Pq-formeln

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen x2+px+q=0, x^2+px+q=0, där pp och qq är konstanter. Detta kan kallas pqpq-form. Koefficienten framför x2x^2 ska vara 11 och ena ledet 00, som i ekvationen x2+6x5=0. x^2 + 6x - 5 = 0. För att lösa den sätter man in koefficienten framför xx, kallad pp, samt konstanttermen, qq, i den så kallade pqpq-formeln.

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

I ekvationen x2+6x5=0x^2 + 6x - 5 = 0 är p=6p=6 och q=-5q= \text{-}5. Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pqpq-form måste den skrivas om innan pqpq-formeln kan användas.

Härledning

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
För att härleda pqpq-formeln utgår man från en andragradsekvation på pqpq-form, x2+px+q=0,x^2 + px + q = 0, och kvadratkompletterar för att lösa ut xx. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen x2+px=cx^2+px=c.
x2+px+q=0x^2+px+q=0
x2+px=-qx^2+px=\text{-} q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför xx i kvadrat", (p2)2\left(\frac{p}{2}\right)^2: x2+px+(p2)2=-q+(p2)2. x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2. Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen pxpx som 2p2x.2\cdot \frac{p}{2}\cdot x. Därefter drar man roten ur båda led och löser ut xx.

x2+px+(p2)2=-q+(p2)2x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2
x2+px+(p2)2=(p2)2qx^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
x2+2p2x+(p2)2=(p2)2qx^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
(x+p2)2=(p2)2q\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
x+p2=±(p2)2qx+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
x=-p2±(p2)2qx=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
Uppgift

Lös andragradsekvationen med pqpq-formeln. x2+8x20=0 x^2+8x-20=0

Lösning

Ekvationen är skriven på pqpq-form så vi kan använda pqpq-formeln direkt. pp är 8 och qq är -20.\text{-} 20.

x2+8x20=0x^2+8x-20=0
x=-82±(82)2(-20)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}
x=-4±42(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}
x=-4±16(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}
x=-4±36x=\text{-}4\pm\sqrt{36}
x=-4±6x=\text{-}4\pm6
x1=-10x2=2\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=2.x=2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

abcabc-formeln

I Sverige använder man oftast pqpq-formeln när man löser andragradsekvationer av typen x2+px+q=0x^2+px+q=0. I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade abcabc-formeln. Den används för andragradsekvationer på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.

x=-b2a±b24ac2ax=\text{-}\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Villkor: a0a\neq0

Den har färre begränsningar än pqpq-formeln eftersom koefficienten framför x2x^2 inte måste vara 1.1. Däremot kan abcabc-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har andragradsekvationen x28x20=0x^2-8x-20=0 som vi ska lösa med pqpq-formeln: x=-p2±(p2)2q. x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.


a

Utgå ifrån pqpq-form: x2+px+q=0.x^2+px+q=0. Vad är pp och vad är qq i vår ekvation?

b

Beräkna -p2.\, \text{-} \dfrac{p}{2}.

c

Beräkna (p2)2.\left(\dfrac{p}{2}\right)^2.

d

Beräkna -q.\text{-} q.

e

Sätt in beräkningarna i formeln och ange ekvationens lösningar.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med pqpq-formeln.


a

x210x11=0x^{2}-10x-11=0

b

x2+8x+7=0x^{2}+8x+7=0

c

x22x+1=0x^{2}-2x+1=0

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med pqpq-formeln.

a

x212x13=0x^{2}-12x-13=0

b

x2+18x19=0x^{2}+18x-19=0

c

x220x44=0x^{2}-20x-44=0

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x212x+20=0x^2-12x+20=0 med algebraisk metod.

Nationella provet HT13 2a
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös andragradsekvationen x26x+5=0x^2-6x+5=0 med algebraisk metod.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Adrius, Barlow och Cassius har löst ekvationen x22x48=0x^2-2x-48=0 och fått olika svar:

  • Adrius: x=6x=6 och x=-8x=\text{-}8
  • Barlow: x=-6x=\text{-} 6 och x=-8x=\text{-}8
  • Cassius: x=-6x=\text{-}6 och x=8x=8

Bara en har rätt. Vem?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med pqpq-formeln.


a

x24x45=0x^2-4x-45 = 0

b

x2+10x24=0x^2+10x-24 = 0

c

x2+12x85=0x^2+12x-85 = 0

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med pqpq-formeln.

a

x29x+14=0x^2 - 9x + 14 = 0

b

x2+x12=0x^2 + x - 12 = 0

c

x2+5x84=0x^2 + 5x - 84 = 0

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med pqpq-formeln.

a

x2=10x16x^2 = 10x - 16

b

5x25x+15=-25x5x^2 - 5x + 15 = \text{-} 25x

c

21+4xx2=021 + 4x - x^2 = 0

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med pqpq-formeln.


a

t218t+50=-30t^2-18t+50 = \text{-} 30

b

s25s+25=5ss^2-5s+25=5s

c

u2210u+11000=0u^2-210u+11\,000 = 0

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mercedes gillar att hoppa från hopptorn då hon badar. Vid ett hopp beskrivs hennes höjd i meter över vattenytan h(t)h(t) med andragradsfunktionen h(t)=10+4t5t2, h(t)=10+4t-5t^2, där tt är tiden i sekunder efter hoppögonblicket.


a

Vad är tt när hon står på trampolinen och precis ska hoppa?

b

Från vilken höjd hoppade Mercedes?

c

Vad är h(t)h(t) när hon slår i vattenytan?

d

Hur lång tid tar det innan hon träffar vattnet?

