Pq-formeln

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen $x^{2} + p x + q = 0,$ där $p$ och $q$ är konstanter. Detta kan kallas $p q$ -form. Koefficienten framför $x^{2}$ ska vara $1$ och ena ledet $0$ , som i ekvationen $x^{2} + 6 x - 5 = 0 .$ För att lösa den sätter man in koefficienten framför $x$ , kallad $p$ , samt konstanttermen, $q$ , i den så kallade $p q$ -formeln.

$x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$

I ekvationen $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ är $p = 6$ och $q = - 5$ . Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $p q$ -form måste den skrivas om innan $p q$ -formeln kan användas.

Härledning

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

För att härleda

p q

-formeln utgår man från en andragradsekvation på

p q

-form,

x^{2} + p x + q = 0,

och kvadratkompletterar för att lösa ut

x

. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

.

x^{2} + p x + q = 0

SubEqn

VL - q = HL - q

x^{2} + p x = - q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför $x$ i kvadrat", $(\frac{p}{2})^{2}$ : $x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2} .$ Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen $p x$ som $2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x .$ Därefter drar man roten ur båda led och löser ut $x$ .

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2}

RearrangeTermsOmarrangera termer

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

NumberToDenomMultFrac

a = 2 \cdot \frac{a}{2}

x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

FacPosPerfectSquareFaktorisera med första kvadreringsregeln

(x + \frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

SqrtEqn

VL = HL

x + \frac{p}{2} = \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

SubEqn

VL - \frac{p}{2} = HL - \frac{p}{2}

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln

fullscreen

Uppgift

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln. $x^{2} + 8 x - 20 = 0$

Visa Lösning

Lösning

Ekvationen är skriven på $p q$ -form så vi kan använda $p q$ -formeln direkt. $p$ är 8 och $q$ är $- 20 .$

x^{2} + 8 x - 20 = 0

UsePQAnvänd

p q

-formeln:

p = 8, q = - 20

x = - \frac{8}{2} \pm (\frac{8}{2})^{2} - (- 20)

CalcQuotBeräkna kvot

x = - 4 \pm 4^{2} - (- 20)

CalcPowBeräkna potens

x = - 4 \pm 16 - (- 20)

SubNeg

a - (- b) = a + b

x = - 4 \pm 36

CalcRootBeräkna rot

x = - 4 \pm 6

StateSolAnge lösningar

x_{1} = - 10 x_{2} = 2

Ekvationens lösningar är $x = - 10$ och $x = 2 .$

Regel

$a b c$ -formeln

I Sverige använder man oftast $p q$ -formeln när man löser andragradsekvationer av typen $x^{2} + p x + q = 0$ . I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade $a b c$ -formeln. Den används för andragradsekvationer på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ .

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Villkor: $a \neq = 0$

Den har färre begränsningar än

p q

-formeln eftersom koefficienten framför

x^{2}

inte måste vara

1 .

Däremot kan

a b c

-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med pq-formeln

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln