Derivatan av en produkt

Vi börjar med att derivera funktionen med hjälp av produktregeln.

Nu sätter vi derivatan till 0 och faktoriserar uttrycket.

Nu kan vi använda nollproduktmetoden. Eftersom e^x>0 för alla x kommer den faktorn inte ge oss någon lösning. Vi nöjer oss därför med att titta på ekvationen 3x* (2+x) = 0.

Ekvationen har två lösningar: x=-2 och x=0.

Vi börjar med att derivera vår funktion.

Nu låter vi derivatan vara 0 och löser ekvationen.

Det finns två värden för x där derivatan är 0: x=0 och x=e^(-1/3).

Funktionen ska först deriveras. Låt oss göra det.

Derivatan ska vara 0. Låt oss sätta den till det och därefter faktorisera uttrycket.

Här är det lämpligt att använda nollproduktmetoden. Det betyder att vi kan lösa uppgiften genom att dela in den i två ekvationer, e^x=0 och x^2+2x=0, som vi löser var och en för sig. Ekvationen e^x=0 saknar dock lösning. Därför kommer vi att hitta samtliga lösningar till vårt problem genom att lösa ekvationen x^2+2x=0.

Ekvationen har alltså lösningarna x=-2 och x=0.

Vi gör på samma sätt nu som tidigare och börjar med att derivera funktionen.

Vi sätter derivatan till 0 och skriver sedan om ekvationen.

Vi använder nu nollproduktmetoden. Vi delar alltså upp problemet i två ekvationer: e^(x^2-3x-5)=0 och 2x^2-3x +1 =0. Ekvationen e^(x^2-3x-5)=0 saknar dock lösning. Vi fortsätter därför med att lösa andragradsekvationen och använder oss då av pq-formeln.

Ekvationen har alltså lösningarna x=0.5 och x=1.

Funktionen ska först deriveras. Vi använder då produktregeln.

Vi sätter nu derivatan till 0 och skriver om uttrycket.

Vi har här två faktorer som multipliceras ihop och produkten blir 0. Vi kan då använda nollproduktmetoden och dela upp problemet i två ekvationer, 0.5^x=0 och 1/sqrt(2x) + sqrt(2x)* ln(0.5)=0, som vi löser var och en för sig. Men ekvationen 0.5^x=0 saknar lösning. Därför behöver endast titta på ekvationen 1/sqrt(2x) + sqrt(2x)* ln(0.5)=0.

Nästa steg i lösningen innebär att en kvadratrot försvinner. Därför måste vi komma ihåg att det finns en risk att det uppkommer en eller fler falska rötter. När vi är klara måste vi därför pröva lösningarna.

Vi har nu hittat en möjlig lösning på ekvationen: x=- 1/2ln(0.5). Låt oss pröva om detta är en korrekt lösning. Vi gör det genom att sätta in vårt x i derivatan f'(x)=0.5^x (1/sqrt(2x) + sqrt(2x) * ln(0.5) ). Om derivatans värde blir 0 är roten korrekt.

Derivatan blir 0 för x=- 12ln(0.5) så det är en giltig rot.

Vi söker derivatans värde då x=4. Vi börjar därför med att derivera funktionen. Eftersom f(x) är en produkt av två funktioner tar vi hjälp av produktregeln.

Om vi nu sätter in x = 4 i uttrycket vi tagit fram för f'(x) kommer vi få både g(4) och g'(4) i högerledet. Från uppgiftslydelsen vet vi vilka värden de har, därför kan vi nu beräkna f'(4).

Vi har nu beräknat derivatan då x=4 och bestämt att f'(4)=10.

Att funktionerna f(x) och g(x) har stationära punkter i x = a innebär att f'(a) = 0 och g'(a)=0. Vi ska undersöka om detta implicerar att samma sak gäller för y=f(x)g(x), d.v.s. att derivatan är 0 i x=a. Det gör vi genom att först derivera med produktregeln och sedan sätta in x=a i derivatan.

Derivatan blev 0 så vi har visat att f(x)g(x) har stationär punkt i x=a om f(x) och g(x) har det.

Innan vi kan bestämma den sökta arean behöver vi först bestämma tangenten. Tangenten är en rät linje och vi startar därför med att teckna räta linjens ekvation, y=kx+m. Tangentens lutning, dvs. dess k-värde, är samma som funktionens lutning i tangeringspunkten. Låt oss med hjälp av produktregeln derivera funktionen och ta reda på denna lutning.

Låt oss nu beräkna lutningen för tangeringspunkten, dvs. då x=4.

Vi kan nu skriva tangenten som y=- 16 e^(- 4) * x+m. Tangenten och funktionen har en gemensam punkt då x=4. Vi beräknar y-koordinaten för denna punkt för att sedan kunna bestämma tangentens m-värde.

Vi känner nu till en punkt på tangenten, (4, 64e^(- 4)). Vi sätter in den i tangentens funktion och löser ut m.

När vi sätter in detta får vi tangentens ekvation till y=- 16 e^(- 4) * x+128 e^(- 4). Den här tangenten har negativ lutning och ett positivt m-värde, alltså bildar den en triangel i första kvadranten med koordinataxlarna. Vi ritar en skiss över hur denna triangel skulle kunna se ut, för att lättare veta vad vi ska göra härnäst.

Vi behöver nu ta reda på basen och höjden i triangeln för att kunna beräkna arean. Höjden är samma som tangentens m-värde, alltså 128 e^(- 4) le. Basen hittar vi genom att ta reda på var tangenten skär x-axeln.

Basen i triangeln är alltså 8 le. Triangelns area blir då b* h/2 = 8 * 128e^(- 4)/2 ≈ 9.38 a.e.

Den information vi är givna är en blandning av derivator och funktioner. Om vi deriverar h(x) med produktregeln kommer vi kunna använda all information vi fått. Vi vet att funktionen h(x) kan skrivas som h(x)=f(x)* g(x), och dess derivata är h'(x)=f'(x)* g(x) + f(x)* g'(x). Vi känner till funktionen g(x) men inte dess derivata. Låt oss därför bestämma g'(x).

Vi känner nu till alla delar i uttrycket för h'(x), förutom just f(x) som vi söker. Vi sätter in allt vi känner till för att få ekvationen 6e^(2x) ( 2x^2+2x+1 )=4x* 3e^(2x) + f(x)* 6e^(2x). Med den här ekvationen kan vi bestämma f(x). Notera att potensen e^(2x) aldrig kan anta värdet 0, vi kan därför dividera båda led med potensen.

Den sökta funktionen f(x) är alltså f(x) = 2x^2+1.