser ut y får man linjen på k-form.
Härledning
y-y_1 = k(x-x_1)Enpunktsform är egentligen bara en omskrivning av formeln för att beräkna en linjes riktningskoefficient.
k = y_2-y_1/x_2-x_1
MultEqn
VL * (x_2-x_1)=HL* (x_2-x_1)
k(x_2-x_1) = y_2-y_1
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
y_2-y_1 = k(x_2-x_1)
Den specifika punkten (x_2,y_2) byts sedan ut till den allmänna (x,y), vilket ger enpunktsformen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Omvandla enpunktsform till andra former
a Skriv om linjen y+4= 14(x+1) i k-form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["y=\\dfrac{1}{4}x-\\dfrac{15}{4}"]}}
b Skriv om linjen y-35=5(x+1) i generell form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-5x+y-30=0"]}}
Ledtråd
a Använd distributiva lagen och isolera y-variabeln på ena sidan av likhetstecknet.
b Använd distributiva lagen och flytta alla termer till ena sidan av likhetstecknet.
Lösning
a Ekvationen är i enpunktsform. För att skriva den i k-form kommer y-variabeln att isoleras och sedan kommer den distributiva lagen att tillämpas.
y+4=1/4(x+1)
SubEqn
VL-4=HL-4
y=1/4(x+1)-4
Distr
Multiplicera in 1/4
y=1/4x+1/4* 1 -4
MultByOne
a * 1=a
y=1/4x+1/4-4
NumberToFrac
a = 4* a/4
y=1/4x+1/4-16/4
SubTerm
Subtrahera term
y=1/4x-15/4
b Vi samlar alla termer på ena sidan av likhetstecknet när vi skriver en rät linje i allmän form.
y-35=5(x+1)
SubEqn
VL-5(x+1)=HL-5(x+1)
-5(x+1)+y-35= 0
Distr
Multiplicera in - 5
-5x+(- 5)* 1+y-35= 0
MultNegPos
(- a)b = - ab
-5x-5+y-35= 0
RearrangeTerms
Omarrangera termer
-5x+y-5-35= 0
SubTerm
Subtrahera term
-5x+y-40= 0
Eftersom koefficienterna och konstanten i ekvationen inte har någon gemensam faktor kan ekvationen inte förenklas ytterligare. Den allmänna formen av den givna ekvationen är - 5x + y - 40 = 0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Räta linjers egenskaper
Uppgift 3.1
Bestäm värdet på a.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"a=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
Den blå linjen går igenom (a,- 3 a) och origo. Sätter vi in dessa punkter i k-formeln kan vi bestämma linjens lutning, k_1.
Eftersom den röda linjen bildar 90^(∘) med den blå linjen är de vinkelräta. Då gäller sambandet k_1* k_2=- 1 som vi kan sätta in k_1 = - 3 i, vilket gör att vi kan beräkna den röda linjens lutning, k_2.
Vi kan också ställa upp ett uttryck för den röda linjens k-värde baserat på k-formeln och de två punkterna (2a,2) och (0,0).
Sätter vi dessa två uttryck för k_2 som lika med varandra får vi 1/3 = 1/a, vilket vi kan lösa ut att a = 3 ur.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x"]}}
{"type":"multichoice","form":{"alts":["P_1(3,12)","P_1(3,43)","P_1(3,9)","P_2(9,36)","P_2(9,18)","P_2(4,16)"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,3]}
security
report
code
security
report
code
En linjär funktion kan vi beskrivas enligt y = kx + m, där k är lutningen och m är skärningspunkten som anger var linjen skär y-axeln. Vi börjar med att bestämma lutningen med hjälp av k-formeln och de två punkternas koordinater.
Linjen har alltså riktningskoefficienten k = 4. Det ger oss y = 4x + m. Nu kan vi bestämma linjens ekvation genom att sätta in k och någon av punkternas koordinater i enpunktsform. Vi väljer P_1, med det hade gått lika bra med P_2. Sedan löser vi ut y för att få ekvationen på k-form.
Konstanttermen m är alltså lika med noll och ekvationen för linjen är y = 4x.
Vi beräknar punkternas koordinater då a = 3 genom att byta ut a mot 3.
| Punkt | x | y | (x,y) |
|---|---|---|---|
| P_1 | 3 | 4* 3 | (3,12) |
| P_2 | 3^2 | (2* 3)^2 | (9,36) |
I koordinatsystemet nedan har vi markerat de båda punkterna och även ritat funktionens graf, y = 4x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["k"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-k"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"k"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1","-1"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ritar in en godtycklig rät linje. Att lutningen är k innebär att linjen rör sig k steg uppåt för varje steg i x-led.
Spegling innebär att varje punkt på linjen ska befinna sig på samma avstånd från y-axeln, men på motsatt sida. Vi behöver bara spegla två punkter eftersom det räcker för att bestämma lutningen.
Vi tittar på de linjer som bildats. När den speglade linjen rör sig ett steg i x-led ser vi att den rör sig k steg nedåt, dvs. den har lutningen - k.
Alltså har en rät linje som speglas i y-axeln alltid samma riktningskoefficient som ursprungslinjen, fast negativ.
För att två linjer ska vara vinkelräta måste följande samband gälla:
k_1 * k_2 = - 1.
Om k_1=k, visade vi i förra uppgiften att den speglade linjens k-värde måste vara k_2=- k. Detta ger oss sambandet
k * (- k) = - 1.
Vi förenklar uttrycket och löser ut k.
Det finns alltså två k-värden som ger två vinkelräta linjer: k=1 och k=-1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Linjen genom punkterna (2,3p) och (4, p) är vinkelrät mot linjen x-4y=0. Vilket värde har p?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"p=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar först lutningen på linjen x-4y=0 genom att lösa ut y och läsa av koefficienten framför x.
Produkten av två vinkelräta linjers k-värden är lika med - 1. Vi beräknar lutningen på linjen mellan punkterna (2,3p) och (5, p) genom att sätta in k_2= 14 i formeln k_1 * k_2=-1.
Linjen genom punkterna har lutningen - 4. Vi likställer k-formeln med detta, sätter in punkterna och förenklar tills vi finner p.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
När går det inte att skriva linjen ax+by+c=0 på k-form? Motivera ditt svar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a","b","c"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["b=0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om ekvationen så att den står på formen y = kx + m. Sedan undersöker vi om det finns något eller några värden på a, b eller c som inte är tillåtna.
Om b = 0 får vi en division med noll vilket inte är definierat. Därför kan en ekvation inte skrivas om från allmän form till k-form om koefficienten framför y-termen är 0.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Räta linjers egenskaper
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll