Polynom

För att bestämma polynomets värde sätter vi in x=2 istället för x och beräknar.

Värdet på polynomet blir -8.

Vi gör på samma sätt och sätter in x=-1 i polynomet. Kom ihåg vad som gäller för ett negativt tal med udda exponent respektive jämn exponent.

Polynomets värde blir alltså 16.

Inget nytt. Vi fortsätter på samma sätt och sätter in x=4.

Polynomets värde blir 6.

För att lösa uppgiften måste vi känna till att ett polynom är ett algebraiskt uttryck där variablernas exponenter är positiva heltal och koefficienterna är reella. Dessutom måste ett polynom vara definierat för alla reella tal.

Uttryck A, B, D och E

A, B, D och E är inte polynom. Vi kan direkt se att uttrycken A och D har variabler med exponenter som inte är positiva heltal, vilket gör att de inte är polynom. Uttryck E kan enligt potenslagen 1a^b=a^(- b) skrivas om som x^(-7)+5. Detta är alltså inte heller ett polynom. Vad gäller B kan man bryta ut ett x från täljaren och nämnaren och förkorta bort det, vilket ger 8/1+x. Detta uttryck är inte definierat för x-värdet -1 eftersom det skulle innebära division med 0 . B är alltså inte definierat för alla reella tal och är därför inte ett polynom.

Uttryck C och F

Både C och F är polynom eftersom de har exponenter som är positiva heltal, reella koefficienter och är definierade för alla reella tal.

Eftersom gradtalet för ett polynom avgörs av den variabelterm som har den största exponenten så har polynomet C 9x-6x^5 grad 5 och polynomet F 17x^8 grad 8.

Vi börjar med att repetera några begrepp. Termer kallas de tal och variabeltermer som åtskiljs av plus- och minustecken. Graden är den högsta exponenten som sitter på en variabel i ett polynom.

Koefficient kallas ett tal framför en variabel, och en konstantterm är en term som inte innehåller någon variabel. Vi ska nu titta på den andra termens koefficient. Den andra termen är x^4, och den har koefficienten 1 eftersom x^4=1* x^4. Ökas koefficienten med 3 blir det nya polynomet 10x^8+4x^4+5x-14, och graden blir 8 eftersom det är den högsta exponenten.

Om den första termens exponent minskar med 4 blir det nya polynomet 10x^(8-4)+x^4+5x-14, vilket är samma sak som 10x^4+x^4+5x-14 = 11x^4+5x-14. Den högsta exponenten är nu 4 vilket innebär att polynomet har grad 4.

Den tredje termen är 5x, och är av grad 1 eftersom 5x=5x^1. Det innebär att det nya polynomet blir 10x^8+x^4+5x^(1+8)-14, dvs. 10x^8+x^4+5x^9-14, och graden blir därmed 9.

Konstanttermen kommer inte att ändra polynomets grad, utan vi får 10x^8+x^4+5x-15 och fortfarande grad 8.

Vi tar bort parenteserna och lägger ihop termer med samma grad.

Den högsta exponenten är 3 vilket innebär att det är ett polynom av grad 3.

När vi tar bort den andra parentesen måste vi byta tecken på alla termer inuti den, eftersom den har ett minustecken framför sig.

Eftersom x är samma sak som x^1 är polynomets gradtal 1. Eftersom polynomet endast innehåller två termer kan man kalla det för ett förstagradsbinom.

När vi tar bort parenteserna måste vi vara uppmärksamma på att båda parenteser har ett minustecken framför sig. Vi måste alltså byta tecken på termerna inne i båda parenteser när de tas bort och därefter förenkla.

Polynomets gradtal är 2.

Här använder vi konjugatregeln.

Polynomet har grad 3 eftersom det är den högsta exponenten.

Vi använder första kvadreringsregeln.

Polynomet har grad 2 eftersom det är den högsta exponenten.

Här använder vi andra kvadreringsregeln.

I det här fallet tog x^2-termerna ut varandra och vi ser att polynomet har grad 1, eftersom x=x^1.

Här använder vi först andra kvadreringsreglen och sedan multiplicerar vi ihop parenteserna.

Den högsta exponenten är 5, vilket även är polynomets grad.

För att faktorisera ett uttryck måste vi först dela upp det i faktorer. Vi gör det och bryter sedan ut största gemensamma faktor, dvs. den största som finns i alla termer vilket här är x.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift. Här är x^2 största gemensamma faktor

Här är 5x största gemensamma faktor. Då det bryts ut ur första termen får vi en 1:a kvar, vilket vi kan kontrollera genom att tänka ut vad som ska multipliceras med 5x för att få 5x.

