Pq-formeln: Lös andragradsekvationer snabbare

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

$p q -$ formeln
Diskriminant
$a b c -$ formeln

Förkunskaper

Kvadratrot
Ekvation
Andragradsekvation

Regel

$p q -$ formeln

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen

x^{2} + p x + q = 0,

där

p

och

q

är konstanter. Detta kan kallas

p q -

form. Koefficienten framför

x^{2}

ska vara

1

och ena ledet

0,

som i ekvationen

x^{2} + 6 x - 5 = 0 .

För att lösa den sätter man in koefficienten framför

x,

kallad

p,

samt konstanttermen,

q,

i den så kallade

p q -

formeln.

$x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$

I ekvationen $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ är $p = 6$ och $q = - 5 .$ Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $p q -$ form måste den skrivas om innan $p q -$ formeln kan användas.

Bevis

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

För att härleda

p q -

formeln utgår man från en andragradsekvation på

p q -

form,

x^{2} + p x + q = 0,

och kvadratkompletterar för att lösa ut

x .

Man börjar med att skriva om ekvationen på formen

x^{2} + p x = c .

x^{2} + p x + q = 0

SubEqn

$VL - q = HL - q$

x^{2} + p x = - q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till halva koefficienten framför

x

i kvadrat,

(\frac{p}{2})^{2} :

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2} .

Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen

p x

som

2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x .

Därefter drar man roten ur båda led och löser ut

x .

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

NumberToDenomMultFrac

$a = 2 \cdot \frac{a}{2}$

x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + \frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

SqrtEqn

$VL = HL$

x + \frac{p}{2} = \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

SubEqn

$VL - \frac{p}{2} = HL - \frac{p}{2}$

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Exempel

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln

Lös andragradsekvationen med

p q -

formeln.

x^{2} + 8 x - 20 = 0

Ledtråd

Använd pq-formeln.

Lösning

Ekvationen är skriven på

p q -

form så vi kan använda

p q -

formeln direkt.

p

är

8

och

q

är

- 20 .

x^{2} + 8 x - 20 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 8, q = - 20$

x = - \frac{8}{2} \pm (\frac{8}{2})^{2} - (- 20)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 4 \pm 4^{2} - (- 20)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 4 \pm 16 - (- 20)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 4 \pm 36

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 4 \pm 6

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 10 x_{2} = 2

Ekvationens lösningar är

x = - 10

och

x = 2 .

Koncept

Diskriminant

I $p q -$ formeln kallas det som står under rottecknet för diskriminant.

Diskriminantens tecken kan användas för att bestämma antalet lösningar till en andragradsekvation.

Övning

Hitta diskriminanten för en andragradsekvation

Hitta diskriminanten för en andragradsekvation.

Regel

$a b c -$ formeln

I Sverige använder man oftast $p q -$ formeln när man löser andragradsekvationer av typen $x^{2} + p x + q = 0 .$ I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade $a b c -$ formeln. Den används för andragradsekvationer på formen $a x^{2} + b x + c = 0 .$

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Villkor: $a \neq = 0$

Den har färre begränsningar än $p q -$ formeln eftersom koefficienten framför $x^{2}$ inte måste vara $1 .$ Däremot kan $a b c -$ formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar. Man kan härleda den med $p q -$ formeln, och om man dividerar ekvationen med $a$ får man den på $p q -$ form där $p = \frac{b}{a}$ och $q = \frac{c}{a} .$

Härledning

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}

a x^{2} + b x + c = 0

DivEqn

$VL / a = HL / a$

x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = \frac{b}{a}, q = \frac{c}{a}$

x = - \frac{b / a}{2} \pm (\frac{b / a}{2})^{2} - \frac{c}{a}

DivFracD

$\frac{a / c}{b} = \frac{a}{b \cdot c}$

x = - \frac{b}{2 a} \pm (\frac{b}{2 a})^{2} - \frac{c}{a}

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2}}{( 2 a ) ^{2}} - \frac{c}{a}

PowProdII

$(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a}

ExpandFrac

Förläng med $4 a$

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{4 a c}{4 a ^{2}}

SubFrac

Subtrahera bråk

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}

SqrtQuot

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}

SqrtProd

$a \cdot b = a \cdot b$

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}

a

är lika med

1

står ekvationen på

p q -

form och

a b c -

formeln reduceras till

p q -

formeln.

Exempel

Öva på att lösa andragradsekvationer

Lös andragradsekvationen med

p q -

formeln.

2 x^{2} + 8 x + 6 = 0

Ledtråd

Använd $p q -$ formeln.

Lösning

Först, analysera ekvationen. Lägg märke till att koefficienten före

x^{2}

är

2 .

För att kunna använda

p q -

formeln måste den vara

1 .

Dela hela ekvationen med

2 .

2 x^{2} + 8 x + 6 = 0 ⇓ x^{2} + 4 x + 3 = 0

Ekvationen är skriven på

p q -

form så vi kan använda

p q -

formeln direkt.

p

är

4

och

q

är

3 .

x^{2} + 4 x + 3 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 4, q = 3$

x = - \frac{4}{2} \pm (\frac{4}{2})^{2} - (3)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 2 \pm 2^{2} - 3

CalcPow

Beräkna potens

x = - 2 \pm 4 - 3

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 2 \pm 1

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 2 \pm 1

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 1 x_{2} = - 3

Ekvationens lösningar är

x = - 1

och

x = - 3 .

Övning

Lösa en andragradsekvation med hjälp av kvadratisk formel

Lös andragradsekvationerna med hjälp av $p q -$ formeln eller $a b c -$ formeln.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Bevis

Ledtråd

Lösning

Härledning

Ledtråd

Lösning