Pq-formeln

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen

x^{2} + p x + q = 0,

där

p

och

q

är konstanter. Detta kan kallas

p q

-form. Koefficienten framför

x^{2}

ska vara

1

och ena ledet

0

, som i ekvationen

x^{2} + 6 x - 5 = 0 .

För att lösa den sätter man in koefficienten framför

x

, kallad $p$ , samt konstanttermen, $q$ , i den så kallade $p q$ -formeln.

$x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$

I ekvationen $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ är $p = 6$ och $q = - 5$ . Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $p q$ -form måste den skrivas om innan $p q$ -formeln kan användas.

Härledning

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

För att härleda

p q

-formeln utgår man från en andragradsekvation på

p q

-form,

x^{2} + p x + q = 0,

och kvadratkompletterar för att lösa ut

x

. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

.

x^{2} + p x + q = 0

SubEqn

$VL - q = HL - q$

x^{2} + p x = - q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför

x

i kvadrat",

(\frac{p}{2})^{2}

:

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2} .

Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen

p x

som

2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x .

Därefter drar man roten ur båda led och löser ut

x

.

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

NumberToDenomMultFrac

$a = 2 \cdot \frac{a}{2}$

x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + \frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

SqrtEqn

$VL = HL$

x + \frac{p}{2} = \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

SubEqn

$VL - \frac{p}{2} = HL - \frac{p}{2}$

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln

fullscreen

Lös andragradsekvationen med

p q

-formeln.

x^{2} + 8 x - 20 = 0

Visa Lösning

Ekvationen är skriven på $p q$ -form så vi kan använda $p q$ -formeln direkt. $p$ är 8 och $q$ är $- 20 .$

x^{2} + 8 x - 20 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 8, q = - 20$

x = - \frac{8}{2} \pm (\frac{8}{2})^{2} - (- 20)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 4 \pm 4^{2} - (- 20)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 4 \pm 16 - (- 20)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 4 \pm 36

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 4 \pm 6

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 10 x_{2} = 2

Ekvationens lösningar är $x = - 10$ och $x = 2 .$

Regel

$a b c$ -formeln

I Sverige använder man oftast $p q$ -formeln när man löser andragradsekvationer av typen $x^{2} + p x + q = 0$ . I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade $a b c$ -formeln. Den används för andragradsekvationer på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ .

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Villkor: $a \neq = 0$

Den har färre begränsningar än

p q

-formeln eftersom koefficienten framför

x^{2}

inte måste vara

1 .

Däremot kan

a b c

-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.

Kanaler

Direktmeddelanden

Mathleaks

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln

Regel

$a b c$ -formeln

Pq-formeln

Kanaler

Direktmeddelanden

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med pq-formeln

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln