Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Pq-formeln
Lektionen fokuserar på pq-formeln, en matematisk metod som används för att lösa andragradsekvationer. Sidan förklarar hur man tillämpar pq -formeln genom att använda konstanterna p och q. Innehållet inkluderar en härledning av formeln och ett exempel på att lösa en andragradsekvation med pq-formeln. I Sverige används pq-formeln vanligtvis, men vissa länder kan använda ABC-formeln istället.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- pq-formeln
- Diskriminant
- abc-formeln
Förkunskaper
Regel
pq-formeln
Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen
x2+px+q=0,
där p och q är konstanter. Detta kan kallas pq-form. Koefficienten framför x2 ska vara 1 och ena ledet 0, som i ekvationen
x2+6x−5=0.
För att lösa den sätter man in koefficienten framför x, kallad p, samt konstanttermen, q, i den så kallade pq-formeln. x=−2p±(2p)2−q
I ekvationen x2+6x−5=0 är p=6 och q=−5. Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pq-form måste den skrivas om innan pq-formeln kan användas.
Bevis
x=−2p±(2p)2−qFör att härleda pq-formeln utgår man från en andragradsekvation på pq-form, x2+px+q=0, och kvadratkompletterar för att lösa ut x. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen x2+px=c.
Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till
halva koefficienten framför x i kvadrat, (2p)2:
x2+px+(2p)2=−q+(2p)2.
Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen px som 2⋅2p⋅x. Därefter drar man roten ur båda led och löser ut x.
x2+px+(2p)2=−q+(2p)2
RearrangeTerms
Omarrangera termer
x2+px+(2p)2=(2p)2−q
NumberToDenomMultFrac
a=2⋅2a
x2+2⋅2p⋅x+(2p)2=(2p)2−q
FacPosPerfectSquare
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+2p)2=(2p)2−q
SqrtEqn
VL=HL
x+2p=±(2p)2−q
SubEqn
VL−2p=HL−2p
x=−2p±(2p)2−q
Exempel
Lös andragradsekvationen med pq-formeln
Lös andragradsekvationen med pq-formeln.
x2+8x−20=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","-3"]}}
Ledtråd
Använd pq-formeln.
Lösning
Ekvationen är skriven på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt. p är 8 och q är −20.
Ekvationens lösningar är x=−10 och x=2.
x2+8x−20=0
UsePQ
Använd pq-formeln: p=8,q=−20
x=−28±(28)2−(−20)
CalcQuot
Beräkna kvot
x=−4±42−(−20)
CalcPow
Beräkna potens
x=−4±16−(−20)
SubNeg
a−(−b)=a+b
x=−4±36
CalcRoot
Beräkna rot
x=−4±6
StateSol
Ange lösningar
x1=−10x2=2
Koncept
Diskriminant
I pq-formeln kallas det som står under rottecknet för diskriminant.
Övning
Hitta diskriminanten för en andragradsekvation
Hitta diskriminanten för en andragradsekvation.
Regel
abc-formeln
I Sverige använder man oftast pq-formeln när man löser andragradsekvationer av typen x2+px+q=0. I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade abc-formeln. Den används för andragradsekvationer på formen ax2+bx+c=0.
x=−2ab±2ab2−4ac
Villkor: a=0
Den har färre begränsningar än pq-formeln eftersom koefficienten framför x2 inte måste vara 1. Däremot kan abc-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar. Man kan härleda den med pq-formeln, och om man dividerar ekvationen med a får man den på pq-form där p=ab och q=ac.
Härledning
x=−2ab±2ab2−4acax2+bx+c=0
DivEqn
VL/a=HL/a
x2+ab⋅x+ac=0
UsePQ
Använd pq-formeln: p=ab,q=ac
x=−2b/a±(2b/a)2−ac
DivFracD
ba/c=b⋅ca
x=−2ab±(2ab)2−ac
PowQuot
(ba)c=bcac
x=−2ab±(2a)2b2−ac
PowProdII
(ab)c=acbc
x=−2ab±4a2b2−ac
ExpandFrac
Förläng med 4a
x=−2ab±4a2b2−4a24ac
SubFrac
Subtrahera bråk
x=−2ab±4a2b2−4ac
SqrtQuot
ba=ba
x=−2ab±4a2b2−4ac
SqrtProd
a⋅b=a⋅b
x=−2ab±2ab2−4ac
Exempel
Öva på att lösa andragradsekvationer
Lös andragradsekvationen med pq-formeln.
2x2+8x+6=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","-3"]}}
Ledtråd
Använd pq-formeln.
Lösning
Först, analysera ekvationen. Lägg märke till att koefficienten före x2 är 2. För att kunna använda pq-formeln måste den vara 1. Dela hela ekvationen med 2.
Ekvationens lösningar är x=−1 och x=−3.
2x2+8x+6=0⇓x2+4x+3=0
Ekvationen är skriven på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt. p är 4 och q är 3.
x2+4x+3=0
UsePQ
Använd pq-formeln: p=4,q=3
x=−24±(24)2−(3)
CalcQuot
Beräkna kvot
x=−2±22−3
CalcPow
Beräkna potens
x=−2±4−3
SubNeg
a−(−b)=a+b
x=−2±1
CalcRoot
Beräkna rot
x=−2±1
StateSol
Ange lösningar
x1=−1x2=−3
Övning
Lösa en andragradsekvation med hjälp av kvadratisk formel
Lös andragradsekvationerna med hjälp av pq-formeln eller abc-formeln.
Pq-formeln
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll