Kursinnehåll
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
1.
Deriveringsregler för potensfunktioner
Innehållet handlar om deriveringsregler för potensfunktioner. Den förklarar hur man kan använda dessa regler för att derivera olika typer av funktioner, inklusive de som innehåller bråk och rotuttryck. Sidan ger en detaljerad genomgång av hur man kan omvandla dessa uttryck till potensform och sedan använda deriveringsreglerna för att hitta derivatan. Dessutom innehåller sidan flera exempel och steg-för-steg-lösningar för att hjälpa läsaren att förstå och tillämpa koncepten. Detta är en utmärkt lektionen för studenter som vill förbättra sina färdigheter i derivering och förstå hur man kan tillämpa dessa tekniker på olika typer av funktioner.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 17 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Deriveringsregler för potensfunktioner
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Derivatan av en potensfunktion
- Beräkna derivatans värde med deriveringsregler
- Skriv om och derivera potensfunktion
Förkunskaper
{"codehash":"e0533efc5c888c4e0606183d7f105d77"}
Regel
Derivatan av en potensfunktion
För att derivera en potensfunktion f(x)=xn, där n är en konstant, multiplicerar man xn med n och minskar exponenten med 1.
Deriveringsregeln gäller för alla reella n.
Regel
D(xn)=nxn−1Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då n=2, alltså för funktionen f(x)=x2. Man gör detta med hjälp av derivatans definition.
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
SubstituteII
f(x+h)=(x+h)2 och f(x)=x2
f′(x)=h→0limh(x+h)2−x2
ExpandPosPerfectSquare
Utveckla med första kvadreringsregeln
f′(x)=h→0limhx2+2xh+h2−x2
SimpTerms
Förenkla termer
f′(x)=h→0limh2xh+h2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f′(x)=h→0limhh⋅2x+h⋅h
FactorOut
Bryt ut h
f′(x)=h→0limhh(2x+h)
SimpQuot
Förenkla kvot
f′(x)=h→0lim(2x+h)
To
h→0
f′(x)=2x
Regel
D(x)=1Även funktionen f(x)=x går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom x är en potens med graden 1. Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att D(x)=1, som härleds här.
f(x)=x
f(x)=x1
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(x1)
DeriveMonom
D(xn)=nxn−1
f′(x)=1⋅x0
ExponentZero
a0=1
f′(x)=1
{"codehash":"a89d53eef5caa17eb19e61f5fad9d455"}
Metod
Beräkna derivatans värde med deriveringsregler
Ofta vill man bestämma värdet för en funktions derivata i en specifik punkt. Exempelvis kan man bestämma f′(5) för f(x)=x4. Det innebär att man ska bestämma derivatan när x=5.
1
Derivera funktionen
expand_more Man börjar med att derivera funktionen med lämplig deriveringsregel. I det här fallet har man en potensfunktion så man använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner.
2
Sätt in x-värde
expand_more Sedan beräknas derivatans värde genom att man sätter in x-värdet i f′(x).
Derivatans värde är alltså 500 i när x=5.
f′(x)=4x3
Substitute
x=5
f′(5)=4⋅53
CalcPow
Beräkna potens
f′(5)=4⋅125
Multiply
Multiplicera faktorer
f′(5)=500
{"codehash":"2e402623989d34ddb345de05ecc96909"}
{"codehash":"031724eb7cb30d4cef61e7c8e6d20b69"}
Deriveringsregler för potensfunktioner
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
En miterkap används för att bygga ramverk med hörn som möts i räta vinklar.
José kapar ändarna på en del trä för en ram i kongruenta vinklar. Vad är gradmåttet på hans kapning? Förklara och klassificera vinkeln.
Vad representerar fogen i förhållande till vinkeln som bildas av de två delarna?
security
report
code
security
report
code
Vi får veta att hörnet på bildramen är en rät vinkel. Detta innebär att den har ett mått på 90^(∘). Om snittet skapar två kongruenta vinklar, då behöver vi dividera 90^(∘) med 2. 90 ^(∘) ÷ 2 = 45 ^(∘) Graden av hans snitt är 45^(∘). Eftersom 45^(∘) är mindre än 90^(∘), är vinklarna spetsiga vinklar.
Fogen mellan de två vinklarna är det som delar vinkeln i två kongruenta vinklar. Matematiskt säger vi att vinkeln är bisektrad vilket innebär att vi kan kalla det en vinkelbisetris.
security
report
code
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Bestäm f′(3) för funktionen.
f(x)=x4
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["108"]}}
f(y)=y2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
f(z)=z−1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{1}{9}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner och sätter sedan in x=3.
Nu sätter vi in x=3 och beräknar.
f'(3) är alltså lika med 108.
Vi gör på samma sätt och börjar med att derivera och sätter sedan in y=3.
Inget nytt. Vi fortsätter på samma sätt.
Innan vi sätter in z=3 skriver vi om uttrycket till ett bråk för att det ska bli enklare att beräkna.
security
report
code
Skytyping är en teknik som flygplan använder för att skriva meddelanden på himlen. Koordinatsystemet visar ett meddelande som skrivs i himlen över en stad, där den positiva y-axeln representerar norr. Vad säger meddelandet? Hur kan du omvandla meddelandet så att det läses från norr till söder?
security
report
code
security
report
code
Låt oss ta en titt på det givna diagrammet. Observera att den positiva y-axeln representerar kardinalriktningen norr.
Detta diagram visar hur det himlaskrivna meddelandet ser ut från himlen. Vi vill veta vad meddelandet säger. Vi vill också avgöra hur vi ska transformera meddelandet så att det kan läsas från norr till söder. Låt oss besvara dessa frågor en i taget.
Vad meddelandet säger
Låt oss först ta en titt på hur meddelandet kan skapas.
Just nu är det svårt att läsa vad meddelandet säger. Det är trots allt så här meddelandet ser ut från himlen. Eftersom tittarna är på marken ser meddelandet annorlunda ut för dem.
För att växla mellan perspektiven måste vi vända meddelandet över den vertikala axeln.
Låt oss se hur meddelandet ser ut för tittarna på marken.
Den här gången kan vi lätt läsa meddelandet — det står HEJ!
Läsa från norr till söder
Nu vill vi också veta hur vi ska transformera meddelandet så att det läses från norr till söder. Låt oss titta på meddelandet från marken igen.
Den positiva y-axeln representerar fortfarande norr. Eftersom vi vill att meddelandet ska läsas från norr till söder, roterar vi det runt origo med 90^(∘) medurs.
Det är dock så här vi skulle se transformationen från marken. Låt oss fundera på hur denna rörelse skulle se ut från himmelens perspektiv.
Vi kan se att en medurs rotation från markens perspektiv är en moturs rotation från himlen. Eftersom det ursprungliga diagrammet visar hur meddelandet ser ut från himlen måste vi rotera det moturs med 90^(∘).
security
report
code
Deriveringsregler för potensfunktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll