Faktorsatsen

Vi kan lättare bestämma nollställen till ett polynom av högre grad om vi först lyckas faktorisera polynomet i faktorer med grad 1 eller grad 2. Vi vet att (x^2+4) är en faktor i polynomet p(x) = x^4-2x^3+6x^2-8x+8. Det betyder att det kan skrivas som p(x)=(x^2+4)q(x), för något polynom q(x). q(x) måste vara ett andragradspolynom eftersom gradtalet för p(x) är 4. Vi ansätter q(x)=ax^2+bx+c och bestämmer värden på a, b och c genom att jämföra med det första uttrycket för p(x). Vi börjar med att multiplicera ihop faktorerna.

Denna omskrivning ska alltså stämma överens med p(x):

Genom att jämföra koefficienterna i x^4- och x^3-termen samt konstanten får vi a=1, b=-2 och 4c=8 Den sista likheten ger c-värdet 2. Men vi har fler koefficienter i polynomet, så vi måste kontrollera att de också blir samma med dessa värden på a, b och c. 4a+c=4* 1+2=6 och 4b=4(-2)=-8 Koefficienterna för x^2- och x-termen blir 6 respektive -8, vilket var det vi eftersträvade, så vi har hittat de korrekta värdena på a, b och c. Polynomet p(x) kan alltså skrivas p(x)=(x^2+4)(x^2-2x+2). För att hitta nollställena löser vi ekvationen p(x)=0.

Den första ekvationen har de imaginära nollställena x=±2i. Den andra löser vi med pq-formeln.

Polynomets nollställen är alltså x=- 2i, x=2i, x=1-i och x=1+i.

Ett andragradspolynom med reella koefficienter kan skrivas på formen az^2 + bz + c, där a, b och c är reella tal. Polynomets nollställen är lösningar till ekvationen az^2 + bz + c = 0. Om vi vill använda pq-formeln börjar vi med att dividera ekvationens båda led med a. Det ger z^2 + b/az + c/a = 0 ⇔ z^2+pz+q=0, där p= ba och q= ca. Rötterna till denna ekvation är enligt pq-formeln \begin{aligned} z = - \dfrac p2 \pm \sqrt { \left ( \dfrac p2 \right )^2 - q}. \end{aligned} Det reella talet - p2 kan vi kalla x. Ekvationen har komplexa rötter om ( p2)^2-q, som står under rottecknet, är negativt. Då blir rotuttrycket rent imaginärt, vilket betyder att vi kan skriva det på formen yi, där y är reellt. Vi får då z=x± yi. Den ena roten är z=x+yi och den andra är z=x-yi. Dessa tal är varandras komplexkonjugat. Det betyder att rötterna är konjugerande par.

Vi ska nu undersöka nollställena till ett tredjegradspolynom — vi kan kalla det P(z) — med reella koefficienter a, b, c och d. P(z) = az^3+bz^2+cz+d Eftersom polynomet har grad 3 finns det maximalt 3 nollställen. Om de komplexa nollställena kommer i par kan det som mest vara ett par. Åtminstone ett nollställe borde alltså vara reellt. Första steget är att visa att detta stämmer.

Minst ett reellt nollställe

Som hjälp för tanken ritar vi ett exempel på en graf till ett tredjegradspolynom.

Grafen i denna figur motsvarar ett polynom där koefficienten a>0. Då gäller att kurvan "börjar" under z-axeln och "slutar" ovanför. Det beror på att tredjegradstermen az^3 blir mycket större än de andra termerna när z är ett väldigt stort tal. Jämför t.ex. termerna az^3 och bz^2. De kan skrivas som produkterna az* z^2 och b* z^2. För värden på z som gör att az är mycket större än b kommer den andra termen inte göra så mycket varken från eller till. Detsamma gäller termerna cz och d. Man säger att termen az^3 dominerar. För stora värden på z blir P(z) därmed väldigt stort och för stora negativa värden blir P(z) ett stort negativt tal. Då följer det att kurvan måste skära z-axeln i minst en punkt och polynomet har alltså ett reellt nollställe. i fallet då a<0 kommer P(z) istället "börja" positiv och "sluta" negativ.

Övriga nollställen

Om vi kallar det reella nollstället för z_0 kan vi enligt faktorsatsen skriva polynomet på formen P(z)=(z-z_0)Q(z), där Q(z) är ett andragradspolynom. Enligt föregående deluppgift vet vi att de komplexa nollställena till detta andragradspolynom alltid utgör ett konjugerat par. Därmed har vi visat att även för tredjegradspolynomet P(z) är de komplexa nollställena ett konjugerat par.

Vi tar en titt till på grafen vi ritat och funderar kring vilka möjligheter det finns för nollställena.

Här har polynomet endast har ett reellt nollställe, kurvan skär ju z-axeln i endast en punkt. Det innebär att de andra två är komplexa och utgör ett konjugerat par.

Om kurvan flyttas uppåt kommer den snart nudda z-axeln i en punkt till. Polynomet har då två reella nollställen, där det ena motsvarar en dubbelrot.

Flyttas kurvan upp lite till skär den z-axeln i tre punkter – vi har då tre reella nollställen.

(IV) Fortsätter vi flytta kurvan uppåt når vi ett nytt läge med två reella rötter, en enkel-rot och en dubbelrot.

När kurvan flyttats så att hela dess "sväng" är ovanför z-axeln finns åter ett reellt nollställe och två komplexa. Alla tredjegradsfunktioner "svänger" inte på detta sätt, så visar vi några grafer till.

Denna kurva motsvarar ett polynom med ett reellt nollställe — P(z)=0 har en trippelrot. Om kurvan flyttas i höjdled representerar den istället polynom med ett reellt nollställe och två komplexa.

I vår sista figur har vi en graf till ett tredjegradspolynom som har ett reellt nollställe och två komplexa – detsamma gäller oavsett hur vi flyttar den i höjdled.