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x26x16=0x^2-6x-16=0 algebraiskt.

Nationella provet bedömningsexempel 2b/2c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med pqpq-formeln. Svara exakt.


a

2t2+4t=302t^2+4t = 30

b

a23120=3a\dfrac{a^2}{3}-120 = 3a

c

4=2u23+2u4=\dfrac{2u^2}{3}+2u

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a

9x23x2=09x^2 - 3x - 2 = 0

b

7x26x1=07x^2 - 6x - 1 = 0

c

2x28x=62x^2-8x=6

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm sidan x.x. Avstånd anges i meter.

Uppgift1151 1.svg
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I konen nedan är avståndet ss från spetsen till basytans kant 6.56.5 cm. Konens begränsningsarea AA är 130130 cm2^2. Bestäm dess radie rr med hjälp av formeln för begränsningsarean av en kon, A=πrs+πr2 A=\pi r s+\pi r^2 .

grön kon
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

7x232x+27=2x22x137x^2-32x+27=2x^2-2x-13

b

4x13.5+2x2=x28.25+2x4x-13.5+2x^2=x^2-8.25+2x

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

(x+2)(x+4)=3(x+2)(x+4)=3

b

(x+5)(6x)=5.25(x+5)(6-x)=5.25

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två på varandra följande jämna positiva heltal bildar produkten 224.224. Vilka är talen?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bonde i Kivik skördade sin rektangulära äppelodling. Det gav totalt 9072090\,720 kg frukt vilket motsvarade i genomsnitt 4242 kg per träd. Kortsidan av odlingen löper längs med en väg och där får det plats 6666 färre träd än längs långsidan. Hur många träd finns det längs med vägen?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ragnvald ska baka en kladdkaka i långpanna åt sin undulat som fyller år. Han vill dekorera kladdkakans fyra kanter med hallon som är ca 1.51.5 cm i diameter, men vet inte hur många som behövs. Till sin hjälp har han informationen att långsidan är 99 cm längre än kortsidan och att plåtens area är 13861386 cm2^2. Uppskatta hur många hallon Ragnvald behöver till dekorering.

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 4x34x215x=0.4x^3-4x^2-15x=0.

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med algebraisk metod.

a

x24x45=0x^2-4x-45=0

b

(x+1)2=x+1(x+1)^2=x+1

Nationella provet VT12 kurs 2b
2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Adelina och Linda tränar brännboll. Adelina slår iväg bollen med ett slagträ och Linda tränar på att ta lyra, det vill säga fånga bollen innan den når marken.

Vid ett tillfälle kan bollens bana beskrivas med funktionen y=0.10x2+2x+1y=-0.10x^2+2x+1 där yy är bollens höjd över marken i meter och xx är avståndet i meter längs marken från utslagsplatsen.

ID2517.svg

Hur långt från utslagsplatsen befinner sig Linda om hon fångar bollen 0.800.80 meter över marken?

Nationella provet HT13 2a
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med både pqpq-formeln och abcabc-formeln.

a

9x2+54x+72=09x^2+54x+72=0

b

3x2+2x5=03x^2+2x-5=0

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x45x2+4=0x^4-5x^2+4=0 genom att ersätta x2x^2 med t.t.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen. bb är en positiv konstant. x2+bx2b2=0 x^2 + bx - 2b^2 = 0

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Låt rötterna till andragradsekvationen x2+px+q=0x^2+px+q=0 vara x1x_1 och x2.x_2. Beskriv följande uttryck i pp och qq och förenkla så långt som möjligt.

a

x1+x2x_1+x_2

b

x1x2x_1\cdot x_2

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd abcabc-formeln för att visa att ekvationen x2+px+q=0x^2+px+q=0 har lösningarna x=-p2±(p2)2q.x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att ekvationen x22x+q=0x^2-2x+q=0 har en positiv och en negativ rot om qq är negativ.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Företaget ”Lexelius Hopp och Studs” säljer rektangulära studsmattor. Varje studsmattas långsida är dubbelt så lång som dess kortsida. Företaget rekommenderar att det finns en 2.02.0 meter bred säkerhetszon runt studsmattan och att säkerhetszonens area ska vara minst tre gånger så stor som studsmattans area.

ID2522.svg

Bestäm måtten på en studsmatta som har en 2.02.0 meter bred säkerhetszon och där säkerhetszonens area är tre gånger så stor som studsmattans area.

Nationella provet HT13 2a
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}