Pq-formeln

I ekvationen är p koefficienten framför x, med tecken, och q är konstanttermen med tecken. x^2 -8x -20=0. Alltså är p=-8 och q=-20. För att beräkna - p/2 sätter vi in p=-8. Var noga så att du får alla minustecken rätt.

Termen framför kvadratroten blev 4. x= 4±sqrt((p/2)^2-q).

Nu beräknar vi (p/2)^2 genom att sätta in p=-8.

Kom nu ihåg att ett negativt tal i kvadrat blir positivt enligt teckenreglerna eftersom minus gånger minus blir plus: (- 4)^2=(- 4)(- 4)=16.

Termen (p/2)^2 är lika med 16. x=4±sqrt(16-q)

Slutligen beräknar vi - q.

Vi har nu beräknat alla delar av formeln var för sig: x=4±sqrt(16 + 20).

Nu förenklar vi det uttryck vi satt ihop och får ut två lösningar.

För att kunna använda pq-formeln måste ekvationen stå på pq-form, dvs. den ska stå på formen x^2+px+q=0. x^2-termen ska alltså ha koefficienten 1 och högerledet ska vara 0. Vi ser att ekvationen redan står på pq-form så vi kan direkt läsa av p som värdet framför x-termen, - 6, och q som konstanttermen 5. Vi sätter in dessa värden i pq-formeln och förenklar.

x=-1 och x=11 löser ekvationen.

Samma sak igen. Vi ser att formeln står på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt utan att göra några omskrivningar.

x=- 7 och x= - 1 löser ekvationen.

Återigen står ekvationen på pq-form så vi använder pq-formeln direkt.

x=1 löser ekvationen. En andragradsekvation kan som mest ha två lösningar. När en andragradsekvation endast har en lösning brukar den kallas för dubbelrot.

För att använda pq-formeln måste ekvationen stå på pq-form, dvs. x^2+px+q=0. Den kvadrerade termen ska alltså ha koefficienten 1 och högerledet ska vara 0. Vi ser att ekvationen står på pq-form så vi kan direkt läsa av p och q till - 12 och - 13.

x=-1 och x=13 löser ekvationen.

Samma sak igen. Vi ser att ekvationen står på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt utan att göra några omskrivningar.

x=- 19 och x= 1 löser ekvationen.

Även här står ekvationen på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt.

x=- 2 och x= 22 löser ekvationen.

Ekvationen är en andragradsekvation så vi använder pq-formeln för att lösa den.

Ekvationens rötter är alltså x=2 och x=10.

Eftersom andragradsekvationen står på pq-form kan vi direkt lösa den med pq-formeln.

Ekvationen har alltså lösningarna x=1 och x=5.

För att ta reda på vem som har rätt kan vi pröva de olika rötterna och undersöka om de stämmer.

Adrius

Adrius har fått rötterna x=6 och x=-8. Vi börjar med att testa x=6.

x=6 är alltså inte en rot till ekvationen, så Adrius har gjort fel.

Barlow

Både Barlow och Cassius har fått x=-6 och vi vet att en av dem har gjort rätt. Det betyder att det måste vara en rot till ekvationen. Däremot har Barlow x=-8 medan Cassius har fått x=8. Vi testar Barlows andra rot.

x=-8 är inte heller en lösning, så Barlow har också gjort fel. Nu skulle vi kunna testa Cassius sista lösning, men eftersom någon måste ha rätt vet vi redan att det är han. Det är alltså Cassius som har gjort rätt, eftersom de andra har gjort fel.

Man kan också lösa ekvationen själv.

Ekvationens rötter är alltså x=-6 och x=8, så Cassius har gjort rätt.

Innan vi kan använda pq-formeln måste ekvationera stå på pq-form, dvs. x^2+px+q=0. Den kvadrerade termen måste ha koefficienten 1 och högerledet ska vara 0. Ekvationen står redan på pq-form så vi kan direkt läsa av p och q till - 4 respektive - 45.

x=- 5 och x=9 löser ekvationen.

Även här står ekvationen på pq-form. Vi kan alltså direkt läsa av p och q till 10 och - 24 och använder detta i pq-formeln.

x=- 12 och x=2 löser ekvationen.

Ekvationen står redan på pq-form så vi läser av p och q till 12 och -85 och sätter in i pq-formeln.

x=- 17 och x=5 löser ekvationen.

Variabeln är t istället för x men det spelar ingen roll då pq-formeln fungerar oavsett vad man väljer att kalla variabeln. För att använda pq-formeln måste ekvationen dock stå på pq-form, dvs. i det här fallet ska den stå på formen t^2+pt+q=0. Vi börjar alltså med att skriva om ekvationen så att den står på denna form genom att subtrahera båda led med 30 och därefter dividera med 2.

Nu står ekvationen på pq-form. Vi läser av p och q till 2 respektive - 15 och sätter in i pq-formeln.

t=- 5 och t=3 löser ekvationen.

Vi ser att ekvationen inte står på rätt form. Den kvadrerade termen delas med 3 och högerledet är inte lika med noll. Vi börjar med att skriva om ekvationen.

Nu sätter vi in p=- 9 och q=- 360 i pq-formeln.

a=- 15 och a=24 löser ekvationen.

Samma sak igen. Ekvationen står inte på rätt form. Vi flyttar över alla termer på ena sidan likhetstecknet. För att den kvadrerade termen ska få koefficienten 1 multiplicerar vi ekvationen med 3 och dividerar med 2.

Nu kan vi sätta in p=3 och q=- 6 i pq-formeln.

Ekvationen står redan på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt.

Vi använder pq-formeln igen. Det finns inget framför x-termen, men det betyder att koefficienten är 1, så p=1.

På samma sätt som tidigare använder vi pq-formeln.

Vi börjar med att flytta termerna från höger- till vänsterledet för att få ekvationen på pq-form.

Nu har vi koefficienten 1 framför x^2-termen och 0 i högerledet, så då kan vi använda pq-formeln.

Den här gången finns det en x-term i vänsterledet och en i högerledet, så vi börjar med att flytta över den i högerledet för att samla alla termer. Sedan måste vi se till att koefficienten framför x^2-termen är 1, så vi dividerar med 5.

Nu kan vi använda pq-formeln.

Vi börjar med att omarrangera termerna så att x^2-termen står först. Då ser vi att koefficienten framför x^2-termen är - 1, så vi måste byta tecken på alla termer för att få ekvationen på rätt form.

Nu kan vi använda pq-formeln.

Variabeln i ekvationen är t istället för x men det spelar ingen roll då pq-formeln fungerar oavsett vad man kallar variabeln. För att använda pq-formeln måste ekvationen dock stå på pq-form, dvs. i det här fallet ska den stå på formen t^2+pt+q=0. Vi börjar alltså med att skriva om ekvationen så att den står på denna form genom att addera 30 till båda led.

Nu står ekvationen på pq-form. Vi läser av p och q till - 18 respektive 80 och sätter in i pq-formeln.

Vi skriver om ekvationen på pq-form genom att subtrahera 5s från båda led.

Nu står ekvationen på pq-form. Vi läser av p och q till - 10 respektive 25 och sätter in i pq-formeln.

Ekvationen står redan på pq-form så vi kan läsa av p=- 210 och q=11 000 och sätta in i pq-formeln.

När hon står på trampolinen och precis ska hoppa har det ännu inte gått någon tid av hoppet. Tiden t är alltså lika med 0.

För att beräkna höjden på hopptornet kan vi sätta in tiden t=0 i funktionen, eftersom vi då får reda på hennes höjd i startögonblicket.

Hon hoppade från 10 meters höjd.

När hon slår i vattenytan är hon 0 meter över vattnet. Därför är h(t)=0.

Nu är vi intresserade av tiden det tar innan höjden är 0. Vi sätter därför in h(t)=0 och bildar en andragradsekvation. Vi skriver först om den på pq-form.

Nu kan vi lösa den som vanligt med pq-formeln.

Ena lösningen är negativ och kan förkastas eftersom vi bara är intresserad av lösningar efter hoppet. Då finns det bara en lösning kvar, och vi vet att det tog ungefär 1,87 sekunder för Mercedes att hamna i vattnet.

Vi löser ekvationen med pq-formeln.

x=- 2 och x=8 löser ekvationen.

Ekvationen är en andragradsekvation som redan står på pq-form, dvs. på formen x^2+px+q=0, så att pq-formeln kan användas direkt.

Ekvationens lösningar är x=-2 och x=8.

Istället för att använda pq-formeln eller kvadratkomplettering är det lättare att i detta fall börja med att faktorisera, genom att bryta ut ett x i vänster led. Ekvationen vi då får, x(x+4)=0 , löser vi med nollproduktmetoden. Ska vänster led vara lika med 0 så är antingen x=0 eller (x+4)=0. Det andra fallet är uppfyllt då x=-4.

Ekvationens lösningar är x=0 och x=-4.

Ekvationen är en andragradsekvation som redan står på pq-form, dvs. på formen x^2+px+q=0, så att pq-formeln kan användas direkt.

Ekvationens lösningar är x=1 och x=5.

Eftersom det inte finns någon linjär term (x-term) i ekvationen 3x^2-27=0 behöver man inte ta till pq-formeln eller kvadratkomplettering, det går enklare att först lösa ut x^2 och sedan beräkna en kvadratrot.

Ekvationens lösningar är x=-3 och x=3.

Vi löser uppgiften med pq-formeln.

Ekvationen har alltså lösningarna x=-10 och x=2.

Ekvationen vi ska lösa är en andragradsekvation, och eftersom den redan är skriven på pq-form kan vi använda pq-formeln direkt.

Ekvationen har alltså lösningarna x=2 och x=18.