1. Faktorsatsen
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
1.
Faktorsatsen
Faktorsatsen är en kraftfull metod för att lösa polynomekvationer av högre grad, som tredjegradsekvationer. Genom att faktorisera polynomen eller känna till en rot, kan man använda polynomens egenskaper för att bestämma fler rötter. Om ett polynom är skrivet på faktorform kan dess nollställen bestämmas med nollproduktmetoden. Faktorsatsen är särskilt användbar när man har en polynomekvation som inte kan lösas i dess nuvarande form. Genom att faktorisera polynomet kan man använda nollproduktmetoden för att minska gradtalet av ena faktorn, vilket kan göra den enklare att lösa.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Faktorsatsen
Sida av 5
Polynomekvationer av högre grad än 2, t.ex. tredjegradsekvationer, är ofta svåra att lösa. Om man kan faktorisera dem eller känner till någon rot kan man dock använda polynomens egenskaper för att bestämma fler rötter.
Regel
Faktorsatsen
Om ett polynom är skrivet på faktorform kan dess nollställen bestämmas med nollproduktmetoden. Exempelvis har funktionen
En följd av detta är att om x=a är ett nollställe till p(x) kan polynomet skrivas som produkten
p(x)=(x−5)(x−2)
nollställena x=5 och x=2 eftersom de löser ekvationen (x−5)(x−2)=0. Det här gäller även åt andra hållet — om man känner till ett nollställe, t.ex. x=5, vet man att (x−5) är en faktor i polynomet.
Nollsta¨llen:Faktorer:x(x=2−2)ochochx(x=5−5)
Sambandet gäller för alla polynom och kallas faktorsatsen. Den kan formuleras på följande sätt. Om p(a)=0 är (x−a) en faktor i polynomet p(x).
p(x)=(x−a)q(x),
där q(x) är ett annat polynom.Exempel
Faktorisera polynomet med faktorsatsen
Faktorisera polynomet p(x)=x3+6x2−16x.
Visa Lösning expand_more
Vi noterar först att x finns i alla termer, så vi bryter ut det.
Nollställena till x2+6x+16 är alltså x=2 och x=−8. Enligt faktorsatsen är då (x−2) och (x−(−8)), dvs. (x+8), faktorer i polynomet. Tillsammans med faktorn x som vi bestämt sedan tidigare kan p(x) alltså skrivas som produkten
p(x)=x3+6x2+16x=x(x2+6x−16)
Nu har vi faktoriserat lite, men kan vi göra mer? Ja, i parentesen finns ett andragradspolynom. Genom att bestämma nollställena till det kan vi använda faktorsatsen för att bestämma ytterligare faktorer. Vi ska alltså lösa ekvationen
x2+6x+16=0.
Det kan vi göra med pq-formeln.
x2+6x+16=0
x1=−8x2=2
p(x)=x(x+8)(x−2).
Svaret kan kontrolleras genom att utveckla parenteserna och se att det verkligen ger det ursprungliga polynomet. Regel
Antal komplexa rötter till polynomekvationer
Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen x+5=0 en lösning medan x2−1=0 har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.
Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.
p(x)=(x−a1)q1(x),
för något polynom q1(x). Nu har man brutit ut en faktor av grad 1, alltså måste gradtalet av q1(x) vara 1 mindre än för p(x). Så länge gradtalet av q-polynomet är minst 1 kan man bryta ut ytterligare faktorer:
p(x)=(x−a1)(x−a2)q2(x).
Uppdelningen fortsätter tills q-polynomet är av grad 0, alltså en konstant man kan kalla qn. För ett polynom p(x) av gradtal n får man till slut en produkt med n+1 faktorer:
p(x)=(x−a1)(x−a2)…(x−an)qn.
Eftersom det finns n faktorer med termen x som alla motsvarar en komplex rot måste p(x) ha n komplexa rötter. Extra
MultiplicitetEn alert läsare kanske undrar hur man förklarar ekvationer som t.ex.
x2=0.
Gradtalet är 2, men här finns väl ingen annan rot än 0? Nej, det stämmer — men polynomet x2 kan faktoriseras till
(x−0)(x−0).
Faktorsatsen gör en koppling mellan polynomets faktorer och nollställen, så eftersom faktorn (x−0) förekommer två gånger kan man säga att nollstället 0 förekommer två gånger. x=0 kallas då en dubbelrot, eller en rot med multiplicitet 2.
Metod
Faktorisera polynom genom att identifiera koefficienter
Ibland har man en polynomekvation som man inte kan lösa som den är — den kan t.ex. ha för stort gradtal. Om det går att faktorisera polynomet kan man använda nollproduktmetoden för att minska gradtalet av ekvationen, vilket kan göra den enklare att lösa. Med hjälp av faktorsatsen kan man faktorisera ett polynom p(x) om man redan känner till en av polynomens nollställen, x=a. T.ex. kan man faktorisera
Nu när polynomet p(x) faktoriserats är det lättare att lösa ekvationer på formen p(x)=0, alltså
p(x)=x3+3x2−5x−39,
som har nollstället x=3.
1
Ställ upp en faktorisering med hjälp av faktorsatsen
expand_more
Eftersom x=a är ett nollställe till polynomet p(x) kan man enligt faktorsatsen bryta ut (x−a):
p(x)=(x−a)q(x),
där q(x) är ett polynom av 1 grad lägre än p(x). För exemplet är x=3 ett nollställe till tredjegradspolynomet. Alltså kan man ställa upp
p(x)=(x−3)q(x),
där q(x) är ett polynom av grad 2. 2
Ställ upp ett allmänt uttryck för q(x)
expand_more Nu ersätter man q(x) i uttrycket för p(x) med en allmän form av polynomet. Eftersom q(x) har graden 2 i exemplet kan man ersätta det med det generella uttrycket för ett andragradspolynom, ax2+bx+c. Vid insättning får man då
p(x)=(x−3)(ax2+bx+c).
3
Likställ polynomets faktorform och allmänna form
expand_more Man har nu två uttryck för p(x) som man kan likställa: en på faktorform och en på allmän form. För exemplet är uttrycken
Det här ger ekvationen
p(x)p(x)=(x−3)(ax2+bx+c)=x3+3x2−5x−39.
Högerleden beskriver samma polynom, och därför likställer man dessa som ett första steg för att bestämma q(x).
(x−3)(ax2+bx+c)=x3+3x2−5x−39
Multiplicerar man ihop parenteserna får man tredjegradspolynomet på allmän form i båda led.
(x−3)(ax2+bx+c)
▼
Utveckla och förenkla
ExpandPar
Multiplicera parenteser
x⋅ax2+x⋅bx+x⋅c−3⋅ax2−3⋅bx−3⋅c
Multiply
Multiplicera faktorer
ax3+bx2+cx−3ax2−3bx−3c
RearrangeTerms
Omarrangera termer
ax3+bx2−3ax2+cx−3bx−3c
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
ax3+b⋅x2−3a⋅x2+c⋅x−3b⋅x−3c
FactorOut
Bryt ut x2
ax3+(b−3a)x2+c⋅x−3b⋅x−3c
FactorOut
Bryt ut x
ax3+(b−3a)x2+(c−3b)x−3c
iax3+(b−3a)x2+(c−3b)x−3c=x3+3x2−5x−39.
4
Likställ och bestäm polynomets koefficienter
expand_more För att likheten ska gälla måste koefficienterna i vänsterledet vara samma som de i högerledet. Man jämför dem alltså term för term, vilket ger ett ekvationssystem som är möjligt att lösa. För termen av grad 3 i exemplet gäller
Nu är koefficenterna som utgör polynomet q(x) bestämda.
ax3=x3.
Detta ger att a=1. På samma sätt jämförs övriga termers koefficienter.
x3+(b−3)x2+(c−3b)x−3cx3+3x2−5x−39
Nu ser man att b−3=3, c−3b=−5 och att −3c=−39. Eftersom detta är en samling av ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b−3=3c−3b=−5−3c=−39
Genom att lösa detta bestämmer man b och c. När det finns fler ekvationer än obekanta säger man att ekvationssystemet är överbestämt. Det påverkar inte hur man löser det men man måste kontrollera att ekvationerna inte ger en motsägelse. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b−3=3c−3b=−5−3c=−39(I)(II)(III)
▼
Lös ekvationssystemet
AddEqn
(I): VL+3=HL+3
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c−3b=−5−3c=−39
Substitute
(II): b=6
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c−3⋅6=−5−3c=−39
Multiply
(II): Multiplicera faktorer
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c−18=−5−3c=−39
AddEqn
(II): VL+18=HL+18
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c=13−3c=−39
DivEqn
(III): VL/(−3)=HL/(−3)
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b=6c=13c=13
5
Sätt in koefficienterna i polynomets faktorform
expand_more Nu kvarstår det att sätta in koefficienterna i det faktoriserade uttrycket. För exemplet är det
p(x)=(x−3)(ax2+bx+c).
Det gäller att a=1, b=6 och c=13. Vid insättning får man då
p(x)=(x−3)(x2+6x+13)
vilket är en faktorisering av det ursprungliga uttrycket för p(x). x3+3x2−5x−39=0
Om man istället använder det faktoriserade blir ekvationen,
(x−3)(x2+6x+13)=0
som kan lösas med nollproduktmetoden. Den ena ekvationen man får är av grad 1 och den andra är av grad 2, och kan lösas fullständigt med hjälp av pq-formeln.Faktorsatsen
Övningar
Stämmer det att (x+4) är en faktor i polynomet
p(x)=x5+2x4−8x3+2x2+7x−4?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Enligt faktorsatsen är (x-a) en faktor till p(x) om x=a är ett nollställe. Notera att (x+4)=(x-(-4)), så nollstället a motsvaras i vårt fall av -4. Vi kontrollerar att -4 faktiskt är ett nollställe till p(x) genom att sätta in x=-4 i polynomet.
Vi har visat att p(-4)=0 och då är (x+4) är en faktor i p(x).
security
report
code
Vilket tredjegradspolynom p(x) beskriver kurvan?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">p<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-3x^3+6x^2+9x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi får mycket information om polynomet från dess nollställen, eftersom varje nollställe, enligt faktorsatsen, ger en faktor i polynomet.
Vi läser av nollställena i figuren: x=-1, x=0, x=3. Det innebär att polynomet har faktorerna x+1, x och x-3. Produkten ger ett tredjegradspolynom, (x+1)x(x-3). Vi måste också ta hänsyn till att grafen går genom punkten (1,12). Det kan inte finnas någon mer faktor med x i, men uttrycket kan multipliceras med en konstant k. Alla tredjegradspolynom med nollställen -1, 0 och 3 kan skrivas på formen p(x)=k(x+1)x(x-3). Värdet på k bestäms av att p(1)=12.
För att grafen ska gå genom punkten (1,12) måste alltså värdet på k vara -3. Polynomet är p(x) = -3(x+1)x(x-3). Vi multiplicerar slutligen ihop faktorerna och skriver polynomet på allmän form.
security
report
code
Bestäm det värde på konstanten k för vilket ekvationen
x3+kx2+8x+14=0
har roten x=−1.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03148em;\">k<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma k och med hjälp av det värdet kan vi beräkna övriga rötter.
Bestäm k
Vi vet att x=-1 är en rot till ekvationen. Det betyder att om vi sätter in det x-värdet kan vi bestämma värdet på k.
Eftersom vi nu känner till värdet på k kan vi sätta in det i vår ekvation: x^3-5x^2+8x+14 = 0.
security
report
code
Figuren visar grafen till polynomet p(x)=x3+3x2+4x+12.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">p<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["(x+3)(x^2+4)"]}}
security
report
code
security
report
code
Polynomet har en faktor (x-a) om x=a är ett nollställe.
I grafen ser vi att x=-3 är ett nollställe, så a=-3. Faktorn är alltså (x-(-3))=(x+3). Något annat nollställe kan vi inte läsa av i figuren. Eftersom grafen inte korsar x-axeln i någon annan punkt finns inget annat reellt värde på a sådant att (x-a) är en faktor.
Eftersom (x+3) är en faktor i tredjegradspolynomet p(x) gäller det att
p(x) = (x+3)q(x),
för något andragradspolynom q(x). Vi ansätter q(x)=ax^2+bx+c och bestämmer konstanterna a, b och c genom att jämföra uttrycket vi får från multiplikationen (x+3)q(x) med uttrycket för p(x) som är givet i uppgiften.
Detta ska vara lika med p(x), dvs.
= x^3 +3 x^2 +4x +12.
Koefficienterna för termerna med olika potens av x måste stämma överens, det ger oss ett ekvationssystem. a=1 b+3a=3 c+3b=4 3c=12
Faktorn q(x)=ax^2+bx+c blir med dessa värden insatta q(x)=x^2+4. Någon x-term finns inte med eftersom b=0. Vi har härmed visat att faktoriseringen av p(x) i reella polynom är p(x) = (x+3)(x^2+4). Notera att andragradspolynomet inte har några reella nollställen och därmed inte kan faktoriseras utan att blanda in imaginära tal. Detta konstaterade vi i föregående deluppgift när vi observerade att grafen endast skär x-axeln i en punkt.
security
report
code
Faktorsatsen
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll