Expandera meny menu_open Minimera Startsida kapitel Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

 Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

 play_circle_outline Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

 play_circle_outline Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

 play_circle_outline

Formelsamling

 Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

 looks_two

Kurs 2

 looks_3

Kurs 3

 looks_4

Kurs 4

 looks_5

Kurs 5

 Logga in account_circle menu_open

Pq-formeln

Välj Kurs
( Matte 2c , Matte 2a , Matte 2b )
Algebra och icke-linjära ekvationer
Videolektion

Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen x2+px+q=0, x^2+px+q=0, där pp och qq är konstanter. Detta kan kallas pqpq-form. Koefficienten framför x2x^2 ska vara 11 och ena ledet 00, som i ekvationen x2+6x−5=0. x^2 + 6x - 5 = 0. För att lösa den sätter man in koefficienten framför xx, kallad pp, samt konstanttermen, qq, i den så kallade pqpq-formeln.

x=-p2±(p2)2−qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

I ekvationen x2+6x−5=0x^2 + 6x - 5 = 0 är p=6p=6 och q=-5q= \text{-}5. Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pqpq-form måste den skrivas om innan pqpq-formeln kan användas.

Härledning

 x=-p2±(p2)2−qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
För att härleda pqpq-formeln utgår man från en andragradsekvation på pqpq-form, x2+px+q=0,x^2 + px + q = 0, och kvadratkompletterar för att lösa ut xx. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen x2+px=cx^2+px=c.
x2+px+q=0x^2+px+q=0
VL−q=HL−q\text{VL}-q=\text{HL}-q
x2+px=-qx^2+px=\text{-} q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför xx i kvadrat", (p2)2\left(\frac{p}{2}\right)^2: x2+px+(p2)2=-q+(p2)2. x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2. Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen pxpx som 2⋅p2⋅x.2\cdot \frac{p}{2}\cdot x. Därefter drar man roten ur båda led och löser ut xx.

x2+px+(p2)2=-q+(p2)2x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2
Omarrangera termer
x2+px+(p2)2=(p2)2−qx^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
a=2⋅a2 a = 2 \cdot \dfrac{a}{2}
x2+2⋅p2⋅x+(p2)2=(p2)2−qx^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x+p2)2=(p2)2−q\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
x+p2=±(p2)2−qx+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
VL−p2=HL−p2\text{VL}-\dfrac{p}{2}=\text{HL}-\dfrac{p}{2}
x=-p2±(p2)2−qx=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
fullscreen
Uppgift

Lös andragradsekvationen med pqpq-formeln. x2+8x−20=0 x^2+8x-20=0

Visa Lösning
Lösning

Ekvationen är skriven på pqpq-form så vi kan använda pqpq-formeln direkt. pp är 8 och qq är -20.\text{-} 20.

x2+8x−20=0x^2+8x-20=0
Använd pqpq-formeln: p=8, q=-20p = {\color{#0000FF}{8}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}20}}
x=-82±(82)2−(-20)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}
Beräkna kvot
x=-4±42−(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}
Beräkna potens
x=-4±16−(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}
a−(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
x=-4±36x=\text{-}4\pm\sqrt{36}
Beräkna rot
x=-4±6x=\text{-}4\pm6
Ange lösningar
x1=-10x2=2\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=2.x=2.

Regel

abcabc-formeln

I Sverige använder man oftast pqpq-formeln när man löser andragradsekvationer av typen x2+px+q=0x^2+px+q=0. I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade abcabc-formeln. Den används för andragradsekvationer på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.

x=-b2a±b2−4ac2ax=\text{-}\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Villkor: a≠0a\neq0

Den har färre begränsningar än pqpq-formeln eftersom koefficienten framför x2x^2 inte måste vara 1.1. Däremot kan abcabc-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-recommended-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward