Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Räta linjers egenskaper


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Längd:

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad kk-form.

y=kx+my=kx+m

kk- och mm-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. kk anger lutningen och mm är det yy-värde där linjen skär yy-axeln. I koordinatsystemet har linjen kk-värdet 22 och mm-värdet 1.1.

Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på kk-form innebär det att deras kk-värden, k1k_1 och k2,k_2, är samma.

k1=k2 k_1 = k_2

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma mm-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.
Uppgift

Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2)(1,2) och (3,8)(3,8) parallell med linjen y=3x+5?y=3x+5?

Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma kk-värde. Den räta linjen y=3x+5y=3x+5 har kk-värdet 3.3. Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i kk-formeln.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
k=8231k = \dfrac{{\color{#0000FF}{8}}-{\color{#009600}{2}}}{{\color{#0000FF}{3}}-{\color{#009600}{1}}}
k=62k=\dfrac{6}{2}
k=3k=3

Linjerna har alltså samma kk-värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika mm-värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in k=3k=3 samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex. (1,2),(1,2), i räta linjens ekvation.

y=3x+my=3x+m
2=31+m{\color{#009600}{2}}=3 \cdot {\color{#0000FF}{1}}+m
2=3+m2=3+m
-1=m\text{-}1=m
m=-1m=\text{-}1

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså y=3x1. y=3x-1. Denna linje och y=3x+5y=3x+5 har samma kk-värde men olika mm-värden och är därmed parallella.

info Visa lösning Visa lösning
Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln 9090^\circ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter, k1k_1 och k2,k_2, lika med -1.\text{-} 1.

k1k2=-1k_1\cdot k_2=\text{-} 1

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras kk-värden. Om produkten blir -1\text{-}1 är de vinkelräta.
Uppgift

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Lösning

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras kk-värden är -1.\text{-}1. Vi kan läsa av att lutningarna är -2\text{-}2 och 0.4,0.4, så det är bara att multiplicera dem: -20.4=-0.8. \text{-}2\cdot 0.4 = \text{-}0.8. Produkten blev inte -1,\text{-}1, så linjerna är inte vinkelräta.

info Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på kk-form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala.

ax+by+c=0ax+by+c=0

Flera kombinationer av konstanterna aa, bb och cc kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Löser man ut yy får man linjen skriven på kk-form.
Uppgift

Skriv den räta linjen 2y+84x=02y+8-4x=0kk-form.

Lösning

För att skriva om linjen till kk-form löser vi ut y.y.

2y+84x=02y+8-4x=0
2y+8=4x2y+8=4x
2y=4x82y=4x-8
y=2x4y=2x-4

Den räta linjen är alltså y=2x4y=2x-4kk-form.

info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Skriv linjen y=0.4x7y=0.4x-7 på allmän form.

Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med 1010 eftersom produkten av 100.410\cdot0.4 är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y=0.4x7y=0.4x-7
10y=4x7010y=4x-70
10y4x=-7010y-4x=\text{-}70
10y4x+70=010y-4x+70=0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med 2.2. På allmän form skrivs linjen alltså 5y2x+35=0. 5y-2x+35=0.

info Visa lösning Visa lösning
Regel

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast kk-form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt (x1,y1)\left(x_1,y_1\right) som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Sätter man in de kända koordinaterna x1x_1 och y1y_1 i enpunktsformen och löser ut yy får man linjen på kk-form.

Härledning

info
yy1=k(xx1)y-y_1 = k(x-x_1)

Enpunktsform är egentligen bara en omskrivning av formeln för att beräkna en linjes riktningskoefficient.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
k(x2x1)=y2y1k\left(x_2-x_1\right) = y_2-y_1
y2y1=k(x2x1)y_2-y_1 = k(x_2-x_1)

Den specifika punkten (x2,y2)(x_2,y_2) byts sedan ut till den allmänna (x,y)(x,y), vilket ger enpunktsformen.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward