4. Derivatan av en produkt
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
4.
Derivatan av en produkt
Den här lektionenen förklarar produktregeln, en viktig princip inom derivering. När två funktioner multipliceras ihop skapas en ny funktion. Denna nya funktion kan sedan deriveras med hjälp av produktregeln. Lektionenen går igenom hur man kan bevisa formeln för produktregeln med utgångspunkt i derivatans definition. Den visar också hur man kan använda produktregeln för att lösa olika typer av problem inom matematik. Detta är en viktig färdighet för alla som vill studera matematik på en högre nivå.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 3 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivatan av en produkt
Sida av 3
Om två funktioner f(x) och g(x) multipliceras ihop skapas en ny funktion, f(x)⋅g(x). Exempelvis är
y=sin(x)⋅e3x
en produkt av funktionerna f(x)=sin(x) och g(x)=e3x.Bevis
Produktregeln
För att derivera funktioner som är produkter av andra funktioner använder man den så kallade produktregeln. Den säger att varje funktion ska multipliceras med derivatan av den andra funktionen och att dessa produkter ska adderas.
Bevis
D(f(x)⋅g(x)))=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition:
Det första av dessa gränsvärden kan man nu skriva om och dela upp som produkten av två andra gränsvärden. Dessa kommer att motsvara första delen av produktregeln: f′(x)⋅g(x).
Det första gränsvärdet är definitionen för derivatan av f(x) och kan alltså ersättas med f′(x). Det andra gränsvärdet är lika med g(x) eftersom g(x+h) går mot g(x) när h går mot 0. Detta ger
Det gränsvärde som finns kvar är definitionen för derivatan av g(x). Genom att byta ut gränsvärdet mot g′(x) får man till sist produktregeln:
D(f(x))=h→0limhf(x+h)−f(x).
För funktionen f(x)⋅g(x), där f(x) och g(x) är deriverbara funktioner, får man
D(f(x)⋅g(x))=h→0limhf(x+h)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x).
Hur skriver man om detta gränsvärde som summan i produktregeln? Till att börja med lägger man till och drar bort f(x)⋅g(x+h) i täljaren. Då kommer man nämligen kunna dela upp gränsvärdet som en summa av två gränsvärden, vilket är ett steg närmare målet.
h→0limhf(x+h)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
AddDiffZero
a=a+f(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x+h)
h→0limhf(x+h)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)+f(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x+h)
RearrangeTerms
Omarrangera termer
h→0limhf(x+h)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x+h)+f(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
WriteSumFrac
Dela upp bråk
h→0lim(hf(x+h)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x+h)+hf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x))
WriteSumLim
Dela upp gränsvärde
h→0limhf(x+h)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x+h)+h→0limhf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
h→0limhf(x+h)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x+h)+h→0limhf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
FactorOut
Bryt ut g(x+h)
h→0limh(f(x+h)−f(x))⋅g(x+h)+h→0limhf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
MovePartNumRight
ca⋅b=ca⋅b
h→0lim(hf(x+h)−f(x)⋅g(x+h))+h→0limhf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
Dela upp gränsvärde
h→0limhf(x+h)−f(x)⋅h→0limg(x+h)+h→0limhf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
D(f(x)⋅g(x))=f′(x)⋅g(x)+h→0limhf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x).
Det andra gränsvärdet måste då motsvara den andra delen av produktregeln, f(x)⋅g′(x). För att visa detta börjar man med att bryta ut f(x) ur täljaren. Eftersom den funktionen inte påverkas av att h går mot 0 kan den placeras utanför gränsvärdet. f′(x)⋅g(x)+h→0limhf(x)⋅g(x+h)−f(x)⋅g(x)
FactorOut
Bryt ut f(x)
f′(x)⋅g(x)+h→0limhf(x)⋅(g(x+h)−g(x))
LimCoToCoMultLim
x→alim(k⋅f(x))=k⋅x→alimf(x)
f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅h→0limhg(x+h)−g(x)
D(f(x)⋅g(x))=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
Exempel
Derivera med och utan produktregeln
f(x)=(x2+19x+2)(2x−6)
Adrian påstår att man måste använda produktregeln för att derivera f(x) medan Robert bestämt hävdar att det går precis lika bra utan. De vandrar iväg med varsitt kollegieblock i högsta hugg och sätter igång med deriverandet. När de sedan jämför sina resultat visar det sig att de har fått samma derivata. Visa hur deras beräkningar skulle kunna se ut. Visa Lösning expand_more
Vi går igenom och tittar på hur Adrian och Robert skulle kunna ha tänkt när de deriverade f(x).
Regel
Adrian
f(x)=(x2+19x+2)(2x−6)
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D((x2+19x+2)(2x−6))
DeriveProd
D(f⋅g)=D(f)⋅g+f⋅D(g)
f′(x)=D(x2+19x+2)⋅(2x−6)+(x2+19x+2)⋅D(2x−6)
DeriveSum
Derivera term för term
f′(x)=(D(x2)+D(19x)+D(2))⋅(2x−6)+(x2+19x+2)⋅(D(2x)−D(6))
DeriveConst
D(a)=0
f′(x)=(D(x2)+D(19x))⋅(2x−6)+(x2+19x+2)⋅D(2x)
DeriveXCo
D(ax)=a
f′(x)=(D(x2)+19)⋅(2x−6)+(x2+19x+2)⋅2
DeriveMonom
D(xn)=nxn−1
f′(x)=(2x+19)⋅(2x−6)+(x2+19x+2)⋅2
f′(x)=(2x+19)⋅(2x−6)+(x2+19x+2)⋅2
ExpandPar
Multiplicera parenteser
f′(x)=2x⋅2x−2x⋅6+19⋅2x−19⋅6+(x2+19x+2)⋅2
Distr
Multiplicera in 2
f′(x)=2x⋅2x−2x⋅6+19⋅2x−19⋅6+x2⋅2+19x⋅2+2⋅2
Multiply
Multiplicera faktorer
f′(x)=4x2−12x+38x−114+2x2+38x+4
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
f′(x)=6x2+64x−110
f′(x)=6x2+64x−110.
Regel
Robert
f(x)=(x2+19x+2)(2x−6)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
f(x)=x2⋅2x−x2⋅6+19x⋅2x−19x⋅6+2⋅2x−2⋅6
Multiply
Multiplicera faktorer
f(x)=2x3−6x2+38x2−114x+4x−12
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
f(x)=2x3+32x2−110x−12
f(x)=2x3+32x2−110x−12
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(2x3)+D(32x2)−D(110x)−D(12)
DeriveConst
D(a)=0
f′(x)=D(2x3)+D(32x2)−D(110x)
DeriveXCo
D(ax)=a
f′(x)=D(2x3)+D(32x2)−110
DeriveMonomCo
D(axn)=a⋅nxn−1
f′(x)=6x2+64x2−110
f′(x)=6x2+64x2−110.
Derivatan av en produkt
Uppgift 1.1
y=(1+2x)(3+x2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.946332em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x^2+2x+6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.946332em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x^2+2x+6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar med produktregeln där 1+2x en funktion som multipliceras med funktionen 3+x^2.
Funktionens derivata blir alltså y'=6x^2+2x+6.
Vi multiplicerar först ihop parenteserna. Båda termer i den första parentesen multipliceras med båda i den andra.
Nu deriverar vi.
Vi får samma derivata y'=6x^2+2x+6. Kanske inte så förvånande.
security
report
code
y=ex⋅ex
med{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.946332em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.946332em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar med hjälp av produktregeln.
Derivatan är alltså y'=2e^(2x).
Låt oss först förenkla funktionen genom att lägga ihop exponenterna.
Vi deriverar nu funktionen med hjälp av regeln för derivering av exponentialfunktioner.
Även nu blev funktionens derivata y'=2e^(2x).
security
report
code
Derivera funktionen.
y=ln(x)⋅x3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.946332em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2 + \\ln(x)\\cdot 3x^2"]}}
y=e2x⋅x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{2x}\\cdot \\sqrt{x} + \\dfrac{e^{2x}}{2\\sqrt{x}}"]}}
y=7e4x⋅47x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["28e^{4x}\\cdot 4^{7x} + 49e^{4x}\\cdot 4^{7x} \\cdot \\ln(4)"]}}
y=5x2⋅3x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10x\\cdot 3^x + 5x^2\\cdot 3^x\\cdot \\ln(3)"]}}
y=ex2⋅2x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{x^2\\cdot 2^x}\\cdot(2x\\cdot 2^x+ x^2\\cdot 2^x\\cdot \\ln(2))"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer derivatan med hjälp av produktregeln.
Vi har en produkt igen så vi använder produktregeln igen.
Vi gör på samma sätt.
Inget nytt. Vi gör på samma sätt.
För att derivera funktionen måste vi först derivera med kedjeregeln och sedan produktregeln.
security
report
code
Lös ekvationen f′(x)=0 givet att f(x) är följande.
f(x)=ex⋅x2
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-2"]}}
f(x)=e3x⋅x
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-\\dfrac{1}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi kan ställa upp ekvationen måste vi bestämma f'(x) genom att derivera funktionen f(x). Eftersom f(x) är en produkt av två funktioner använder vi produktregeln.
Vi sätter nu derivatan till 0 och löser ekvationen.
Vi kan nu använda nollproduktmetoden, men potensen e^x antar aldrig värdet 0 oavsett vad x är. Alltså hittar vi alla lösningar till ekvationen genom att undersöka när parentesen är 0.
Lösningarna till vår ekvation är alltså x = - 2 och x = 0.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och deriverar först vår funktion.
Låt oss nu sätta vår derivata till 0 och sedan lösa ekvationen vi får.
Potensen e^(3x) kan inte anta värdet 0. Därför behöver vi endast undersöka när parentesen är 0.
Ekvationen har alltså lösningen x=- 13.
security
report
code
För de två funktionerna f(x) och g(x) gäller följande.
f(3)g(3)=11ochf′(3)=5=6ochg′(3)=2
Bestäm h′(3) givet att h(x)=f(x)⋅g(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">h<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["52"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att derivera funktionen h(x)=f(x)* g(x) med hjälp av produktregeln.
Vi sätter nu in x=3 i derivatan och beräknar värdet av h'(3) med hjälp av följande givna värden. f(3)&=11 och f'(3)=5 [0.3 em] g(3)&=6 och g'(3)=2
Vi kan konstatera att h'(3)=52.
security
report
code
Derivatan av en produkt
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll