body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 3b Visa detaljer

1. Polynom

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 1

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som består av summor av variabler och konstanttermer. Dessa uttryck kan ha olika grader, vilket bestäms av den högsta exponenten av; en variabel i polynomet. Polynom kan vara av första graden, andra graden, eller högre, och varje grad har specifika egenskaper och regler. Faktorisering av polynom är en viktig process inom algebra, och det finns flera metoder för att utföra detta. Polynom används i många olika matematiska och vetenskapliga sammanhang, från grundläggande algebra till mer komplicerade områden som kalkyl och fysik.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Polynom

Sida av 5

Begrepp

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som är summor av en viss sorts variabel- och konstanttermer. Ett exempel på ett polynom är

4 x^{5} + x^{3} - 9 x - 84 .

Detta polynom är skrivet på allmän form, alltså som en summa på så förenklad form som möjligt. För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste

variablernas exponenter vara heltal större än eller lika med $0$ och
koefficienterna vara reella.

En annan viktig egenskap är att uttrycket är definierat för alla reella

x .

Den största exponenten på en variabel anger polynomets grad, så exemplet ovan är ett femtegradspolynom eftersom den största exponenten är

5 .

Ordet polynom kommer från grekiskans poly, som betyder många, och latinets nomen, som betyder namn.

Vilka uttryck är polynom?

fullscreen

Vilka av följande algebraiska uttryck är polynom och vilken grad har dessa?

A : x^{4.5} + x^{3} B : x^{5} + 2 x^{2} - x C : \frac{1}{x ^{3}} + 5 D : \frac{2 x ^{4}}{x} E : \frac{x ^{8} + 5 x + 1}{2} F : 6 x - 3^{10}

Visa Lösning

För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla $x .$

Uttryck A-C

A-C är inte polynom, eftersom de har variabler vars exponenter inte är positiva heltal. A har termen

x^{4.5}

och B har termen

x

som enligt potenslagarna kan skrivas om till en potens med exponenten

1 / 2

x^{5} + 2 x^{2} - x = x^{5} + 2 x^{2} - x^{1 / 2} .

Enligt potenslagarna kan den första termen i uttryck C skrivas om som

\frac{1}{x ^{3}} = x^{- 3}

och har alltså den negativa exponenten

- 3 .

Uttryck D

D är inte heller ett polynom. Det går visserligen att förenkla till $2 x^{3},$ vilket är ett polynom, men då har man inte tagit hänsyn till att $x \neq = 0 .$ Om $x = 0$ får man nämligen nolldivision vilket innebär att uttrycket blir odefinierat. Uttrycket är då inte definierat för alla $x$ och är därför inte ett polynom.

Uttryck E-F

E-F är båda polynom eftersom alla variabler har positiva heltalsexponenter. Nämnaren i E är bara en konstant, vilket gör att det är definierat för alla

x .

Om man vill kan man skriva om E på allmän form:

\frac{x ^{8} + 5 x + 1}{2} = 0.5 x^{8} + 2.5 x + 0.5 .

F är ett polynom eftersom variabeln har en heltalsexponent: tänk på att

x = x^{1} .

Gradtalet bestäms av variabeltermen med högst exponent, vilket är

x^{8}

i E och

x^{1}

i F. Termen

3^{10}

är en konstant och påverkar därför inte gradtalet. Det ger oss följande.

Polynom	Uttryck	Grad
E	$\frac{x ^{8} + 5 x + 1}{2}$	$8$
F	$6 x - 3^{10}$	$1$

Regel

Räknelagar för polynom

När två polynom $p (x)$ och $q (x)$ adderas, subtraheras eller multipliceras blir resultatet ett nytt polynom $h (x)$ med ett gradtal som beror på ursprungspolynomen.

Regel

Addition och subtraktion: Graden för

h (x)

blir som mest högsta gradtalet för

p (x)

eller

q (x)

Om man adderar eller subtraherar polynom kan inga nya termer av högre grad skapas eftersom termer av samma grad slås ihop. Däremot är det möjligt att termer tar ut varandra så att graden sänks, t.ex. om polynomen

p (x) = 2 x^{2} + x + 3 och q (x) = - 2 x^{2} + 4 x - 10,

som båda är av grad

2,

summeras.

p (x) + q (x)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

2 x^{2} + x + 3 - 2 x^{2} + 4 x - 10

RearrangeTerms

Omarrangera termer

2 x^{2} - 2 x^{2} + x + 4 x + 3 - 10

SimpTerms

Förenkla termer

5 x - 7

Det nya polynomet

h (x)

får graden

1 .

x^{2}

-termerna inte tagit ut varandra hade graden blivit

2 .

Regel

Multiplikation: Graden för

h (x)

är summan av gradtalen för

p (x)

och

q (x)

Vid multiplikation av polynom multipliceras varje term i det första polynomet med alla termer i det andra. Det innebär att även potenserna med högst exponent i båda polynomen kommer att multipliceras, och enligt potenslagen

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}

kommer det nya gradtalet att bli summan av deras exponenter. Man kan visa detta genom att multiplicera första- och andragradspolynomen

p (x) = x + 4

och

q (x) = x^{2} + 2 .

p (x) \cdot q (x)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

(x + 4) (x^{2} + 2)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

x \cdot x^{2} + x \cdot 2 + 4 \cdot x^{2} + 4 \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

x \cdot x^{2} + 2 x + 4 x^{2} + 8

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

x^{1 + 2} + 2 x + 4 x^{2} + 8

AddTerms

Addera termer

x^{3} + 2 x + 4 x^{2} + 8

RearrangeTerms

Omarrangera termer

x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 8

Man får ett tredjegradspolynom som resultat, vilket stämmer med regeln eftersom $1 + 2 = 3 .$

Regel

Multiplicera och faktorisera polynom

Om två eller flera polynom multipliceras med varandra kan man använda parentesmultiplikation för att skriva om det till allmän form. Om man exempelvis multiplicerar polynomen

x^{3} + 4

och

2 x^{2} - 1

får man

(x^{3} + 4) (2 x^{2} - 1) = 2 x^{5} - x^{3} + 8 x^{2} - 4 .

Graden på resultatet bestäms av räknelagarna för polynom. Att faktorisera polynom till faktorform är lite mer omständligt. För detta finns flera olika metoder.

Regel

Bryta ut

Ett sätt att faktorisera är att identifiera en faktor som finns gemensam i alla termer och bryta ut denna, t.ex. termen

2 x

i följande uttryck

2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x = 2 x (x^{2} + 3 x - 2) .

Detta kan bl.a. användas i samband med nollproduktmetoden.

Regel

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Genom att använda konjugatregeln baklänges går det ibland att skriva om ett andragradspolynom som en produkt av två förstagradspolynom.

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$

Faktorisera polynomet

fullscreen

Skriv polynomet $x^{3} + 2 x^{2} + x$ på faktorform.

Visa Lösning

Faktorn

x

finns i alla termer, så vi börjar med att bryta ut den:

x^{3} + 2 x^{2} + x = x (x^{2} + 2 x + 1) .

Det som står innanför parentesen kan skrivas på formen

a^{2} + 2 a b + b^{2}

och sedan faktoriseras med första kvadreringsregeln.

x (x^{2} + 2 x + 1)

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x (x^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 1)

WritePow

Skriv som potens

x (x^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 1^{2})

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

x (x + 1)^{2}

På faktorform kan alltså polynomet skrivas som $x (x + 1)^{2} .$

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Polynom

Beräkna värdet på polynomet $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 10$ för

x = 2 .

x = - 1 .

x = 4 .

För att bestämma polynomets värde sätter vi in x=2 istället för x och beräknar.

Värdet på polynomet blir -8.

Vi gör på samma sätt och sätter in x=-1 i polynomet. Kom ihåg vad som gäller för ett negativt tal med udda exponent respektive jämn exponent.

Polynomets värde blir alltså 16.

Inget nytt. Vi fortsätter på samma sätt och sätter in x=4.

Polynomets värde blir 6.

Följande algebraiska uttryck är givna.

A : x^{3} + 2 x^{- 4} B : \frac{8 x}{x + x ^{2}} C : 9 x - 6 x^{5} D : 2 x^{3.5} - 7 x^{3} E : \frac{1}{x ^{7}} + 5 F : 17 x^{8}

Avgör vilka av uttrycken som är polynom.

Avgör polynomens grad.

För att lösa uppgiften måste vi känna till att ett polynom är ett algebraiskt uttryck där variablernas exponenter är positiva heltal och koefficienterna är reella. Dessutom måste ett polynom vara definierat för alla reella tal.

Uttryck A, B, D och E

A, B, D och E är inte polynom. Vi kan direkt se att uttrycken A och D har variabler med exponenter som inte är positiva heltal, vilket gör att de inte är polynom. Uttryck E kan enligt potenslagen 1a^b=a^(- b) skrivas om som x^(-7)+5. Detta är alltså inte heller ett polynom. Vad gäller B kan man bryta ut ett x från täljaren och nämnaren och förkorta bort det, vilket ger 81+x. Detta uttryck är inte definierat för x-värdet -1 eftersom det skulle innebära division med 0 . B är alltså inte definierat för alla reella tal och är därför inte ett polynom.

Uttryck C och F

Både C och F är polynom eftersom de har exponenter som är positiva heltal, reella koefficienter och är definierade för alla reella tal.

Eftersom gradtalet för ett polynom avgörs av den variabelterm som har den största exponenten så har polynomet C: 9x-6x^5 grad 5 och polynomet F: 17x^8 grad 8.

Gandalf hittar ett polynom i en gammal dammig bok, och kallar det urpolynomet:

10 x^{8} + x^{4} + 5 x - 14 .

Han blir räknesugen och börjar ändra på polynomet. Bestäm graden av det nya polynomet om Gandalf gör följande.

Han ökar den andra termens koefficient med 3.

Han minskar den första termens exponent med 4.

Han ökar den tredje termens exponent med 8.

Han minskar konstanttermen med 1.

Vi börjar med att repetera några begrepp. Termer kallas de tal och variabeltermer som åtskiljs av plus- och minustecken. Graden är den högsta exponenten som sitter på en variabel i ett polynom.

Koefficient kallas ett tal framför en variabel, och en konstantterm är en term som inte innehåller någon variabel. Vi ska nu titta på den andra termens koefficient. Den andra termen är x^4, och den har koefficienten 1 eftersom x^4=1* x^4. Ökas koefficienten med 3 blir det nya polynomet 10x^8+4x^4+5x-14, och graden blir 8 eftersom det är den högsta exponenten.

Om den första termens exponent minskar med 4 blir det nya polynomet 10x^(8-4)+x^4+5x-14, vilket är samma sak som 10x^4+x^4+5x-14 = 11x^4+5x-14. Den högsta exponenten är nu 4 vilket innebär att polynomet har grad 4.

Den tredje termen är 5x, och är av grad 1 eftersom 5x=5x^1. Det innebär att det nya polynomet blir 10x^8+x^4+5x^(1+8)-14, dvs. 10x^8+x^4+5x^9-14, och graden blir därmed 9.

Konstanttermen kommer inte att ändra polynomets grad, utan vi får 10x^8+x^4+5x-15 och fortfarande grad 8.

Ange polynomets grad.

(3 x^{3} - 4 x^{2}) + (3 x^{2} - 9)

(5 x^{4} - x) - (5 x^{4} - 2 x + 1)

- (5 x^{2} - x + 4) - (3 x^{2} + 2 x - 5)

Vi tar bort parenteserna och lägger ihop termer med samma grad.

Den högsta exponenten är 3 vilket innebär att det är ett polynom av grad 3.

När vi tar bort den andra parentesen måste vi byta tecken på alla termer inuti den, eftersom den har ett minustecken framför sig.

Eftersom x är samma sak som x^1 är polynomets gradtal 1. Eftersom polynomet endast innehåller två termer kan man kalla det för ett förstagradsbinom.

När vi tar bort parenteserna måste vi vara uppmärksamma på att båda parenteser har ett minustecken framför sig. Vi måste alltså byta tecken på termerna inne i båda parenteser när de tas bort och därefter förenkla.

Polynomets gradtal är 2.

Avgör polynomets grad genom att utveckla så långt som möjligt.

(8 y + 5) (8 y - 5) + y^{3}

(3 x + 1)^{2} - 3 x^{2}

4 x^{2} - (7 - 2 x)^{2}

(3 - a) (a^{2} - 6)^{2}

Här använder vi konjugatregeln.

Polynomet har grad 3 eftersom det är den högsta exponenten.

Vi använder första kvadreringsregeln.

Polynomet har grad 2 eftersom det är den högsta exponenten.

Här använder vi andra kvadreringsregeln.

I det här fallet tog x^2-termerna ut varandra och vi ser att polynomet har grad 1, eftersom x=x^1.

Här använder vi först andra kvadreringsreglen och sedan multiplicerar vi ihop parenteserna.

Den högsta exponenten är 5, vilket även är polynomets grad.

Faktorisera polynomet så långt som möjligt.

x^{3} - 6 x^{2} + 2 x

3 x^{6} + x^{4} - 7 x^{2}

5 x + 15 x^{9}

För att faktorisera ett uttryck måste vi först dela upp det i faktorer. Vi gör det och bryter sedan ut största gemensamma faktor, dvs. den största som finns i alla termer vilket här är x.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift. Här är x^2 största gemensamma faktor

Här är 5x största gemensamma faktor. Då det bryts ut ur första termen får vi en 1:a kvar, vilket vi kan kontrollera genom att tänka ut vad som ska multipliceras med 5x för att få 5x.

Faktorisera polynomet så långt som möjligt.

x^{2} + 8 x + 16

x^{2} - 49

36 - 12 x + x^{2}

I polynomet x^2+8x+16 finns inga gemensamma faktorer att bryta ut. Men man kan se att det går att skriva på formen a^2+2ab+b^2. När vi kommit så långt kan första kvadreringsregeln användas baklänges för att faktorisera uttrycket.

Notera att uttrycket x^2-49 kan skrivas som x^2-7^2, dvs. på formen a^2-b^2. Det innebär att vi kan använda konjugatregeln baklänges för att faktorisera.

Polynomet 36-12x+x^2 liknar till formen uttrycket från första deluppgiften, men förutom att det är andra siffror är mittentermen negativ. Det innebär att den generella formen som uttrycket kan skrivas på istället är a^2-2ab+b^2. Härifrån kan man sedan använda andra kvadreringsregeln baklänges.

Ange ett tal i rutan eller rutorna som gör att likheten stämmer.

x^{2} + 10 x + 25 = (x + | | | |)^{2}

x^{2} - 12 x + 36 = (x - | | | |)^{2}

x^{2} - 64 = (x + | | | |) (x - | | | |)

Parenteser av typen (a+b)^2 kan utvecklas med första kvadreringsregeln: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. I vårt fall får vi alltså att (x+ )^2 = x^2 + 2x + ^2. Detta ska vara lika med x^2+10x+25, och jämför man term för term kan man se att 2 ska bli 10 medan ^2 ska bli 25. Detta stämmer bara om det står 5 i rutan.

