Linjära funktioner

Utgå ifrån räta linjens ekvation, dvs. y=kx+m. Koefficienten framför x är k-värdet och konstanten är m-värdet. Lägg märke till att både k och m är konstanter, så x tillhör med andra ord inte k-värdet.

Vi resonerar på samma sätt som i förra deluppgiften. Om vi jämför y=-4,5x-12 med räta linjens ekvation ser vi att k=-4,5 och m=-12.

Vi resonerar på samma sätt som tidigare, men här måste vi först fundera över vilken koefficient som ska stå framför x. Genom att skriva om x som 1x blir det mycket tydligare att k=1 och m=1.

Det är möjligt att läsa av linjens k-värde i figuren, men vi kan också beräkna det med formeln k = Δ yΔ x. De två punkterna i grafen är A=(3,4) och B=(7,6)- Ur grafen kan vi direkt läsa av att ändringen i x från A till B är 4, men vi kan också räkna ut den med Δ x = x_2 - x_1.

På samma sätt här kan vi se att förändringen i y-led är 2 eller så sätter in y-värdena i formeln Δ y = y_2 - y_1.

Vi sätter nu in Δ x och Δ y i k-formeln för att bestämma lutningen.

Linjens lutning är alltså 0,5.

Lutningen för en linje kan bestämmas genom att dividera skillnaden mellan punkternas y-värden med skillnaden mellan deras x-värden: k=Δ y/Δ x=y_2-y_1/x_2-x_1. Sätter vi in punkternas x- och y-värden kan vi alltså beräkna k-värdet.

Linjens lutning är alltså 1.

För att skriva den räta linjens ekvation på k-form måste vi bestämma både k-värdet och m-värdet. Linjens m-värde är y-koordinaten i punkten där linjen skär y-axeln.

Vi ser att m-värdet är 0,5. För att bestämma linjens lutning mäter vi skillnaden i y-led mellan två punkter på grafen som ligger 1 steg ifrån varandra i x-led.

Skillnaden i y-led är - 0,5 eftersom den minskar med 0,5 när man går ett steg åt höger i x-led. Linjens lutning är k = - 0,5 och genom att sätta in k- och m-värdet i räta linjens ekvation får vi y=- 0,5x+0,5.

Termerna i linjens ekvation är skrivna i en annan ordning är den vanliga, men den är fortfarande skriven på k-form, dvs. y = kx + m. För att lättare se detta byter vi plats på termerna: y = - 2x + 3. m-värdet, som anger det y-värde där linjen skär y-axeln, är 3. Det innebär att punkten (0,3) finns på linjen. Vi sätter ut den i ett koordinatsystem.

k-värdet, som anger antalet steg man ska gå i y-led för varje steg man går åt höger i x-led, är - 2. Vi ska alltså gå 2 steg nedåt för varje steg i x-led. Om vi utgår från punkten på y-axeln och går 1 steg åt höger i x-led och 2 steg nedåt i y-led hittar vi en till punkt på linjen. Vi ritar en linje igenom de två punkterna.

Kom ihåg att linjen ritas genom hela koordinatsystemet och inte bara mellan de två punkterna.

För att lättare se att ekvationen för linjen är skriven på k-form, y = kx + m, skriver vi om den på formen y = 1/2x + 1. Vi markerar m-värdet 1 på y-axeln. k-värdet är 12, vilket innebär att vi ska gå ett halv steg uppåt och ett steg åt höger för att hitta en till punkt på linjen. Eftersom den punkten hamnar mellan två linjer i koordinatsystemet kan det vara enklare att gå 2 steg åt höger istället, vilket ger en ökning på ett helt steg i y-led. Dessa punkter ger oss linjen i koordinatsystemet nedan.

Ekvationen y = - 3 är även den skriven på k-form, trots att den inte har någon x-term. Detta blir mycket tydligare om vi skriver om den som y = 0 * x - 3. k-värdet är alltså noll vilket innebär att linjen inte har någon lutning. Vi sätter först in m-värdet - 3 på x-axeln och går sedan ett steg åt höger i x-led utan att gå varken upp eller ner på y-axeln. Kopplar vi ihop dessa punkter får vi den vågräta linje som ritats i koordinatsystemet.

En graf som visar en proportionalitet är en rät linje som går igenom origo. A går visserligen genom origo, men det är ingen rät linje, så den kan vi utesluta. Både B och C är räta linjer som går igenom origo, så de är proportionaliteter. Graf D är en rät linje, men den går inte genom origo. Graferna som beskriver proportionaliteter är alltså B och C.

Eftersom priset butiken betalar är proportionellt mot antalet gram kan priset beskrivas med y = kx, där k är proportionalitetskonstanten. Grafen går genom origo, men för att beräkna proportionalitetskonstanten k behöver vi veta ytterligare en punkt på grafen. Vi väljer en lämplig punkt på grafen och läser av koordinaterna.

En punkt på grafen är (5,1 500). Med värdena x = 5 och y = 1 500 kan vi beräkna proportionalitetskonstanten k.

Proportionalitetskonstanten är alltså k = 300.

Vi skriver ekvationen så att den står på formen y = kx + m.

På k-form skrivs ekvationen y = x + 3. Observera att när k = 1 brukar man inte skriva ut denna koefficient framför x-termen. Skulle vi ändå skriva ut k-värdet blir ekvationen y = 1x + 3.

Vi gör samma sak igen och löser ut y.

Proportionalitetskonstanten beskriver hur mycket funktionsvärdet ökar när x-värdet ökar med 1. I det här fallet är det samma sak som kostnadens ökning i kr när antalet burkar ökar med 1, alltså priset för en burk. Vi vet att om antalet burkar, x, är 15 ska totala priset, y, bli 225 kr. Vi sätter in detta i y=kx och löser ut k.

Proportionalitetskonstanten är 15 vilket innebär att grafen ökar med 15 för varje steg åt höger på x-axeln. Det innebär också att priset för en burk läsk är 15 kr.

Vi kan börja med att markera priset och antal kg i ett koordinatsystem med priset på y-axeln och vikten på x-axeln.

Om priset är proportionellt mot vikten ska båda punkter falla på en linje på formen y = kx, där k är proportionalitetskonstanten. Sätter vi in punkterna i formeln ska båda ge samma k-värde om priset är proportionellt.

Punkten (3,5; 28)

Linjen mellan origo och (3,5;28) har lutningen k=8.

Punkten (12, 84)

Linjen mellan origo och (12,84) har lutningen k=7. Eftersom vi fick olika k-värden är priset inte proportionellt mot vikten.

För att Elin ska tjäna på att köpa ett månadskort behöver hon göra så pass många enkelresor att den totala kostnaden för dessa överstiger priset för ett månadskort, 230 kr. Vi markerar kostnaden 230 kr i diagrammet och använder det för att avgöra hur många resor Elin behöver åka.

Den första punkten ovanför 230 kr-strecket motsvarar 12 enkelresor, så Elin börjar tjäna på att ha månadskort om hon åker minst 12 resor. Hade hon inte köpt månadskort hade hon fått betala nästan 250 kr för 12 resor, och ännu mer om hon gör ytterligare resor.

Det är svårt att direkt läsa av hur mycket 1 enkelresa kostar eftersom punkten som motsvarar 1 resa inte ligger i en skärningspunkt mellan linjerna. Däremot kan vi läsa av att 5 resor kostar 100 kr.

Genom att dividera kostnaden med antal resor får vi kostnaden för 1 resa: 100/5=20 kr.