Derivatan av en produkt

Lutningen för skidbacken får vi genom att derivera exponentialfunktionen.

Vi sätter in x=0,8km i derivatan för att få den sökta lutningen.

Backens lutning är alltså cirka - 0,4, vilket ibland skrivs som - 40 %.

Hur brant en backe är kan här tolkas som hur stor den negativa lutningen är. Vi ska alltså ställa upp en ekvation som kan ge oss det x-värde då derivatan är som minst. Vi börjar med att bestämma funktionens derivata.

När vi nu har ett uttryck för derivatan ska vi hitta dess minsta värde. Det gör vi genom att derivera derivatan och sätta det resulterande uttrycket till 0, precis som när vi vanligtvis söker extrempunkter.

Vi sätter detta uttryck lika med 0 för att få en ekvation som kan användas för att bestämma var backen är som brantast. Vi får då ekvationen 2a^2x^2 * e^(- ax^2) - a * e^(- ax^2) = 0. Notera att det som fås vid lösning av den här ekvationen är det eller de x-värden då derivatans derivata är 0. Det krävs alltså vidare undersökning av varje lösning för att avgöra ifall den motsvarar den brantaste delen av backen.

För att bestämma det sökta värdet på a använder vi oss av ekvationen vi bestämde i föregående deluppgift. Vi sätter in x = 1 i ekvationen och löser den med hjälp av nollproduktmetoden.

Eftersom e upphöjt till något reellt tal alltid är positivt kan potensen e^(- a) aldrig kan anta värdet 0. Vi behöver alltså endast undersöka när innehållet i parentesen antar värdet 0 för att hitta alla lösningar.

I uppgiftslydelsen står det att a är en positiv konstant, alltså kan vi förkasta lösningen a = 0. Vi får då att backen är som brantast för x = 1km om a=0,5.

Vi börjar med att sätta in funktionerna, så att vi får ett explicit uttryck för k(x). k(x) = f(x)g(x)h(x) = x^2 * e^(x^6) * lnx Det är alltså för denna funktion vi ska beräkna derivatans värde då x=1 och eftersom vi har en produkt av funktioner vill vi använda produktregeln. Funktionen har dock tre faktorer, inte två, men om vi tänker oss att två av faktorerna utgör en funktion kan vi ändå använda produktregeln: k(x) = x^2 * ( e^(x^6) * lnx ). Vi deriverar nu funktionen.

Vi behöver nu använda produktregeln igen för att färdigställa deriveringen.

Vi har nu till slut hittat ett uttryck för derivatan och kan sätta in x = 1 för att beräkna det sökta värdet. Notera att vi har faktorn lnx på två ställen och att den naturliga logaritmen av 1 är 0, vilket underlättar beräkningen.

Den sökta derivatan k'(1) har alltså värdet e.

Innan vi tar oss an frågan Greta fick undersöker vi först hur Fredrik kunde veta värdet h'(4), för att få reda på mer om funktionerna. Vi kan utgå från att alla tre kan derivera h(x) med produktregeln: h'(x) = f'(x)* g(x) + f(x)* g'(x). De värden Fredrik fick veta markerar vi med rött: h'(4) = f'(4) * g(4) + f(4) * g'(4). Om Fredrik även hade fått veta g(4) hade han självklart kunnat beräkna h'(4), men eftersom han inte fick det beräknade han h'(4) oberoende av värdet g'(4). Enda möjligheten är då att f'(4) =0, eftersom om f'(4) ≠ 0 skulle faktorn g(4) ha bidragit till h'(4). Nu vet vi, precis som Fredrik och Hilda, att h'(4) = f(4) * g'(4). För Gretas del så sa hon att hon inte kunde beräkna h'(4) med den blå informationen hon fått: h'(4) = f'(4) * g(4) + f(4) * g'(4). Men efter att Hilda ropat "rätt" på Fredriks viskning fick hon ny information, att Fredrik visste h'(4). Hon skulle därför kunna göra samma resonemang som vi gjort och också lista ut att f'(4) måste vara 0. Med denna insikt skulle hon kunna svara på Hildas avslutande fråga om f(x) och punkten (4,f(4)):