Pq-formeln



Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen $x^2+px+q=0,$ där $p$ och $q$ är konstanter. Detta kan kallas $pq$ -form. Koefficienten framför $x^2$ ska vara $1$ och ena ledet $0$ , som i ekvationen $x^2 + 6x - 5 = 0.$ För att lösa den sätter man in koefficienten framför $x$ , kallad $p$ , samt konstanttermen, $q$ , i den så kallade $pq$ -formeln.

$x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

I ekvationen $x^2 + 6x - 5 = 0$ är $p=6$ och $q= \text{-}5$ . Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $pq$ -form måste den skrivas om innan $pq$ -formeln kan användas.

Härledning
$x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

För att härleda $pq$ -formeln utgår man från en andragradsekvation på $pq$ -form, $x^2 + px + q = 0,$ och kvadratkompletterar för att lösa ut $x$ . Man börjar med att skriva om ekvationen på formen $x^2+px=c$ .

x^2+px+q=0

\text{VL}-q=\text{HL}-q

x^2+px=\text{-} q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför $x$ i kvadrat", $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ : $x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2.$ Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen $px$ som $2\cdot \frac{p}{2}\cdot x.$ Därefter drar man roten ur båda led och löser ut $x$ .

x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2

Omarrangera termer

x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

a = 2 \cdot \dfrac{a}{2}

x^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

Faktorisera med första kvadreringsregeln

\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

\text{VL}-\dfrac{p}{2}=\text{HL}-\dfrac{p}{2}

x=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln

Uppgift

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln. $x^2+8x-20=0$

Lösning

Ekvationen är skriven på $pq$ -form så vi kan använda $pq$ -formeln direkt. $p$ är 8 och $q$ är $\text{-} 20.$

x^2+8x-20=0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{8}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}20}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}

Beräkna kvot

x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}

Beräkna potens

x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}

a-(\text{-} b)=a+b

x=\text{-}4\pm\sqrt{36}

Beräkna rot

x=\text{-}4\pm6

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationens lösningar är $x=\text{-}10$ och $x=2.$

Visa lösning

Regel

$abc$ -formeln

I Sverige använder man oftast $pq$ -formeln när man löser andragradsekvationer av typen $x^2+px+q=0$ . I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade $abc$ -formeln. Den används för andragradsekvationer på formen $ax^2+bx+c=0$ .

$x=\text{-}\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Villkor: $a\neq0$

Den har färre begränsningar än

pq

-formeln eftersom koefficienten framför

x^2

inte måste vara

1.

Däremot kan

abc

-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.

Uppgifter

Nivå 1

Vi har andragradsekvationen $x^2-8x-20=0$ som vi ska lösa med $pq$ -formeln: $x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.$

Utgå ifrån $pq$ -form: $x^2+px+q=0.$ Vad är $p$ och vad är $q$ i vår ekvation?

Beräkna $\, \text{-} \dfrac{p}{2}.$

Beräkna $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2.$

Beräkna $\text{-} q.$

Sätt in beräkningarna i formeln och ange ekvationens lösningar.

Lös ekvationerna med $pq$ -formeln.

$x^{2}-10x-11=0$

$x^{2}+8x+7=0$

$x^{2}-2x+1=0$

Lös ekvationerna med $pq$ -formeln.

$x^{2}-12x-13=0$

$x^{2}+18x-19=0$

$x^{2}-20x-44=0$

Lös ekvationen $x^2-12x+20=0$ med algebraisk metod.

Nationella provet HT13 2a

Lös andragradsekvationen $x^2-6x+5=0$ med algebraisk metod.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c

Adrius, Barlow och Cassius har löst ekvationen $x^2-2x-48=0$ och fått olika svar:

Adrius: $x=6$ och $x=\text{-}8$
Barlow: $x=\text{-} 6$ och $x=\text{-}8$
Cassius: $x=\text{-}6$ och $x=8$

Bara en har rätt. Vem?

Lös ekvationerna med $pq$ -formeln.

$x^2-4x-45 = 0$

$x^2+10x-24 = 0$

$x^2+12x-85 = 0$

Lös ekvationerna med $pq$ -formeln.

$x^2 - 9x + 14 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

$x^2 + 5x - 84 = 0$

Lös ekvationerna med $pq$ -formeln.

$x^2 = 10x - 16$

$5x^2 - 5x + 15 = \text{-} 25x$

$21 + 4x - x^2 = 0$

Lös ekvationerna med $pq$ -formeln.

$t^2-18t+50 = \text{-} 30$

$s^2-5s+25=5s$

$u^2-210u+11\,000 = 0$

Mercedes gillar att hoppa från hopptorn då hon badar. Vid ett hopp beskrivs hennes höjd i meter över vattenytan $h(t)$ med andragradsfunktionen $h(t)=10+4t-5t^2,$ där $t$ är tiden i sekunder efter hoppögonblicket.

Vad är $t$ när hon står på trampolinen och precis ska hoppa?

Från vilken höjd hoppade Mercedes?

Vad är $h(t)$ när hon slår i vattenytan?

Hur lång tid tar det innan hon träffar vattnet?

Lös ekvationen $x^2-6x-16=0$ algebraiskt.

Nationella provet bedömningsexempel 2b/2c

Nivå 2

Lös ekvationerna med $pq$ -formeln. Svara exakt.

$2t^2+4t = 30$

$\dfrac{a^2}{3}-120 = 3a$

$4=\dfrac{2u^2}{3}+2u$

Lös ekvationerna och svara exakt.

$9x^2 - 3x - 2 = 0$

$7x^2 - 6x - 1 = 0$

$2x^2-8x=6$

Bestäm sidan $x.$ Avstånd anges i meter.

I konen nedan är avståndet $s$ från spetsen till basytans kant $6.5$ cm. Konens begränsningsarea $A$ är $130$ cm $^2$ . Bestäm dess radie $r$ med hjälp av formeln för begränsningsarean av en kon, $A=\pi r s+\pi r^2$ .

Lös ekvationerna.

$7x^2-32x+27=2x^2-2x-13$

$4x-13.5+2x^2=x^2-8.25+2x$

Lös ekvationerna.

$(x+2)(x+4)=3$

$(x+5)(6-x)=5.25$

Två på varandra följande jämna positiva heltal bildar produkten $224.$ Vilka är talen?

En bonde i Kivik skördade sin rektangulära äppelodling. Det gav totalt $90\,720$ kg frukt vilket motsvarade i genomsnitt $42$ kg per träd. Kortsidan av odlingen löper längs med en väg och där får det plats $66$ färre träd än längs långsidan. Hur många träd finns det längs med vägen?

Ragnvald ska baka en kladdkaka i långpanna åt sin undulat som fyller år. Han vill dekorera kladdkakans fyra kanter med hallon som är ca $1.5$ cm i diameter, men vet inte hur många som behövs. Till sin hjälp har han informationen att långsidan är $9$ cm längre än kortsidan och att plåtens area är $1386$ cm $^2$ . Uppskatta hur många hallon Ragnvald behöver till dekorering.

Lös ekvationen $4x^3-4x^2-15x=0.$

Lös ekvationerna med algebraisk metod.

$x^2-4x-45=0$

$(x+1)^2=x+1$

Nationella provet VT12 kurs 2b

Adelina och Linda tränar brännboll. Adelina slår iväg bollen med ett slagträ och Linda tränar på att ta lyra, det vill säga fånga bollen innan den når marken.

Vid ett tillfälle kan bollens bana beskrivas med funktionen $y=-0.10x^2+2x+1$ där $y$ är bollens höjd över marken i meter och $x$ är avståndet i meter längs marken från utslagsplatsen.

Hur långt från utslagsplatsen befinner sig Linda om hon fångar bollen $0.80$ meter över marken?

Nationella provet HT13 2a

Nivå 3

Lös ekvationerna med både $pq$ -formeln och $abc$ -formeln.

$9x^2+54x+72=0$

$3x^2+2x-5=0$

Lös ekvationen $x^4-5x^2+4=0$ genom att ersätta $x^2$ med $t.$

Lös ekvationen. $b$ är en positiv konstant. $x^2 + bx - 2b^2 = 0$

Låt rötterna till andragradsekvationen $x^2+px+q=0$ vara $x_1$ och $x_2.$ Beskriv följande uttryck i $p$ och $q$ och förenkla så långt som möjligt.

$x_1+x_2$

$x_1\cdot x_2$

Använd $abc$ -formeln för att visa att ekvationen $x^2+px+q=0$ har lösningarna $x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.$

Visa att ekvationen $x^2-2x+q=0$ har en positiv och en negativ rot om $q$ är negativ.

Företaget ”Lexelius Hopp och Studs” säljer rektangulära studsmattor. Varje studsmattas långsida är dubbelt så lång som dess kortsida. Företaget rekommenderar att det finns en $2.0$ meter bred säkerhetszon runt studsmattan och att säkerhetszonens area ska vara minst tre gånger så stor som studsmattans area.

Bestäm måtten på en studsmatta som har en $2.0$ meter bred säkerhetszon och där säkerhetszonens area är tre gånger så stor som studsmattans area.

Nationella provet HT13 2a

Test



{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!



{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln

$abc$ -formeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Algebra och icke-linjära ekvationer

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med pqpqpq-formeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln