Pq-formeln

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen $x^2+px+q=0,$ där $p$ och $q$ är konstanter. Detta kan kallas $pq$ -form. Koefficienten framför $x^2$ ska vara $1$ och ena ledet $0$ , som i ekvationen $x^2 + 6x - 5 = 0.$ För att lösa den sätter man in koefficienten framför $x$ , kallad $p$ , samt konstanttermen, $q$ , i den så kallade $pq$ -formeln.

$x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

I ekvationen $x^2 + 6x - 5 = 0$ är $p=6$ och $q= \text{-}5$ . Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $pq$ -form måste den skrivas om innan $pq$ -formeln kan användas.

Härledning
$x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

För att härleda

pq

-formeln utgår man från en andragradsekvation på

pq

-form,

x^2 + px + q = 0,

och kvadratkompletterar för att lösa ut

x

. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen

x^2+px=c

.

x^2+px+q=0

\text{VL}-q=\text{HL}-q

x^2+px=\text{-} q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför $x$ i kvadrat", $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ : $x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2.$ Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen $px$ som $2\cdot \frac{p}{2}\cdot x.$ Därefter drar man roten ur båda led och löser ut $x$ .

x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2

Omarrangera termer

x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

a = 2 \cdot \dfrac{a}{2}

x^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

Faktorisera med första kvadreringsregeln

\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

\text{VL}-\dfrac{p}{2}=\text{HL}-\dfrac{p}{2}

x=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln

Uppgift

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln. $x^2+8x-20=0$

Lösning

Ekvationen är skriven på $pq$ -form så vi kan använda $pq$ -formeln direkt. $p$ är 8 och $q$ är $\text{-} 20.$

x^2+8x-20=0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{8}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}20}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}

Beräkna kvot

x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}

Beräkna potens

x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}

a-(\text{-} b)=a+b

x=\text{-}4\pm\sqrt{36}

Beräkna rot

x=\text{-}4\pm6

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationens lösningar är $x=\text{-}10$ och $x=2.$

Visa lösning

Regel

$abc$ -formeln

I Sverige använder man oftast $pq$ -formeln när man löser andragradsekvationer av typen $x^2+px+q=0$ . I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade $abc$ -formeln. Den används för andragradsekvationer på formen $ax^2+bx+c=0$ .

$x=\text{-}\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Villkor: $a\neq0$

Den har färre begränsningar än

pq

-formeln eftersom koefficienten framför

x^2

inte måste vara

1.

Däremot kan

abc

-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.

Pq-formeln

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln

$abc$ -formeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Algebra och icke-linjära ekvationer

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med pqpqpq-formeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lös andragradsekvationen med $pq$ -formeln