Största och Minsta Värde: Utforska Extremvärdesproblem

Det ska byggas ett stängsel runt en rektangulär kattgård. Bestäm arean och sidlängderna för den största kattgården som går att bygga med $10$ meter stängsel.

Vi löser detta extremvärdesproblem steg för steg och börjar med att definiera en funktion baserat på informationen vi fått.

Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel

Vi vill bestämma det största möjliga värdet på produkten

x^{2} y .

För att kunna göra det behöver vi dock ett funktionsuttryck som innehåller endast en variabel, t.ex.

x .

Vi känner till talens summa och kan använda det för att uttrycka

y

med hjälp av

x :

x + y = 18 \Leftrightarrow y = 18 - x .

Genom att sätta in detta i produkten kan vi definiera funktionen

P (x) = x^{2} (18 - x) .

Definiera eventuella villkor

Det är givet att talen

x

och

y

är icke-negativa, vilket innebär att de är positiva eller

0 .

Detta kan skrivas som

x \geq 0 och y \geq 0 .

Eftersom

y = 18 - x

kan vi dock omformulera det andra villkoret.

18 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 18

Det ger oss ytterligare ett villkor för

x,

så sammanfattningsvis är funktionen

P (x)

definierad på intervallet

0 \leq x \leq 18 .

Bestäm funktionens största eller minsta värde

Vi kan nu bestämma funktionens största värde, och vi börjar med att bestämma ändpunkternas funktionsvärden. Vi sätter in

x = 0

och

x = 18

i funktionen

P (x) = x^{2} (18 - x) .

P (0) = 0^{2} (18 - 0) = 0 P (18) = 1 8^{2} (18 - 18) = 0

I båda ändpunkterna är alltså funktionsvärdet

0 .

Vi bestämmer nu var funktionen har stationära punkter genom att derivera

P (x)

och lösa ekvationen

P^{'} (x) = 0 .

P (x) = x^{2} (18 - x)

Distr

Multiplicera in $x^{2}$

P (x) = 18 x^{2} - x^{3}

▼

Derivera funktion

Derive

Derivera funktion

P^{'} (x) = D (18 x^{2}) - D (x^{3})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

P^{'} (x) = 36 x - D (x^{3})

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

P^{'} (x) = 36 x - 3 x^{2}

Substitute

$P^{'} (x) = 0$

0 = 36 x - 3 x^{2}

▼

Lös ut

x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

36 x - 3 x^{2} = 0

DivEqn

$VL / 3 = HL / 3$

12 x - x^{2} = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot 12 - x \cdot x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (12 - x) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 12 - x = 0 (I) (II)

AddEqn

$(II):$ $VL + x = HL + x$

x = 0 12 = x

RearrangeEqn

$(II):$ Omarrangera ekvation

x_{1} = 0 x_{2} = 12

Vi ser att funktionen har stationära punkter i

x = 0

och

x = 12,

och båda dessa ligger på intervallet

0 \leq x \leq 18 .

Den stationära punkten i

x = 0

har samma

x

-värde som en av ändpunkterna och har därför även samma funktionsvärde:

0 .

Vi bestämmer den andra stationära punktens funktionsvärde genom att sätta in

x = 12

P (x) .

P (12) = 1 2^{2} \cdot (18 - 12) = 144 \cdot 6 = 864

Den har alltså koordinaterna

(12, 864) .

Verifiera största värdet

Nu har vi bestämt alla extrempunkter, och eftersom intervallet är slutet räcker det med att jämföra deras funktionsvärden för att se vilket som är störst. Båda ändpunkterna har funktionsvärdet $0,$ så det största värdet måste vara $864 .$

Besvara frågan

Den maximala produkten av

x^{2}

och

y

är alltså

864 .

Frågan är dock inte bara vilken den maximala produkten är utan även vilka två tal som ger denna. Det ena talet,

x,

vet vi är lika med

12

och det andra talet,

y,

kan vi då beräkna med

y = 18 - x .

y = 18 - x = 18 - 12 = 6

Talen

x = 12

och

y = 6

ger alltså det maximala värdet

864

på produkten

x^{2} y .

Extremvärdesproblem

Förkunskaper

Lösa extremvärdesproblem

Lös extremvärdesproblemet

Ledtråd

Lösning

Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel

Definiera eventuella villkor

Bestäm funktionens största eller minsta värde

Verifiera största värdet

Besvara frågan

Maximera area med ett extremvärdesproblem

Ledtråd

Lösning

Maximera glasytan med ett extremvärdesproblem

Ledtråd

Lösning

Extremvärdesproblem

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.