Linjära funktioner

Utgå ifrån räta linjens ekvation, dvs. y=kx+m. Koefficienten framför x är k-värdet och konstanten är m-värdet. Men m-värdet verkar saknas ju i funktionen? Detta innebär helt enkelt att det är noll och då brukar man inte skriva ut det. Liknande brukar man inte skriva ut 1:an när koefficienten till x är - 1 eller 1.

I en linjär funktion är m-värdet den term som inte har någon faktor x. Undersöker vi funktionen i uppgiften kan vi läsa av m-värdet till 9. Vi passar även på att flytta ner x-faktorn bakom bråket i den första termen, och kan då avgöra att k-värdet är 23.

Om vi jämför y=4x^2+7 med räta linjens ekvation ser vi att den inte är skriven på k-form, eftersom x står i kvadrat. Detta är alltså en andragradsfunktion, som definieras av andra egenskaper. Funktionen saknar därför k- och m-värde.

Här måste vi se upp. Det är lätt att luras av ordningen som termerna står i, men kom ihåg att det som avgör vad som är k- och m-värde är vilken som står framför x och vilken som är konstant. Om vi skriver om funktionsuttrycket så att x-termen står först, hamnar den i en ordning som följer räta linjens ekvation.

Ur figuren framgår det alltså att m-värdet är 3.

En linje med en ekvation som står på k-form skrivs y = kx + m, där k är linjens lutning och m anger y-värdet där linjen skär y-axeln. För att bestämma k- och m-värdet för denna linje läser vi av linjens lutning och skärningspunkt med y-axeln.

Denna linje skär y-axeln i punkten (0,2), vilket innebär att linjens m-värde är 2. Vi ser även att linjen ökar 1 steg i y-led för varje ökning med 2 steg i x-led. Lutningen är alltså k=1/2 eller k=0,5 Linjen L kan därför beskrivas med ekvationen y = 0,5x + 2.

Eftersom priset inte påverkas av några fasta avgifter kan kostnaderna beskrivas som proportionaliteter på formen y=kx, där y är kostnaden i kr, x är antal dagar och k är proportionalitetskonstanten eller .pris /dag.. Denna beräknas med formeln k=y/x. För att priset ska vara proportionellt måste proportionalitetskonstanten för två dagars hyra och två veckors hyra sammanfalla. Vi beräknar dem en i taget. Om man hyr bilen i 2 dagar kostar det 700 kr. Det betyder att k_1=700/2=350. kr /dag .. Hyr man bilen i två veckor (14 dagar) kostar det 3 500 kr. Det ger dagspriset k_2=3 500/14=250. kr /dag..

Slutsats

Dygnspriserna, eller proportionalitetskonstanterna, är olika. Alltså är priset inte proportionellt mot antal dagar bilen hyrs.

Från förra deluppgiften vet vi att om man hyr bilen i två veckor betalar man 250 kr per dag. Det är till denna nivå som priset per hyresdag ska sänkas. Sambandet mellan hyran och antalet dagar kan vi därför skriva y = 250x. Med detta samband beräknar vi hyran y då bilen hyrs i två dagar (x = 2).

Hyran för två dagar är alltså 500 kr. Tidigare var bilhyran för två dagar 700 kr, så det krävs en sänkning med 200 kr.

Vi läser av linjens k- och m-värde: y= 3x -9 k= 3 och m= - 9 Riktningskoefficienten k är alltså 3, vilket betyder att linjen ökar med 3 steg på y-axeln när man går ett steg åt höger på x-axeln. Vidare ser vi att m-värdet är - 9. Det betyder att funktionen skär y-axeln när y = - 9.

Vi läser av linjens k- och m-värde: y= -2x+ 5 k= -2 och m= 5 Riktningskoefficienten är -2, vilket betyder att linjen minskar med 2 steg på y-axeln när man går ett steg åt höger på x-axeln. Vidare ser vi att m-värdet är 5. Det betyder att funktionen skär y-axeln när y = 5.

För att bestämma ekvationen på k-form beräknar vi linjens k- och m-värde.

k-värde

Vi bestämmer riktningskoefficienten med formeln k = y_2 - y_1x_2 - x_1, där exempelvis y_2 är andra punktens y-koordinat. Det spelar ingen roll vilken punkt vi väljer den andra, vi kan t.ex. välja (4,7) och då blir y_2=7, x_2=4 osv.

Riktningskoefficienten är alltså k = 5.

m-värde

Än så länge har vi y = 5x + m. Men hur bestämmer vi m-värdet? Med hjälp av en känd punkt, som vi vet ger ett visst y-värde för något x-värde, kan vi bestämma m. Vi sätter alltså in en av de kända punkterna, t.ex. (4,7), i ekvationen och löser ut m.

Linjens ekvation är y = 5x - 13, och här är vi klara. Om vi vill kan vi även tolka resultatet. Linjen stiger 5 steg i y-led när man går 1 steg åt höger, och skär y-axeln i punkten (0,-13). Nedan har vi även ritat punkterna och linjen i ett koordinatsystem.

Då punkterna ligger på samma linje, kommer lutningen mellan punkterna (-4,2) och (3,9) att vara samma som mellan (3,9) och den okända punkten. Vi börjar med att beräkna linjens k-värde med hjälp av de kända punkterna, som vi kan kalla punkt 1 och 2. Vi använder formeln för riktningskoefficienten: k = y_2 - y_1/x_2 - x_1, där exempelvis y_2 står för y-koordinaten för den andra punkten, alltså 9.

Linjen har lutningen 1. Det innebär att för varje steg i x-led rör sig linjen 1 steg uppåt. Vi vet att mellan punkterna (3,9) och (20,y) rör sig linjen 20-3=17 steg i x-led. Den rör sig då även 17 steg i y-led, vilket innebär att den okända y-koordinaten är y=9+17=26.

Efter att vi har bestämt k-värdet till 1 kan vi välja att använda formeln k = y_2 - y_1x_2 - x_1 en gång till, men denna gång kan vi sätta in k=1 direkt och det är y_2 (dvs. den sökta koordinaten y) som är okänd.

Punkten (20,y) har alltså y-koordinaten 26.

För att kunna skriva linjens ekvation behöver vi känna till minst två punkter på linjen. Vi kan se två punkter på grafen med bara heltalsvärden: (3,2) och (4,14). Punkterna ligger 1 steg ifrån varandra i x-led, så genom att bestämma skillnaden i y-led får vi k-värdet (lutningen).

Vi ser att skillnaden i y-led är 12, så k = 12. Hittills kan vi alltså skriva linjens ekvation som y=12x+m. Slutligen måste vi även bestämma var linjen skär y-axeln. Vi sätter in en av punkterna, t.ex. (3,2), i ekvationen och löser ut m.

Linjens ekvation kan skrivas y=12x-34.

Om y är proportionell mot x ska man kunna skriva sambandet på formen y=kx, Vi skriver om ekvationen så att y står ensamt i vänstra ledet och undersöker om det står på denna form.

Vi ser att sambandet mellan x och y inte kan skrivas på formen y = kx, eftersom vi har en konstantterm - 2 i det högra ledet. Därför är y inte proportionell mot x.

Vi gör på samma sätt som i den förra deluppgiften och löser ut y. Om ekvationen kan skrivas på formen y = kx är y proportionell mot x.

Alltså är y proportionell mot x, eftersom sambandet kan skrivas på formen y=kx.

y är proportionell mot x så punkterna i tabellen ska alla falla på en linje som står på formen y = kx. För en av punkterna känner vi till både x- och y-koordinaten. Vi använder denna för att beräkna proportionalitetskonstanten k.

Vi vet vi att den räta linjen genom punkterna är y = 5x. Vi ritar denna och markerar punkterna i ett koordinatsystem.

Vi bestämmer b genom att sätta in punkten (b+5, 55) i funktionen och lösa ut b.

Svaret är alltså att b=6.

Vi utgår från värdetabellen och väljer ut ett par x- och motsvarande y-värden. Genom att sätta in dessa värden i sambandet y= kx kan vi lösa ut proportionalitetskonstanten k.

Sambandet kan skrivas y= 6x.

Vi vet redan att sambandet mellan x och y är y = 6x. Vi sätter nu in x=18 och beräknar y-värdet.

När x = 18 är y= 13.

Vi vet att en proportionalitet beskrivs av en rät linje som går igenom origo. Men hur ser grafen för en omvänd proportionalitet ut, exempelvis y=1/x? Innan vi ritar upp den analyserar vi hur den borde bete sig när x är väldigt litet kontra när x är väldigt stort.

Stora värden på x

När x är stort ett stort positivt eller negativt tal kommer nämnaren i bråket 1x vara mycket större än täljaren. Därför kommer bråket att bli mindre och mindre och närma sig 0. Vi förväntar oss alltså att y ska gå mot 0 när x ligger långt ut åt höger eller vänster på x-axeln.