Parenteser av typen (a-b)^2 kan utvecklas med andra kvadreringsregeln: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. I det här fallet blir det (x- )^2 = x^2 - 2x + ^2. Jämför man detta med x^2-12x+36 ser man att 2 ska bli 12 medan ^2 ska bli 36 för att leden ska bli lika. Detta stämmer bara om det står 6 i rutan.

Parenteser på formen (a+b)(a-b) kan utvecklas med konjugatregeln: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. I vårt fall innebär det att (x+ )(x- ) = x^2 - ^2. Detta ska alltså vara lika med x^2 - 64. Då bör rutan vara 8, eftersom 8^2 = 64.

Problemet kan också lösas som en ekvation, och då ser man att det faktiskt finns ett möjligt svar till.

I rutorna kan det alltså antingen stå 8 eller -8, bara det står samma sak i båda. Sätter man in - 8 får man nämligen (x + (- 8))(x-(-8)) = (x - 8)(x + 8) = (x + 8)(x - 8), vilket är samma sak som om man hade satt in 8.

Ange grad till polynomet.

(x^{6} - 4) + (x + 4)

(x - 3 x^{2}) - (9 - 3 x^{2})

(2 - x) (2 - 2 x^{2})

Parenteserna föregås av plustecken så de kan båda tas bort utan att det påverkar termerna i parenteserna.

Uttrycket förenklades till x^6-x. Polynomets grad är alltså 6.

Vi förenklar uttrycket genom att ta bort båda parenteser. Den första kan tas bort utan vidare men den andra parentesen föregås av ett minustecken. När den parentesen tas bort måste man byta tecken på samtliga termer i den. Därefter kan vi förenkla.

Graden på polynomet är 1 eftersomx=x^1.

Vi multiplicerar ihop parenteserna genom att multiplicera alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra.

Uttrycket förenklades till 2x^3-4x^2-2x+4. Termen med högst exponent är 2x^3 så graden är 3.

Ta fram ett uttryck för figurens area och förenkla så långt det går.

Parallelltrapets med bas x och höjd 2x+3.

En triangels area beräknas genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2: A=bh/2. Basen är 2x+1 och höjden är 2x.

Arean är alltså A=2x^2+x.

Figuren består av en rektangel med basen x och höjden x+3 samt en triangel med x som både bas och höjd. Vi kan ta fram uttryck för dessa och sedan lägga ihop dem. Rektangelns area beräknas genom att multiplicera basen med höjden. A_(rektangel)=x(x+3). Triangelns area bestäms genom att multiplicera basen med höjden och dela med 2: A_(triangel)=x* x/2. Nu adderar vi dessa och förenklar.

Den gröna figurens area ges alltså av 1.5x^2+3x.

Vilket av alternativen A-E visar ett polynom?
A. $\frac{4}{x ^{3}} + 4 x^{3}$
B. $x^{2} + x^{2.5}$
C. $(2 + \frac{1}{x})^{3}$
D. $4 x^{2} + 2 x^{2}$
E. $\frac{5 x}{1 2 x - x ^{2}}$

Nationella provet HT12 3b/3c

Ett polynom är ett algebraiskt uttryck som kan skrivas som summor av variabler och konstanttermer. Om det ska vara ett polynom ska variablernas exponenter vara positiva heltal och dess koefficienter ska reella tal. Det enda alternativet som stämmer in på denna beskrivning är D: 4x^2+2x^2. Vi kan utesluta de andra alternativen. Exempelvis kan inte B vara ett polynom eftersom x^(2.5) har ett decimaltal i exponenten. Om vi skriver om A, C och E ser vi att inte heller de är polynom. A: &4/x^3+4x^3 ⇔ 4x^(- 3)+4x^3 C: &(2+1/x)^3 ⇔ (2+x^(- 1))^3 E: &5x/12x-x^2 ⇔ 5/12-x Eftersom polynom inte får ha negativa exponenter kan varken A, C eller E vara polynom.

Polynom

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll