Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Antal komplexa rötter till polynomekvationer

Regel

Antal komplexa rötter till polynomekvationer

Olika polynomekvationer har olika antal rötter. T.ex. har ekvationen x+5=0x + 5 = 0 en lösning medan x21=0x^2 - 1 = 0 har två. Med hjälp av följande sats är det möjligt att bestämma antalet rötter utan att faktiskt lösa ekvationen.

Antalet komplexa rötter till en polynomekvation är lika med gradtalet.

Sambandet kan motiveras med hjälp av algebrans fundamentalsats som säger att ett polynom p(x)p(x) av åtminstone grad 11 har minst ett komplext nollställe. Om man känner till ett sådant nollställe x=a1x=a_1 kan faktorsatsen användas för att skriva p(x)p(x) som produkten p(x)=(xa1)q1(x), p(x) = (x-a_1)q_1(x), för något polynom q1(x).q_1(x). Nu har man brutit ut en faktor av grad 1,1, alltså måste gradtalet av q1(x)q_1(x) vara 11 mindre än för p(x).p(x). Så länge gradtalet av qq-polynomet är minst 11 kan man bryta ut ytterligare faktorer: p(x)=(xa1)(xa2)q2(x). p(x) = (x-a_1)(x-a_2)q_2(x). Uppdelningen fortsätter tills qq-polynomet är av grad 0,0, alltså en konstant man kan kalla qn.q_n. För ett polynom p(x)p(x) av gradtal nn får man till slut en produkt med n+1n + 1 faktorer: p(x)=(xa1)(xa2)(xan)qn. p(x) = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)q_n. Eftersom det finns nn faktorer med termen xx som alla motsvarar en komplex rot måste p(x)p(x) ha nn komplexa rötter.

Extra

info
Multiplicitet

En alert läsare kanske undrar hur man förklarar ekvationer som t.ex. x2=0. x^2 = 0. Gradtalet är 2,2, men här finns väl ingen annan rot än 0?0? Nej, det stämmer — men polynomet x2x^2 kan faktoriseras till (x0)(x0).(x-0)(x-0). Faktorsatsen gör en koppling mellan polynomets faktorer och nollställen, så eftersom faktorn (x0)(x-0) förekommer två gånger kan man säga att nollstället 00 förekommer två gånger. x=0x=0 kallas då en dubbelrot, eller en rot med multiplicitet 2.2.