Linjära funktioner

Vi är intresserade av punkten där linjen skär y-axeln. Punkter som ligger på y-axeln har alltid x-koordinaten 0. Vi hittar vår sökta skärningspunkt genom att sätta in x = 0 i ekvationen och lösa ut y. Därigenom hittar vi punktens y-koordinat.

Alltså skär linjen y-axeln där y=4,5.

Graferna är räta linjer och går igenom origo. Det innebär att sambandet mellan x och y är proportionellt och kan skrivas y=kx, där k är proportionalitetskonstant. Genom att läsa av punkter från linjerna och sätta in i sambandet kan vi lösa ut k för respektive tuggummisort. Vi börjar med att identifiera punkter som graferna går igenom och läsa av x- och y-koordinaterna.

Vi ser att A går igenom (1,5), B går genom (4,8) och C går genom (4,1). Nu kan vi bestämma k för linjerna genom att sätta in dem i formeln för proportionalitet.

Vi har alltså att &GrafA: y=5x [0.8em] &GrafB: y=2x [0.6em] &GrafC: y= 14x.

Vi kallar antalet tuggummin av A för a. Du köper lika många av B, så totalt a + a = 2a stycken. Eftersom antalet av C är dubbelt så stort som A och B tillsammans måste antalet av C vara 2 * 2a = 4a stycken. Det totala antalet tuggummin blir a + a + 4a = 6a. Om vi kan ta reda på a kan vi beräkna antalet tuggummin totalt. Vi tar fram ett uttryck för den totala kostnaden genom att multiplicera antalet tuggummi av respektive sort med tillhörande styckpris.

Den totala kostnaden blir 5a+2a+2a och detta ska vara lika med 56 kr vilket ger oss en ekvation som vi kan lösa.

Alltså är a lika med 7. Sedan tidigare vet vi att det totala antalet köpta tuggummin är 6a. Totalt köpte du alltså 6 * 7 = 42 tuggummin.

Eftersom graferna är räta linjer och går igenom origo beskriver de samband som kan skrivas på formen y = kx. Konstanten k kan tolkas som ostens pris per kilogram. Om vi beräknar de båda ostarnas kilopris kan vi sedan beräkna skillnaden. Vi börjar med att bestämma koordinaterna för en punkt som ligger på respektive graf. Vi utgår från ett lämpligt värde på y-axeln och läser av x-koordinaten.

Längs den röda linjen hittar vi punkten (6, 400) och längs den blå linjen hittar vi (16, 1 400). Nu bestämmer vi k för varje linje.

Röd graf

Proportionalitetskonstanten för den röda grafen är ca 67. Ostsorten som hör till den röda grafen har därför ett kilopris på ca 67 kr.

Blå graf

Proportionalitetskonstanten för den blå grafen är 87,5. Den ostsort som hör till den blå grafen har alltså kilopriset 87,5 kr. Skillnaden i kilopris blir ungefär 87,5-67 = 20,5≈ 21 kr.

I koordinatsystemet kan vi läsa av punktens koordinater som (4, 4a). Punktens x-koordinat är alltså känd, medan y-koordinaten beror på den okända konstanten a. Vi läser även av linjens skärningspunkt med x-axeln i (1,0).

Vi kan beräkna konstanten a genom att använda formeln för att beräkna k-värdet. Från grafen vet vi lutningen på en linje som går genom punkten (4, 4a) och den linjen är y = 8x + m. Linjens lutning är alltså k = 8. Genom att sätta in de markerade punkterna i k-formeln och likställa med 8 kan vi lösa ut a.

Vi skulle egentligen beräkna värdet på a. Men syftet var ju att beräkna 4a så det finns ingen anledning att lösa ut a i VL. Punktens koordinater är alltså (4, 24).

Eftersom vi vet att linjen skär x-axeln i punkten (1, 0) kan vi använda denna punkt till att beräkna linjens konstantterm. Vet vi värdet av denna term kan vi därefter beräkna den sökta punktens y-koordinat. Vi sätter in punkten (1, 0) i funktionen och löser ut m.

Linjens ekvation är alltså y = 8x - 8. Vi sätter in den sökta punktens x-koordinat i denna ekvation och beräknar y-koordinaten.

Den sökta punkten är alltså (4, 24).

Vi bestämmer linjens ekvation genom att sätta in punkten (-3,6) i y = 3x + m och löser sedan ut m.

Linjens ekvation är alltså y = 3x + 15. Genom att sätta in koordinaterna från punkten (2b,b) kan vi bestämma b.

Svaret är alltså att b=-3.

Linjen skär y-axeln då x = 0. Sätter vi in x = 0 i ekvationen kan vi lösa ut det motsvarande y-värdet.

Skärningspunkten mellan linjen och y-axeln är (0,m).

Linjen skär x-axeln då y = 0. Sätter vi in y = 0 i ekvationen kan vi lösa ut det motsvarande x-värdet.

Skärningspunkten mellan linjen och x-axeln är (- mk,0).

Värdetabellen beskriver punkterna &(z-9, h+1) &(2+a, 3+b) &(u+2, 8-b) &(4+a, 9+b). För att bestämma lutningen behöver vi känna till två punkter på linjen och sätta in dessa i k-formeln: k=y_2-y_1/x_2-x_1. Men punkterna innehåller okända värden som vi vill bli av med på något sätt, t.ex. genom förkortning eller genom att de tar ut varandra, så att vi får ett numeriskt uttryck. Undersöker vi punkterna ser vi att två av dem har lika många a och b i både x- och y-koordinaterna. &(z-9, h+1) &(2 + a, 3 + b) &(u+2, 8-b) &(4 + a, 9 + b). När de sätts in i k-formeln kommer de okända värdena att ta ut varandra i täljare och nämnare.

Lutningen är alltså k=3.

Än så länge vet vi att linjen kan skrivas y=3x+m. Att ta reda på linjens skärning med y-axeln är detsamma som att bestämma m-värdet. För att göra detta sätter vi in den givna punkten och provar att lösa ut m.

De okända värdena tog återigen ut varandra och gav oss m-värdet -3, vilket betyder att linjen skär y-axeln i punkten (0,-3).

Om en lodrät linje kan skrivas på formen y = kx + m, måste vi ju kunna bestämma k-värdet. Vi antar att det finns en lodrät linje vid x-koordinaten a och på denna linje väljer vi ut två punkter (a, y_1) och (a, y_2). Eftersom linjen är lodrät kommer alla x-koordinater på den att vara a.

k-värdet för en linje kan räknas ut med formeln k = Δ y/Δ x = x_2 - x_1/y_2 - y_1. Vi sätter in punkterna (a, y_1) och (a, y_2) och förenklar.

Att dividera med noll är otillåtet, vilket innebär att det inte finns något k-värde som kan beskriva linjen. Det finns alltså inget sätt att skriva en lodrät linjes ekvation på k-form. Man använder istället formen x=a, där a är linjens x-koordinat.

Vi börjar med att dela ett A4-ark på mitten med kortsidorna mot varandra. Vi får då två A5-ark.

Vi delar nu A5-arken på samma sätt för att få två A6-ark.

Nu ser vi att det får plats 4 röstsedlar i A6-format på ett A4-ark.

För att ta reda på arean av ett A0-ark behöver vi hitta dess längd och bredd. Det gör vi genom att tänka oss att ett A4-ark är ett A0-ark som man vikt ihop 4 gånger. Om vi vecklar ut ett A4-ark en gång får vi ett A3-ark osv. Detta innebär att den längsta sidan på ett A4 utgör den kortaste sidan på ett A3, att den längsta sidan på ett A3 utgör kortsidan på ett A2 osv.

Baserat på längderna i figuren ovan kan vi räkna ut att ett A0-ark är 1 188 mm långt och 840 mm brett.

Vi omvandlar längd och bredd till meter innan vi bestämmer arean eftersom det är lättare att få en uppfattning om papprets storlek när arean uttrycks i m^2 jämfört med mm^2. &1 188/1 000=1,188m [1.2em] &840/1 000=0,84m Tills sist multiplicerar vi ihop bredd och längd för att bestämma arean av arket.

Arean av ett A0-ark är alltså ca 0,998 m^2.

Vi har tidigare beräknat längd och bredd för A6-, A5- och A3-ark (se deluppgift B). Låt oss anta att det råder ett linjärt samband mellan längden och bredden, y=kx+m. Detta betyder att alla längd- och breddpar för de olika A-storlekarna som bestämdes i deluppgift B måste ligga på en och samma linje. Vi börjar med att bestämma lutningen, d.v.s. k-värdet, och använder k-formeln för att göra det: k=Δ y/Δ x. Skillnaden Δ y blir här en skillnad i längd mellan två A-storlekar, och samma sak för Δ x, men i bredd. Vi väljer att jämföra A4 och A5, vilket innebär att vi ska sätta in koordinaterna för punkterna (148,5;210) och (210;297).

Längden på ett ark i A-serien ökar alltså med ca 1,41 mm för varje millimeter det blir bredare. Vi har alltså att y=1,41x+m. Vi bestämmer nu m-värdet genom att sätta in y=l och x=b för ett A4-ark (Men vilket A-ark som helst funkar) i räta linjens ekvation och lösa ut m.

Vi har alltså att m-värdet är 0,9, vilket vi kan sätta in i räta linjens ekvation, och får då att längden y av ett papper i A-serien beror på bredden x via y=1,41x+0,9.