Metod

Faktorisera polynom genom att identifiera koefficienter

Ibland har man en polynomekvation som man inte kan lösa som den är — den kan t.ex. ha för stort gradtal. Om det går att faktorisera polynomet kan man använda nollproduktmetoden för att minska gradtalet av ekvationen, vilket kan göra den enklare att lösa. Med hjälp av faktorsatsen kan man faktorisera ett polynom $p(x)$ om man redan känner till en av polynomens nollställen, $x = a.$ T.ex. kan man faktorisera $p(x) = x^3 + 3x^2 - 5x - 39,$ som har nollstället $x = 3.$

1

Ställ upp en faktorisering med hjälp av faktorsatsen

Eftersom $x = a$ är ett nollställe till polynomet $p(x)$ kan man enligt faktorsatsen bryta ut $(x - a)\text{:}$

$p(x) = (x - a)q(x),$

där $q(x)$ är ett polynom av $1$ grad lägre än $p(x)$. För exemplet är $x = 3$ ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp

$p(x) = (x - 3)q(x),$ där $q(x)$ är ett polynom av grad $2.$

2

Ställ upp ett allmänt uttryck för $q(x)$

Nu ersätter man $q(x)$ i uttrycket för $p(x)$ med en allmän form av polynomet. Eftersom $q(x)$ har graden $2$ i exemplet kan man ersätta det med det generella uttrycket för ett andragradspolynom, $ax^2+bx+c.$ Vid insättning får man då $p(x) = (x-3)\left(ax^2+bx+c\right).$

3

Likställ polynomets faktorform och allmänna form

Man har nu två uttryck för $p(x)$ som man kan likställa: en på faktorform och en på allmän form. För exemplet är uttrycken $\begin{aligned} p(x) &= (x-3)\left(ax^2+bx+c\right)\\ p(x) &= x^3+3x^2-5x-39. \end{aligned}$ Högerleden beskriver samma polynom, och därför likställer man dessa som ett första steg för att bestämma $q(x)$. $(x-3)\left(ax^2+bx+c\right)=x^3+3x^2-5x-39$ Multiplicerar man ihop parenteserna får man tredjegradspolynomet på allmän form i båda led.

$(x-3)\left(ax^2+bx+c\right)$

Utveckla och förenkla

Multiplicera parenteser

$x\cdot ax^2+x\cdot bx+x\cdot c-3\cdot ax^2 -3\cdot bx-3\cdot c$

Multiplicera faktorer

$ax^3+bx^2+cx-3ax^2-3bx-3c$

Omarrangera termer

$ax^3+bx^2-3ax^2+cx-3bx-3c$

Dela upp i faktorer

$ax^3+b\cdot x^2-3a\cdot x^2+c\cdot x-3b\cdot x-3c$

Bryt ut $x^2$

$ax^3+(b-3a)x^2+c\cdot x-3b\cdot x-3c$

Bryt ut $x$

$ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c$

Det här ger ekvationen $\begin{aligned} &\phantom{i}ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c\\ &= x^3 + 3x^2 - 5x - 39. \end{aligned}$

4

Likställ och bestäm polynomets koefficienter

För att likheten ska gälla måste koefficienterna i vänsterledet vara samma som de i högerledet. Man jämför dem alltså term för term, vilket ger ett ekvationssystem som är möjligt att lösa. För termen av grad $3$ i exemplet gäller $ax^3=x^3.$ Detta ger att $a=1.$ På samma sätt jämförs övriga termers koefficienter. $\begin{aligned} &x^3{\color{#0000FF}{\,+\,(b-3)}}x^2{\color{#009600}{\,+\,(c-3b)}}x{\color{#FF0000}{\,-\,3c}}\\ &x^3{\color{#0000FF}{\,+\,3}}x^2{\color{#009600}{\,-\,5}}x{\color{#FF0000}{\,-\,39}} \end{aligned}$ Nu ser man att $b-3=3,$ $c-3b=\text{-}5$ och att $\text{-} 3c = \text{-} 39.$ Eftersom detta är en samling av ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. $\begin{cases}b-3=3 \\ c-3b=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}$ Genom att lösa detta bestämmer man $b$ och $c.$ När det finns fler ekvationer än obekanta säger man att ekvationssystemet är överbestämt. Det påverkar inte hur man löser det men man måste kontrollera att ekvationerna inte ger en motsägelse.

$\begin{cases}b-3=3 & \, \, \text {(I)}\\ c-3b=\text{-}5 & \, \text {(II)}\\ \text{-}3c=\text{-}39 & \text {(III)}\end{cases}$

Lös ekvationssystemet

${\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}$ $\text{VL}+3=\text{HL}+3$

$\begin{cases}b=6 \\ c-3b=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}$ $b={\color{#0000FF}{6}}$

$\begin{cases}b=6 \\ c-3\cdot {\color{#0000FF}{6}}=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}$ Multiplicera faktorer

$\begin{cases}b=6 \\ c-18=\text{-}5 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}$ $\text{VL}+18=\text{HL}+18$

$\begin{cases}b=6 \\ c=13 \\ \text{-}3c=\text{-}39 \end{cases}$

${\color{#8C8C8C}{\text{(III): }}}$ $\left.\text{VL}\middle/(\text{-}3)\right.=\left.\text{HL}\middle/(\text{-}3)\right.$

$\begin{cases}b=6 \\ c=13 \\ c=13 \end{cases}$

Nu är koefficenterna som utgör polynomet $q(x)$ bestämda.

5

Sätt in koefficienterna i polynomets faktorform

Nu kvarstår det att sätta in koefficienterna i det faktoriserade uttrycket. För exemplet är det $p(x) = (x - 3)\left(ax^2+bx+c\right).$ Det gäller att $a=1$, $b=6$ och $c=13$. Vid insättning får man då $p(x) = (x-3)\left(x^2+6x+13\right)$ vilket är en faktorisering av det ursprungliga uttrycket för $p(x)$.

Nu när polynomet $p(x)$ faktoriserats är det lättare att lösa ekvationer på formen $p(x) = 0$, alltså $x^3 + 3x^2 - 5x - 39 = 0$ Om man istället använder det faktoriserade blir ekvationen, $(x-3)\left(x^2+6x+13\right) = 0$ som kan lösas med nollproduktmetoden. Den ena ekvationen man får är av grad $1$ och den andra är av grad $2$, och kan lösas fullständigt med hjälp av $pq$-formeln.