Pq-formeln

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen

x2+px+q=0,

där p och q är konstanter. Detta kan kallas pq-form. Koefficienten framför x2 ska vara 1 och ena ledet 0, som i ekvationen

x2+6x−5=0.

För att lösa den sätter man in koefficienten framför x, kallad p, samt konstanttermen, q, i den så kallade pq-formeln.

I ekvationen x2+6x−5=0 är p=6 och q=-5. Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pq-form måste den skrivas om innan pq-formeln kan användas.

Härledning

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

För att härleda pq-formeln utgår man från en andragradsekvation på pq-form, x2+px+q=0, och kvadratkompletterar för att lösa ut x. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen x2+px=c.

x2+px+q=0

SubEqn

VL−q=HL−q

x2+px=-q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför x i kvadrat",

(\frac{p}{2})^{2}

:

Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen px som

2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x .

Därefter drar man roten ur båda led och löser ut x.

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

NumberToDenomMultFrac

$a = 2 \cdot \frac{a}{2}$

x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + \frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

SqrtEqn

$VL = HL$

x + \frac{p}{2} = \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

SubEqn

$VL - \frac{p}{2} = HL - \frac{p}{2}$

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Lös andragradsekvationen med pq-formeln

fullscreen

Lös andragradsekvationen med pq-formeln.

x2+8x−20=0

Visa Lösning

Ekvationen är skriven på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt. p är 8 och q är -20.

x2+8x−20=0

UsePQ

Använd pq-formeln: p=8,q=-20

x = - \frac{8}{2} \pm (\frac{8}{2})^{2} - (- 20)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 4 \pm 4^{2} - (- 20)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 4 \pm 16 - (- 20)

SubNeg

a−(-b)=a+b

x = - 4 \pm 36

CalcRoot

Beräkna rot

x=-4±6

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 10 x_{2} = 2

Ekvationens lösningar är x=-10 och x=2.

Regel

abc-formeln

I Sverige använder man oftast pq-formeln när man löser andragradsekvationer av typen x2+px+q=0. I vissa länder använder man istället en annan motsvarande metod, den så kallade abc-formeln. Den används för andragradsekvationer på formen ax2+bx+c=0.

Villkor: a≠0

Den har färre begränsningar än pq-formeln eftersom koefficienten framför x2 inte måste vara 1. Däremot kan abc-formeln ibland ge lite jobbigare beräkningar.

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med pq-formeln