Små värden på x

Ett bråk blir större ju mindre nämnaren blir. Så när x går mot 0 från höger på tallinjen kommer bråkets värde att bli ett större och större positivt tal, och när x närmar sig 0 från vänster på tallinjen kommer det istället att bli ett mindre och mindre negativt tal.

Grafen av y= 1x

Vi ritar nu grafen av funktionen y= 1x.

Som vi kan se beter sig grafen som förväntat. För x som ligger långt ut åt höger eller vänster på x-axeln går y mot 0, medan y går mot stora positiva tal när x kommer mot 0 från höger, och mot små negativa tal när x kommer mot 0 från vänster.

Vi utgår från en rät linje på k-form, y = kx + m. Vi söker villkor för k och m. m är ju y-värdet där linjen skär y-axeln, så om linjen ska skära den positiva delen av y-axeln så måste m anta ett positivt värde, dvs. m > 0. Vad gäller för k-värdet? För att linjen även ska skära den positiva delen av x-axeln måste linjens lutning k vara negativ, vilket vi kan se i koordinatsystemet nedan. Om k=0 kommer linjen aldrig att skära x-axeln, och för positiva k-värden kommer linjen att skära den negativa delen av x-axeln.

Alltså måste k < 0 och m > 0 gälla, d.v.s. alternativ B och C är rätt.

En linje med uppförsbacke, om vi tänker oss att vi går från vänster till höger, har positivt k-värde. Endast en av linjerna lutar uppåt och det är A.

På liknande sätt ger nedförsbacke ett negativt k-värde och en platt linje ger k-värdet noll. Alltså har

• A: positivt k-värde
• B: negativt k-värde
• C: k-värdet 0

Men hur är det med D? Denna linje är lodrät och därmed inte en funktion eftersom det finns flera, oändligt många i det här fallet, y-värden för x-värdet 7,5. Denna linje kan därför inte skrivas på formen y=kx+m och saknar alltså k-värde.

En rät linje på k-form skrivs y=kx+m, där k anger lutningen eller det antal steg funktionen rör sig i y-led då man går 1 steg i x-led. m anger y-värdet där linjen skär y-axeln. Vi börjar med att rita ett koordinatsystem och pricka in m-värdet, som för y=3x-1 är lika med -1.

Linjens k-värde är 3. Exempelvis kan vi utgå från punkten vi satte ut och gå ett steg åt höger i x-led. Sedan går vi 3 steg uppåt, och där sätter vi ut en ny punkt. Slutligen sammanbinder vi punkterna med en linje som sträcker sig över hela koordinatsystemet.

Vi resonerar på samma sätt som i förra deluppgiften. För funktionen y=-2 x+4 är k=-2 och m = 4. Vi markerar m-värdet 4 på y-axeln. Minustecknet innebär att linjen rör sig 2 steg nedåt för varje steg i x-led. Detta ger oss följande linje.

Funktionen y=- x-3 kan även skrivas som y=-1 x-3. Vi ser då att k=-1 och m=-3. På precis samma sätt som i tidigare deluppgifter ritar vi linjen utifrån denna information.

För att ange prisskillnaden per kilogram måste vi först ta reda på kilopriset för respektive äppelsort. Det kan vi göra genom att läsa av hur mycket ett visst antal kilo äpplen kostar och sedan dividera priset med vikten. Det spelar ingen roll vilka punkter vi väljer, eftersom priset är proportionellt mot vikten, så vi väljer några lättavlästa punkter, t.ex. de där x=10.

Vi ser att 10 kg av den ena äppelsorten kostar 220 kr, vilket motsvarar ett kilopris på 220/10=22kr/kg. Den andra sorten är lite billigare: 10 kg kostar 160 kr. Det ger kilopriset 160/10=16kr/kg. Differensen mellan dessa två kilopriser är alltså 22-16=6 kr.

För att beräkna temperaturen efter 2 timmar sätter vi in x=2 i funktionen och förenklar y.

Efter 2 timmar är frysboxens temperatur - 17,6 ^(∘) C.

Funktionen visar temperaturen y efter x timmar så genom att likställa funktionen med 0 och lösa ut x kan vi bestämma hur många timmar det tar innan temperaturen är 0 ^(∘) C.

Efter 90 timmar är frysboxens temperatur 0 ^(∘) C.