Räta linjers egenskaper: Räta linjens ekvation och vinkelräta linjer

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Räta linjens ekvation
Parallella linjer
Vinkelräta linjer
Allmän form rät linje
Enpunktsform

Förkunskaper

Koordinatsystem
Ekvation
Riktningskoefficient
$k -$ värde
$m -$ värde

Teori

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k -$ form.

y = k x + m

$k -$ och $m -$ värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. $k$ anger lutningen och $m$ är det $y -$ värde där linjen skär $y -$ axeln. I koordinatsystemet har linjen $k -$ värdet $2$ och $m -$ värdet $1 .$

Teori

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på $k -$ form innebär det att deras $k -$ värden, $k_{1}$ och $k_{2},$ är samma.

$k_{1} = k_{2}$

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma $m -$ värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.

Bevis

Betrakta två olika icke-vertikala linjer

ℓ_{1}

och

ℓ_{2}

som har samma lutning

k_{1} = k_{2} = k .

Deras ekvationer kan skrivas i

k -

form.

ℓ_{1} : y = k x + m_{1} ℓ_{2} : y = k x + m_{2}

Eftersom dessa linjer är distinkta, är

m_{1}

och

m_{2}

inte lika. Med denna information i åtanke, anta att linjerna skär varandra. Att lösa ekvationssystemet ger skärningspunkten. Substitutionsmetoden kommer att användas.

{y = k x + m_{1} y = k x + m_{2} (I) (II)

Substitute

$(I):$ $y = k x + m_{2}$

{k x + m_{2} = k x + m_{1} y = k x + m_{2}

SubEqn

$(I):$ $VL - k x = HL - k x$

{m_{2} = m_{1} y = k x + m_{2}

Det erhållna resultatet motsäger faktumet att

m_{1}

och

m_{2}

är olika. Därför finns det ingen skärningspunkt mellan linjerna

ℓ_{1}

och

ℓ_{2} .

Detta betyder att de är parallella linjer.

$k_{1} = k_{2} \Rightarrow ℓ_{1} ∥ ℓ_{2}$

Den andra implikationen är också sann. Om linjerna är parallella, då har de samma lutning.

Exempel

Är linjerna parallella?

Är den räta linjen som går igenom punkterna

(1, 2)

och

(3, 8)

parallell med linjen

y = 3 x + 5 ?

Ledtråd

Kontrollera om linjerna har samma $k -$ värde.

Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma

k -

värde. Den räta linjen

y = 3 x + 5

har

k -

värdet

3 .

Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i

k -

formeln.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 8)$ & $(1, 2)$

k = \frac{8 - 2}{3 - 1}

SubTerms

Subtrahera termer

k = \frac{6}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 3

Linjerna har alltså samma

k -

värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika

m -

värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in

k = 3

samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex.

(1, 2),

i räta linjens ekvation.

y = 3 x + m

SubstituteII

$x = 1$ och $y = 2$

2 = 3 \cdot 1 + m

Multiply

Multiplicera faktorer

2 = 3 + m

SubEqn

$VL - 3 = HL - 3$

- 1 = m

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

m = - 1

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså

y = 3 x - 1 .

Denna linje och

y = 3 x + 5

har samma

k -

värde men olika

m -

värden och är därmed parallella.

Teori

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln $9 0^{\circ}$ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter,

k_{1}

och

k_{2},

lika med

- 1 .

$k_{1} \cdot k_{2} = - 1$

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras

k -

värden. Om produkten blir

- 1

är de vinkelräta.

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Ledtråd

Kontrollera om $k -$ värdena på linjerna har en produkt av $- 1 .$

Lösning

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras

k -

värden är

- 1 .

Vi kan läsa av att lutningarna är

- 2

och

0, 4,

så det är bara att multiplicera dem:

- 2 \cdot 0, 4 = - 0, 8 .

Produkten blev inte

- 1,

så linjerna är inte vinkelräta.

Teori

Allmän form

Alla linjer går inte att skriva på $k -$ form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.

$a x + b y + c = 0$

Flera kombinationer av konstanterna $a,$ $b$ och $c$ kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.

Allmän form	$2 x + 3 y - 5 = 0$	$2 x + 3 y = 5$
Horisontell linje	$y - 4 = 0$	$y = 4$
Vertikal linje	$x - 7 = 0$	$x = 7$

För icke-vertikala linjer, om du löser ut

y,

får du linjen skriven i

k -

form.

Exempel

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Skriv den räta linjen

2 y + 8 - 4 x = 0

på

k -

form.

Ledtråd

Isolera $y$ på ena sidan av ekvationen.

Lösning

För att skriva om linjen till

k -

form löser vi ut

y .

2 y + 8 - 4 x = 0

AddEqn

$VL + 4 x = HL + 4 x$

2 y + 8 = 4 x

SubEqn

$VL - 8 = HL - 8$

2 y = 4 x - 8

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

y = 2 x - 4

Den räta linjen är alltså

y = 2 x - 4

på

k -

form.

Exempel

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Skriv linjen

y = 0, 4 x - 7

på allmän form.

Ledtråd

Flytta alla termer till ena sidan av likhetstecknet.

Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med

10

eftersom produkten av

10 \cdot 0, 4

är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y = 0, 4 x - 7

MultEqn

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

10 y = 4 x - 70

SubEqn

$VL - 4 x = HL - 4 x$

10 y - 4 x = - 70

AddEqn

$VL + 70 = HL + 70$

10 y - 4 x + 70 = 0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med

2 .

På allmän form skrivs linjen alltså

5 y - 2 x + 35 = 0 .

Teori

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast $k -$ form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt $(x_{1}, y_{1})$ som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

$y - y_{1} = k (x - x_{1})$

Sätter man in de kända koordinaterna $x_{1}$ och $y_{1}$ i enpunktsformen och löser ut $y$ får man linjen på $k -$ form.

Härledning

y - y_{1} = k (x - x_{1})

Enpunktsform är egentligen bara en omskrivning av formeln för att beräkna en linjes riktningskoefficient.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

MultEqn

$VL \cdot (x_{2} - x_{1}) = HL \cdot (x_{2} - x_{1})$

k (x_{2} - x_{1}) = y_{2} - y_{1}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

y_{2} - y_{1} = k (x_{2} - x_{1})

Den specifika punkten

(x_{2}, y_{2})

byts sedan ut till den allmänna

(x, y),

vilket ger enpunktsformen.

Exempel

Omvandla enpunktsform till andra former

a Skriv om linjen

y + 4 = \frac{1}{4} (x + 1)

k -

form.

b Skriv om linjen

y - 35 = 5 (x + 1)

i generell form.

Ledtråd

a Använd distributiva lagen och isolera

y -

variabeln på ena sidan av likhetstecknet.

b Använd distributiva lagen och flytta alla termer till ena sidan av likhetstecknet.

Lösning

a Ekvationen är i enpunktsform. För att skriva den i

k -

form kommer

y -

variabeln att isoleras och sedan kommer den distributiva lagen att tillämpas.

y + 4 = \frac{1}{4} (x + 1)

SubEqn

$VL - 4 = HL - 4$

y = \frac{1}{4} (x + 1) - 4

Distr

Multiplicera in $\frac{1}{4}$

y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 1 - 4

MultByOne

$a \cdot 1 = a$

y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} - 4

NumberToFrac

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} - \frac{1 6}{4}

SubTerm

Subtrahera term

y = \frac{1}{4} x - \frac{1 5}{4}

b Vi samlar alla termer på ena sidan av likhetstecknet när vi skriver en rät linje i allmän form.

y - 35 = 5 (x + 1)

SubEqn

$VL - 5 (x + 1) = HL - 5 (x + 1)$

- 5 (x + 1) + y - 35 = 0

Distr

Multiplicera in $- 5$

- 5 x + (- 5) \cdot 1 + y - 35 = 0

MultNegPos

$(- a) b = - a b$

- 5 x - 5 + y - 35 = 0

RearrangeTerms

Omarrangera termer

- 5 x + y - 5 - 35 = 0

SubTerm

Subtrahera term

- 5 x + y - 40 = 0

Eftersom koefficienterna och konstanten i ekvationen inte har någon gemensam faktor kan ekvationen inte förenklas ytterligare. Den allmänna formen av den givna ekvationen är

- 5 x + y - 40 = 0 .

	11 sidor teori
	33 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Räta linjers egenskaper

Förkunskaper

Bevis

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Härledning

Ledtråd

Lösning

Räta linjers egenskaper

Rekommenderade uppgifter