I polynomet x^2+8x+16 finns inga gemensamma faktorer att bryta ut. Men man kan se att det går att skriva på formen a^2+2ab+b^2. När vi kommit så långt kan första kvadreringsregeln användas baklänges för att faktorisera uttrycket.

Notera att uttrycket x^2-49 kan skrivas som x^2-7^2, dvs. på formen a^2-b^2. Det innebär att vi kan använda konjugatregeln baklänges för att faktorisera.

Polynomet 36-12x+x^2 liknar till formen uttrycket från första deluppgiften, men förutom att det är andra siffror är mittentermen negativ. Det innebär att den generella formen som uttrycket kan skrivas på istället är a^2-2ab+b^2. Härifrån kan man sedan använda andra kvadreringsregeln baklänges.

Parenteser av typen (a+b)^2 kan utvecklas med första kvadreringsregeln: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. I vårt fall får vi alltså att (x+ )^2 = x^2 + 2x + ^2. Detta ska vara lika med x^2+10x+25, och jämför man term för term kan man se att 2 ska bli 10 medan ^2 ska bli 25. Detta stämmer bara om det står 5 i rutan.

Parenteser av typen (a-b)^2 kan utvecklas med andra kvadreringsregeln: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. I det här fallet blir det (x- )^2 = x^2 - 2x + ^2. Jämför man detta med x^2-12x+36 ser man att 2 ska bli 12 medan ^2 ska bli 36 för att leden ska bli lika. Detta stämmer bara om det står 6 i rutan.

Parenteser på formen (a+b)(a-b) kan utvecklas med konjugatregeln: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. I vårt fall innebär det att (x+ )(x- ) = x^2 - ^2. Detta ska alltså vara lika med x^2 - 64. Då bör rutan vara 8, eftersom 8^2 = 64.

Problemet kan också lösas som en ekvation, och då ser man att det faktiskt finns ett möjligt svar till.

I rutorna kan det alltså antingen stå 8 eller -8, bara det står samma sak i båda. Sätter man in - 8 får man nämligen (x + (- 8))(x-(-8)) = (x - 8)(x + 8) = (x + 8)(x - 8), vilket är samma sak som om man hade satt in 8.

Parenteserna föregås av plustecken så de kan båda tas bort utan att det påverkar termerna i parenteserna.

Uttrycket förenklades till x^6-x. Polynomets grad är alltså 6.

Vi förenklar uttrycket genom att ta bort båda parenteser. Den första kan tas bort utan vidare men den andra parentesen föregås av ett minustecken. När den parentesen tas bort måste man byta tecken på samtliga termer i den. Därefter kan vi förenkla.

Graden på polynomet är 1 eftersom x=x^1.

Vi multiplicerar ihop parenteserna genom att multiplicera alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra.

Uttrycket förenklades till 2x^3-4x^2-2x+4. Termen med högst exponent är 2x^3 så graden är 3.

En triangels area beräknas genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2: A=bh/2. Basen är 2x+1 och höjden är 2x.

Arean är alltså A=2x^2+x.

Figuren består av en rektangel med basen x och höjden x+3 samt en triangel med x som både bas och höjd. Vi kan ta fram uttryck för dessa och sedan lägga ihop dem. Rektangelns area beräknas genom att multiplicera basen med höjden. A_(rektangel)=x(x+3). Triangelns area bestäms genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2: A_(triangel)=x* x/2. Nu adderar vi dessa och förenklar.

Den gröna figurens area ges alltså av 1,5x^2+3x.

Ett polynom är ett algebraiskt uttryck som kan skrivas som summor av variabler och konstanttermer. Om det ska vara ett polynom ska variablernas exponenter vara positiva heltal och dess koefficienter ska reella tal. Det enda alternativet som stämmer in på denna beskrivning är D: 4x^2+2x^2. Vi kan utesluta de andra alternativen. Exempelvis kan inte B vara ett polynom eftersom x^(2,5) har ett decimaltal i exponenten. Om vi skriver om A, C och E ser vi att inte heller de är polynom. A: &4/x^3+4x^3 ⇔ 4x^(- 3)+4x^3 [0.75em] C: &(2+1/x)^3 ⇔ (2+x^(- 1))^3 [0.75em] E: &5x/12x-x^2 ⇔ 5/12-x Eftersom polynom inte får ha negativa exponenter kan varken A, C eller E vara polynom.